Методические рекомендации к зачету по геометрии
методическая разработка по геометрии (7 класс)

1. Свойства точек и прямой на плоскости. Расположение точек на прямой.

2. Расположение точек относительно прямой на плоскости. Полуплоскость.

3. Определение угла, внутренней и внешней областей угла, измерение угла. Биссектриса угла. Классификация углов по величине. Развернутый угол.

4. Определение смежных углов. Свойство смежных углов. Свойство биссектрис смежных углов.

5. Определение вертикальных углов. Свойство вертикальных углов. Свойство биссектрис вертикальных углов.

6. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

7. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

8. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по трем сторонам.

9. Теорема о единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку.

10. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

11. Равнобедренный треугольник. Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию.

12. Признак равнобедренного треугольника по двум равным углам.

15. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника. Отличие биссектрисы угла от биссектрисы треугольника.

16. Определение параллельных прямых и свойство накрест лежащих углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

17. Определение параллельных прямых и свойство соответственных углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

18. Определение параллельных прямых и свойство односторонних углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

19. Признак параллельности прямых по накрест лежащим углам.

20. Признак параллельности прямых по соответственным углам.

21. Признак параллельности прямых по односторонним  углам.

22. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

23. Неравенство треугольника.

24. Сумма углов треугольника.

25. Свойство внешнего угла треугольника.

26. Прямоугольный треугольник, свойство его острых углов.

27. Прямоугольный треугольник, свойство медианы, проведенной к гипотенузе.

28. Прямоугольный треугольник, свойство катета, противолежащего углу 30

29. Прямоугольный треугольник, свойство прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен половине гипотенузы.

30. Признак равенства прямоугольный треугольников по катету и прилежащему острому углу.

31. Признак равенства прямоугольный треугольников по гипотенузе и острому углу.

32. Признак равенства прямоугольный треугольников по гипотенузе и катету.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

1. Построение угла, равного данному.

2. Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку (2 случая).

3. Построение прямых, образующих с данной прямой углы, равные 30,  45, 60.

4. Построение прямоугольного треугольника по катету и острому углу.

5. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

6. Построение прямоугольного треугольника по двум катетам.

7. Построение прямоугольного треугольника по катету и медиане, проведенной к гипотенузе.

8. Построение прямой, проходящей через  точку параллельно данной прямой.

9. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.

10. Постройте равнобедренный треугольник АВС по углу А и высоте, проведенной к основанию ВС.

11. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

12. Постройте  квадрат по его диагонали.

13. Постройте угол 22,5.

14. Постройте прямоугольный треугольник с углом 30 по его гипотенузе.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1. Докажите, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, образует равные углы со сторонами данного угла.

2. Докажите, что, если a    ,  b   , то угол между прямыми a и b равен углу между прямыми   и  . (Рассмотрите случай, когда прямые проходят через одну точку.)

3. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и ВС  соответственно отложены равные отрезки АР и СК. Докажите, что АК = СР.

4. В четырехугольнике ABCD диагональ АС перпендикулярна диагонали BD  и делит ее пополам. Докажите, что треугольники ABC и  ADC равны, и АС является биссектрисой углов BAD и  BCD.

5. Равны ли треугольники АВС и , если АВ =, ВС = , и высоты ВК и  равны? Ответ обоснуйте.

6. Докажите, что в четырехугольнике ABCD, все стороны  которого равны, АС    BD.

7. В квадрате ABCD проведены отрезки А и В, где  и  - середины сторон BC и CD соответственно. Докажите, что А   В.

8. В квадрате ABCD проведены отрезки А , В, С и D где  ,  ,- середины сторон BC , CD , DA и АВ соответственно, пересекаются в точках P, Q,  R , S. Докажите, что PQRS – квадрат.

9. Докажите, что если прямые a, b, c проходят через одну точку, то три из шести образовавшихся углов не могут равняться соответственно 60, 70, 80.

10. Отрезки KL и MN пересекаются в точке О, причем каждый из них делится ею пополам. Докажите, что KM  LN и ML  KN.

11. Докажите, что угол между прямыми, содержащими биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника, равен 45.

12. Докажите, угол между прямыми, содержащими высоты AD и BH остроугольного треугольника АВС, равен углу С.

13. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то он равнобедренный.

14. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведена высота ВН и медиана ВМ. Докажите, что АВН = ∠СВМ.

15. Докажите, что если медиана ВМ треугольника АВС равна половине стороны АС, то  ∠АВС = 90.

16. Докажите, что точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от прямых, содержащих его стороны.

17. Докажите, что точка, лежащая во внутренней области угла и равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

18. Докажите, что точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника равноудалена от прямых, содержащих стороны этого треугольника.

ЗАДАЧА НА ВЫЧИСЛЕНИЯ

1. Рассматриваются все треугольники, две стороны каждого из  которых равны 5 см и 12 см. Известно, что длина третьей стороны каждого рассматриваемого треугольника выражена целым числом сантиметров. Найдите наибольший и наименьший периметр такого треугольника.

2. Длина отрезка АВ равна 3,85 см. Точки М, К расположены на прямой  АВ так, что АМ:МК:КВ = 2:3:6. Найдите длину отрезка МК.

3. На прямой АВ вне отрезка АВ взяли точку С так, что АС:АВ = 3:1. Найдите на прямой АВ все такие точки Z,  для которых ZA + ZB + ZC = 19 см, и АВ = 4 см.

4. На прямой АВ вне отрезка АВ длиной 6 см взяли точку С так, что  АС:АВ = 2:3. . Найдите на прямой АВ все такие точки Х,  для которых ХA + ХB + ХC = 9 см.

5. Объясните расположение точек А, В, С, М, Р относительно прямой a , если отрезки АР и ВС пересекают эту прямую, а отрезки ВМ и АМ ее не пересекают.

6. Даны две пары смежных углов ∠АОВ и ∠ВОС; ∠АОР и ∠РОС, причем ∠АОВ = 140, ∠РОС = 70. Определите величину угла ВОР.

7. На прямой отмечены точки А, В, С так, что АС = 11,2 см, ВС = 4,6 см, АВ = 6,6 см. В какой последовательности расположены точки?

8. Сколько на прямой АВ точек М, если 3АМ = 7ВМ? Найдите АМ и ВМ, если АВ = 17 см.

9. Внешний угол треугольника равен 99. Найдите угла треугольника, если внутренний угол, не смежный с ним, равен 40.

10. Внешний угол треугольника равен 99. Найдите угла треугольника, если внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 2:7.

11. Внешний угол треугольника равен 99. Найдите угла треугольника, если один из внутренних углов, не смежных с ним, больше другого на 51.

12. Внешний угол треугольника равен 99. Найдите угла треугольника, если треугольник равнобедренный.

13. Равнобедренные треугольники АВС и АСМ равны: АВС = АСМ, стороны треугольника АСМ равны 6см и 8 см. Найдите длины всех сторон треугольника АВС.

14. Равнобедренные треугольники АВС и АСМ равны: АВС = АСМ, стороны треугольника АСМ равны 6см и 8 см. Найдите периметр четырехугольника АВСМ, если точки В и М лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС.

15. Один из углов равнобедренного треугольника равен 30. Какие значения могут принимать два других угла?

16. В равнобедренном треугольнике проведена биссектриса угла при основании. При этом образовалось два равнобедренных треугольника. Найдите углы данного треугольника.

17. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Найдите углы треугольника, если известно, что        AD = DB =  AC.

18. Через вершины А и В треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные к биссектрисе угла АСВ, они пересекают прямые СВ и СА в точках D и E соответственно. Найдите отрезок АС, если СЕ = 7 и BD = 3.

19. Через вершину угла, равного 70, проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе этого угла. Найдите углы, которые эта прямая образует со сторонами угла.

20. В треугольнике АВС с ∠А = 150 проведены высоты СН и BD. Найдите угол между прямыми СН и BD.

21. . В треугольнике АВС  ∠А = 60, ∠В = 90ВН – высота. HD – высота в треугольнике АВН, DE – высота в треугольнике ADH. Известно, что DE = 1. Найдите ВС.

22. В треугольнике одна сторона равна 6,31 м, другая сторона 0,82 м. Чему равна третья сторона, если известно, что она выражается целым числом метров?

23. На плоскости дан прямоугольный треугольник АСВ, ∠ АСВ = 90,  ∠АВС = 40 и точка S, так, что  ∠SBC = 90,  ∠CSB = 70 . Найдите величины углов ABS и  ACS.

24. Дан произвольный треугольник АВС. Через вершину А проведены к ВС два отрезка АМ и АЕ так, что прямая АМ образует с прямой АВ угол, равный С, а прямая АЕ образует с прямой АС угол, равный В. Найдите АЕ, если АМ = 10.

БИЛЕТ 1

1. Свойства точек и прямой на плоскости. Расположение точек на прямой.

2. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

3. Определение параллельных прямых и свойство соответственных углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

4. Рассматриваются все треугольники, две стороны каждого из  которых равны 5 см и 12 см. Известно, что длина третьей стороны каждого рассматриваемого треугольника выражена целым числом сантиметров. Найдите наибольший и наименьший периметр такого треугольника.

5. Докажите, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, образует равные углы со сторонами данного угла.

6. Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку (2 случая).

БИЛЕТ 2

1. Расположение точек относительно прямой на плоскости. Полуплоскость.

2. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

3. Определение параллельных прямых и свойство накрест лежащих углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

4. Сколько на прямой АВ точек М, если 3АМ = 7ВМ? Найдите АМ и ВМ, если АВ = 17 см.

5. Докажите, что точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника равноудалена от прямых, содержащих стороны этого треугольника.

6. Построение прямоугольного треугольника по катету и острому углу.

БИЛЕТ 3

1. Определение угла, внутренней и внешней областей угла, измерение угла. Биссектриса угла. Классификация углов по величине. Развернутый угол.

2. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по трем сторонам.

3. Определение параллельных прямых и свойство односторонних углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

4. Внешний угол треугольника равен 99. Найдите угла треугольника, если внутренний угол, не смежный с ним, равен 40.

5. Докажите, что если прямые a, b, c проходят через одну точку, то три из шести образовавшихся углов не могут равняться соответственно 60, 70, 80.

6. Построение прямоугольного треугольника по двум катетам.

БИЛЕТ 4

1. Определение смежных углов. Свойство смежных углов. Свойство биссектрис смежных углов.

2. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

3. Признак параллельности прямых по накрест лежащим углам.

4. На прямой отмечены точки А, В, С так, что АС = 11,2 см, ВС = 4,6 см, АВ = 6,6 см. В какой последовательности расположены точки?

5. Докажите, что точка, лежащая во внутренней области угла и равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

6. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

БИЛЕТ 5

1. Определение вертикальных углов. Свойство вертикальных углов. Свойство биссектрис вертикальных углов.

2. Равнобедренный треугольник. Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию.

3. Признак параллельности прямых по соответственным углам.

4. Дан произвольный треугольник АВС. Через вершину А проведены к ВС два отрезка АМ и АЕ так, что прямая АМ образует с прямой АВ угол, равный С, а прямая АЕ образует с прямой АС угол, равный В. Найдите АЕ, если АМ = 10.

5. Докажите, что в четырехугольнике ABCD, все стороны  которого равны, АС    BD.

6. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.

БИЛЕТ 6

1. Теорема о единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку.

2. Признак равнобедренного треугольника по двум равным углам.

3. Определение параллельных прямых и свойство накрест лежащих углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

4. На плоскости дан прямоугольный треугольник АСВ, ∠ АСВ = 90,  ∠АВС = 40 и точка S, так, что  ∠SBC = 90,  ∠CSB = 70 . Найдите величины углов ABS и  ACS.

5. В квадрате ABCD проведены отрезки А и В, где  и  - середины сторон BC и CD соответственно. Докажите, что А   В.

6. Построение прямоугольного треугольника по катету и медиане, проведенной к гипотенузе.

БИЛЕТ 7

1. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника. Отличие биссектрисы угла от биссектрисы треугольника.

2. Признак равенства прямоугольный треугольников по катету и прилежащему острому углу.

3. Определение параллельных прямых и свойство односторонних углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

4. В треугольнике одна сторона равна 6,31 м, другая сторона 0,82 м. Чему равна третья сторона, если известно, что она выражается целым числом метров?

5. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то он равнобедренный.

6. Постройте равнобедренный треугольник АВС по углу А и высоте, проведенной к основанию ВС.

БИЛЕТ 8

1. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

2. Признак равенства прямоугольный треугольников по гипотенузе и острому углу.

3. Определение параллельных прямых и свойство соответственных углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

4. На прямой АВ вне отрезка АВ длиной 6 см взяли точку С так, что  АС:АВ = 2:3. . Найдите на прямой АВ все такие точки Х,  для которых ХA + ХB + ХC = 9 см.

5. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведена высота ВН и медиана ВМ. Докажите, что АВН = ∠СВМ.

6. Постройте  квадрат по его диагонали.

БИЛЕТ 9

1. Неравенство треугольника.

2. Признак равенства прямоугольный треугольников по гипотенузе и катету.

3. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника. Отличие биссектрисы угла от биссектрисы треугольника.

4. В треугольнике АВС  ∠А = 60, ∠В = 90ВН – высота. HD – высота в треугольнике АВН, DE – высота в треугольнике ADH. Известно, что DE = 1. Найдите ВС.

5. Докажите, что если медиана ВМ треугольника АВС равна половине стороны АС, то  ∠АВС = 90.

6. Постройте прямоугольный треугольник с углом 30 по его гипотенузе.

БИЛЕТ 10

1. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

2. Определение смежных углов. Свойство смежных углов. Свойство биссектрис смежных углов.

3. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

4. В равнобедренном треугольнике проведена биссектриса угла при основании. При этом образовалось два равнобедренных треугольника. Найдите углы данного треугольника.

5. Докажите, что, если a    ,  b   , то угол между прямыми a и b равен углу между прямыми   и  . (Рассмотрите случай, когда прямые проходят через одну точку.)

6. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

БИЛЕТ 11

1. Сумма углов треугольника.

2. Признак параллельности прямых по односторонним  углам.

3. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по трем сторонам.

4. Объясните расположение точек А, В, С, М, Р относительно прямой a , если отрезки АР и ВС пересекают эту прямую, а отрезки ВМ и АМ ее не пересекают.

5. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то он равнобедренный.

6. Постройте прямоугольный треугольник с углом 30 по его гипотенузе.

БИЛЕТ 12

1. Свойство внешнего угла треугольника.

2. Признак параллельности прямых по соответственным углам.

3. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

4. На прямой АВ вне отрезка АВ взяли точку С так, что АС:АВ = 3:1. Найдите на прямой АВ все такие точки Z,  для которых ZA + ZB + ZC = 19 см, и АВ = 4 см

5. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и ВС  соответственно отложены равные отрезки АР и СК. Докажите, что АК = СР.

6. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

БИЛЕТ 13

1. Прямоугольный треугольник, свойство его острых углов.

2. Признак параллельности прямых по накрест лежащим углам.

3. Определение смежных углов. Свойство смежных углов. Свойство биссектрис смежных углов.

4. В треугольнике АВС с ∠А = 150 проведены высоты СН и BD. Найдите угол между прямыми СН и BD.

5. Докажите, что если медиана ВМ треугольника АВС равна половине стороны АС, то  ∠АВС = 90.

6. Построение прямоугольного треугольника по катету и медиане, проведенной к гипотенузе.

БИЛЕТ 14

1. Прямоугольный треугольник, свойство медианы, проведенной к гипотенузе.

2. Определение вертикальных углов. Свойство вертикальных углов. Свойство биссектрис вертикальных углов.

3. Неравенство треугольника.

4. Внешний угол треугольника равен 99. Найдите угла треугольника, если треугольник равнобедренный.

5. Докажите, угол между прямыми, содержащими высоты AD и BH остроугольного треугольника АВС, равен углу С.

6. Построение прямоугольного треугольника по катету и острому углу.

БИЛЕТ 15

1. Прямоугольный треугольник, свойство катета, противолежащего углу 30

2. Свойства точек и прямой на плоскости. Расположение точек на прямой.

3. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

4. Через вершины А и В треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные к биссектрисе угла АСВ, они пересекают прямые СВ и СА в точках D и E соответственно. Найдите отрезок АС, если СЕ = 7 и BD = 3.

5. Докажите, что если медиана ВМ треугольника АВС равна половине стороны АС, то  ∠АВС = 90.

6. Построение прямой, проходящей через  точку параллельно данной прямой.

БИЛЕТ 16

1. Прямоугольный треугольник, свойство прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен половине гипотенузы.

2. Определение угла, внутренней и внешней областей угла, измерение угла. Биссектриса угла. Классификация углов по величине. Развернутый угол.

3. Равнобедренный треугольник. Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию.

4. Через вершину угла, равного 70, проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе этого угла. Найдите углы, которые эта прямая образует со сторонами угла.

5. Равны ли треугольники АВС и , если АВ =, ВС = , и высоты ВК и  равны? Ответ обоснуйте.

6. Построение прямых, образующих с данной прямой углы, равные 30,  45, 60.

БИЛЕТ 17

1. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

2. Теорема о единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку.

3. Прямоугольный треугольник, свойство медианы, проведенной к гипотенузе.

4. Внешний угол треугольника равен 99. Найдите угла треугольника, если внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 2:7.

5. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и ВС  соответственно отложены равные отрезки АР и СК. Докажите, что АК = СР.

6. Построение прямых, образующих с данной прямой углы, равные 30,  45, 60.

БИЛЕТ 18

1. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

2. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника. Отличие биссектрисы угла от биссектрисы треугольника.

3. Сумма углов треугольника.

4. Докажите, что угол между прямыми, содержащими биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника, равен 45.

5. Докажите, что точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от прямых, содержащих его стороны.

6. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

БИЛЕТ 19

1. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по трем сторонам.

2. Теорема о единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку.

3. Признак параллельности прямых по накрест лежащим углам.

4. Равнобедренные треугольники АВС и АСМ равны: АВС = АСМ, стороны треугольника АСМ равны 6см и 8 см. Найдите периметр четырехугольника АВСМ, если точки В и М лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС.

5. Отрезки KL и MN пересекаются в точке О, причем каждый из них делится ею пополам. Докажите, что KM  LN и ML  KN.

6. Построение прямой, проходящей через  точку параллельно данной прямой.

БИЛЕТ 20

1. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

2. Расположение точек относительно прямой на плоскости. Полуплоскость.

3. Прямоугольный треугольник, свойство катета, противолежащего углу 30

4. Даны две пары смежных углов ∠АОВ и ∠ВОС; ∠АОР и ∠РОС, причем ∠АОВ = 140, ∠РОС = 70. Определите величину угла ВОР.

5. Докажите, что угол между прямыми, содержащими биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника, равен 45.

6. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.

БИЛЕТ 21

1. Равнобедренный треугольник. Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию.

2. Признак параллельности прямых по соответственным углам.

3. Определение равенства треугольников. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

4. Длина отрезка АВ равна 3,85 см. Точки М, К расположены на прямой  АВ так, что АМ:МК:КВ = 2:3:6. Найдите длину отрезка МК.

5. В квадрате ABCD проведены отрезки А и В, где  и  - середины сторон BC и CD соответственно. Докажите, что А   В.

6. Постройте равнобедренный треугольник АВС по углу А и высоте, проведенной к основанию ВС.

БИЛЕТ 22

1. Определение вертикальных углов. Свойство вертикальных углов. Свойство биссектрис вертикальных углов.

2. Признак равнобедренного треугольника по двум равным углам.

3. Признак параллельности прямых по односторонним  углам.

4. В треугольнике АВС с ∠А = 150 проведены высоты СН и BD. Найдите угол между прямыми СН и BD.

5. В четырехугольнике ABCD диагональ АС перпендикулярна диагонали BD  и делит ее пополам. Докажите, что треугольники ABC и  ADC равны, и АС является биссектрисой углов BAD и  BCD.

6. Построение прямоугольного треугольника по двум катетам.

БИЛЕТ 23

1. Признак равенства прямоугольный треугольников по катету и прилежащему острому углу.

2. Определение параллельных прямых и свойство односторонних углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

3. Расположение точек относительно прямой на плоскости. Полуплоскость.

4. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Найдите углы треугольника, если известно, что        AD = DB =  AC.

5. В квадрате ABCD проведены отрезки А , В, С и D где  ,  ,- середины сторон BC , CD , DA и АВ соответственно, пересекаются в точках P, Q,  R , S. Докажите, что PQRS – квадрат.

6. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.

БИЛЕТ 24

1. Признак равенства прямоугольный треугольников по гипотенузе и острому углу.

2. Определение параллельных прямых и свойство соответственных углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

3. Определение угла, внутренней и внешней областей угла, измерение угла. Биссектриса угла. Классификация углов по величине. Развернутый угол.

4. Равнобедренные треугольники АВС и АСМ равны: АВС = АСМ, стороны треугольника АСМ равны 6см и 8 см. Найдите длины всех сторон треугольника АВС.

5. Докажите, что точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от прямых, содержащих его стороны.

6. Постройте  квадрат по его диагонали.

БИЛЕТ 25

1. Признак равенства прямоугольный треугольников по гипотенузе и катету.

2. Определение параллельных прямых и свойство накрест лежащих углов, образованных  при пересечении двух параллельных прямых секущей.

3. Свойства точек и прямой на плоскости. Расположение точек на прямой.

4. Один из углов равнобедренного треугольника равен 30. Какие значения могут принимать два других угла?

5. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведена высота ВН и медиана ВМ. Докажите, что АВН = ∠СВМ.

6. Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку (2 случая).