Методические рекомендации к зачету по геометрии
методическая разработка по геометрии (8 класс)

    1. В параллелограмме ABCD на стороне CD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите длины отрезков СЕ и ЕD, если АВ=16, AD=5, CF=3.

2. Докажите, что четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон равнобокой трапеции, является ромбом.

1. В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.

2. В прямоугольнике серединный перпендикуляр диагонали АС пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК:КС=1:2. На какие углы диагональ прямоугольника делит его угол?

1. Длина стороны квадрата KLMP равна 1. На дуге окружности с центром в точке L радиуса 1, лежащей внутри квадрата, выбрана точка N так, что ∠LMN=75. Найдите длину KN.

2.В равнобокой трапеции ABCD (AB=CD) проведена высота ВН. Точка К – середина АВ. Докажите, что КН∥CD.

1. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD известно, что ∠ BАС=∠ BDС=20, а угол между диагоналями равен 80. Найдите углы трапеции.

2. Около треугольника АВС  описана окружность с центром О, причем АО=АВ. Найдите угол С.

1. Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18. Точка М – середина стороны АВ. Отрезки АС и MD пересекаются в точке К. Найдите АК и КС.

2.В остроугольном треугольнике проведены высоты А и С. Найдите длину , если АС=39, sinB = .

1. В трапеции ABCD проведены два отрезка с концами на боковых сторонах, параллельные основаниям и делящие боковые стороны на три равные части. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 14 и 26.

2. В окружность вписан семиугольник, одна сторона которого равна радиусу окружности, а остальные равны между собой. Найдите углы семиугольника.

1. Диагонали  четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АО=ОС. Точка К – середина AD. Отрезок, соединяющий середины отрезков ВК и ВО равен 5 см. Найдите сторону CD.

2. Около трапеции ABCD (AB∥CD) можно описать окружность, и в нее можно вписать окружность. Найдите все ее стороны, если АВ=2, а средняя линия трапеции равна 7.

1. В трапеции KMNP (MN∥ KP) проведена прямая ML, параллельная NP и пересекающая сторону KP в точке L. Найдите периметр треугольника, стороны которого – средние линии треугольника KLM, если KM=7, MN=6, KP=12, NP=5.

2. Вершины четырехугольника CDEF лежат на окружности. Известно, что его диагонали перпендикулярны, ∠CED=10, ∠DEF=70. Найдите углы четырехугольника CDEF.

1. В треугольнике АВС проведена средняя линия, параллельная стороне АС. Она разделила треугольник на четырехугольник и треугольник. Их периметры равны соответственно 12 и 11. Найдите АС и периметр треугольника АВС.

2. Даны два треугольника, у которых равны по два угла, а так же одинаковые радиусы вписанных окружностей. Докажите, что эти треугольники равны.

1. Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

2. Окружность с центром на стороне АВ треугольника АВС проходит через точку В, касается стороны АС в точке С и пересекает сторону АВ в точке D. Найдите углы треугольника АВС и BCD, если ∠АВС=30.

1. Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 5 см и 12 см. Найдите высоту трапеции.

2. В треугольник с углами 40, 60, 80 вписана окружность. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания.

1. В прямоугольном треугольнике медиана и высота, опущенные на гипотенузу, равны соответственно 13 и 12. Найдите периметр треугольника.

2. Вне прямоугольника ABCD отмечена точка К так, что ∠BKD=90. Найдите угол АКС.

1. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла  А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции 35 см и ∠D=60.

2. Окружность вписана в треугольник АВС, касается стороны АС в точке К. Известно, что АК=4, ВС=7. Найдите периметр треугольника АВС.

БИЛЕТ 1.

1.Определение многоугольника, выпуклые и невыпуклые многоугольники, его вершин, сторон,  диагоналей.

2. Теорема Фалеса.

3. Свойство средней линии треугольника.

4.Теорема о вписанном угле.

БИЛЕТ 2.

1. Определение параллелограмма.

2. Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом

3. Свойства равнобедренной трапеции.

4. Теорема о пересечении высот треугольника.

БИЛЕТ 3.

1. Определение трапеции, ее виды.

2. Теорема Пифагора.

3. Свойство диагоналей параллелограмма.

4. Теорема о пересекающихся хордах окружности.

БИЛЕТ 4.

1. Определение прямоугольника.

2. Теорема, обратная теореме Пифагора.

3. Признаки параллелограмма.

4. Условие принадлежности внутренних точек угла биссектрисе этого угла.

БИЛЕТ 5.

1. Определение ромба.  Свойство углов ромба.

2. Теорема о сумме углов многоугольника.

3. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

4. Теорема о существовании окружности, описанной около треугольника.

БИЛЕТ 6.

1. Определение квадрата.

2 Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

3. Свойство средней линии трапеции.

4. Признак подобия треугольников по двум углам.

БИЛЕТ 7.

1. Площадь плоской фигуры, свойства площади. Площадь квадрата и площадь прямоугольника.

2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.

3. Свойство диагоналей прямоугольника.

4. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

БИЛЕТ 8.

1. Свойство биссектрис углов параллелограмма.

2. Вычисление площади ромба через его диагонали.

3. Свойства равнобедренной трапеции.

4. Признак касательной к окружности.

БИЛЕТ 9.

1. Окружность и круг. Расположение прямой и окружности.

2. Свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

3. Свойство диагоналей ромба.

4. Признак подобия треугольников по трем сторонам.

БИЛЕТ 10.

1. Определение подобных треугольников. Коэффициент подобия. Понятие о подобии произвольных фигур.

2. Теорема о вписанном в окружность угле.

3. Свойство касательной к окружности.

4. Признак вписанного четырехугольника.

БИЛЕТ 11.

1. Определение средней линии треугольника.

2. Теорема о площади параллелограмма.

3. Свойство медиан треугольника.

4. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

БИЛЕТ 12.

1. Определение средней линии трапеции.

2. Теорема о площади треугольника.

3. Значение синуса, косинуса и тангенса углов 30, 45, 60.

4. Свойство описанного четырехугольника.

БИЛЕТ 13.

1. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Простейшие свойства тригонометрических функций острого угла.

2. Свойства площадей треугольников.

3. Свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу.

4. Условие принадлежности точки серединному перпендикуляру к отрезку.

БИЛЕТ 14.

1. Определение касательной к окружности.

2. Теорема о площади трапеции.

3. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

4. Теореме о биссектрисах углов треугольника.

БИЛЕТ 15.

1. Определение вписанного и центрального углов.

2. Теорема о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника.

3. Свойство вписанного четырехугольника.

4. Признак прямоугольника.

БИЛЕТ 16.

1. Свойство углов параллелограмма.

2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

3. Свойства медиан треугольника.

4. Теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр.

БИЛЕТ 17.

1. Свойство сторон параллелограмма.

2. Свойство биссектрисы треугольника.

3. Вписанные четырехугольники и их свойства.

4. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

БИЛЕТ 18.

1. Свойство углов, образованных высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины.

2. Свойство высот ромба.

3. Описанные четырехугольники и их свойства.

4. Признак подобия треугольников по трем сторонам.

1. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 6 и 8 см, а один из углов150.

2. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники MBC и MAD подобны.

1. Отрезок касательной, проведенный из точки М к окружности радиуса 5 см, имеет длину 13 см. Найдите расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки окружности.

2. Докажите, что если центр вписанной в треугольник окружности лежит на медиане треугольника, то этот треугольник равнобедренный.

1. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 7 см, площадь треугольника      6 . Найдите гипотенузу.

2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AB.Докажите, что точки A; ; B;  лежат на одной окружности с диаметром AB.

1. Из отрезков длиной 3, 6, 7, 9, 14, 18 составьте два подобных треугольника и найдите отношение длин биссектрис меньших углов этих треугольников.

2. В треугольнике ABC AB=16; BC=12; AC=9; в треугольнике MNG MN=12; NG=9; GM=6,75. Докажите, что данные треугольники подобны, и укажите пары равных углов данных треугольников.

1. Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой и равна 6 см. Площадь параллелограмма равна 36. Найдите стороны, углы и длину второй диагонали параллелограмма.

2. Докажите, что радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба.

1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна 7,1 см, а один из острых углов равен 36. Выразите стороны и площадь треугольника.

2. Окружность, вписанная в треугольник ABC касается стороны ВС в точке К. Докажите, что СК=р-АВ, где р-полупериметр треугольника АВС.

1. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них в отношении 3:5. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции, если ее высота равна 24.

2. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Докажите, что окружность с диаметром АВ проходит через точку К.

1. Две медианы равнобедренного треугольника равны 18 и 15 см. Найдите длину основания треугольника.

2. Докажите, что если диагонали BC и AD произвольного четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то его площадь равна их полупроизведению.

1. Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся как 3:5. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и равна 16 см. Найдите радиусы окружностей.

2. Докажите, что если три угла и радиус вписанной окружности одного треугольника соответственно равны трем углам и радиусу вписанной окружности другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 5 и 13 см, а меньшее основание равно 10 см. Найдите большее основание, меньшую диагональ и длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АМ и ВТ. Докажите, что треугольник САВ и СМТ подобны и коэффициент подобия равен косинусу угла С.

1. Углы при большем основании трапеции равны 40 и 50, боковые стороны равны 8 и 6. Найдите основания трапеции, если средняя линия равна 11.

2. Через точку М, лежащую на окружности, проведены касательная МК и хорда МТ. Докажите, что угол КМТ измеряется половиной лежащей внутри этого угла дуги окружности.

1. В угол, равный 120, вписана окружность радиуса 8 см. Найдите расстояние между точками касания окружности со сторонами угла.

2. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Может ли этот треугольник быть еще и равносторонним?

1. Высота прямоугольного треугольника разделила его на два треугольника, отношения площадей которых равно 4:9. Найдите тангенс меньшего из острых углов этого треугольника.

2. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипотенузы.

1. Круг радиуса 6 см касается трех сторон прямоугольника, одна из сторон которого равна 14 см. Найдите расстояние от центра круга до каждой стороны и каждой вершины этого прямоугольника.

2. В треугольнике АВС ∠А=45 AD, BE, CF – высоты. Найдите ∠EDF. (Докажите, что треугольники АВС и AEF подобны).

1. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна основаниям AD=8 и ВС=2. ∠В+∠D=270. Найдите BD. (Докажите, что треугольники АВD и CDB подобны).

 2. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 6 и 8 см, а один из углов150.

1. В треугольнике АВС ∠В=120, АН и СК – высоты. Найдите площадь треугольника НВК, если площадь треугольника АВС равна 4. (Докажите, что треугольники АВС и НВК подобны).

2. Две медианы равнобедренного треугольника равны 18 и 15 см. Найдите длину основания треугольника.