Существование и единственность перпендикуляра к прямой
план-конспект урока по геометрии (7 класс)

Урок геометрии в 7 классе по теме

«Существование и единственность перпендикуляра к прямой»

Учитель математики

Гончарова Галина Николаевна

МБОУ «СОШ №8 им. К.К. Рокоссовского»

г. Курск

Цели: познакомить учащихся с теоремой, обозначенной в теме урока, развивать способность анализировать, умение аргументировать свою позицию.

Форма урока: ролевая игра, урок-суд.

Предварительная подготовка к уроку.

Учащиеся получают дифференцированное домашнее задание:

1-й ряд: самостоятельно изучить теоретический материал учебника, посвященный изучаемой теореме, уметь объяснить и записать доказательство теоремы;

2-й ряд: изучить теорему и подготовить вопросы по каждому шагу доказательства;

3-й ряд: ознакомиться с формулировкой теоремы, понятием расстояние и показать его применение на практике.

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Вводная часть урока-суда.

Учитель. Сегодняшний урок необычен. Он пройдет в форме судебного заседания. Роль судьи, адвоката, прокурора, судебных исполнителей предстоит исполнить вам самим.

Сначала проверим компетенцию собравшихся в зале суда:

1. Какие прямые называются перпендикулярными?
2. Что называют перпендикуляром к прямой? Чем отличаются эти понятия?
3. Точка лежит на прямой. Сколько прямых, перпендикулярных данной, можно провести через эту точку? Откуда мы это знаем?

- Теперь каждый ряд должен выдвинуть одного самого достойного своего представителя.

Ученик 1-го ряда будет выступать в качестве обвинителя, 2-го – в роли адвоката, 3-го – в роли прокурор.

Выбранные ученики занимают места за судейским столом, на котором стоит колокольчик и лежат головные уборы для судей.

Весь ряд – группа поддержки своего представителя. Если он будет затрудняться в исполнении своей роли, они смогут ему помочь или даже сменить его.

3. Основная часть.

Учитель. Судебное заседание объявляется открытым.

Поводом для проведения судебного заседания послужило следующее заявление, написанное в стихах:

Перпендикулярно АВ обезьяна          Уронила с ветки 2 больших банана.                                                         Эти 2 банана, вопреки закону,                                                               Рухнули с размаху прямо на бизонов.

Эти два бизона нюхали цветочки,                                                             Что цвели на АВ в двух различных точках…                               Недоумевала долго обезьяна,                                                              Почему так странно падали бананы.

Очень недовольны были два бизона,  

Что не уважают на АВ законы!    

Жалобу подали в суд на обезьяну,  

Предоставив судьям каждый по банану.

Учитель. Слово предоставляется обвинителю.

Вам вместе со своей группой поддержки предстоит доказать, что обезьяна была неправа и действительно нарушила закон.

Сначала сформулируйте то, что вам предстоит доказать, на языке математики.

Обвинитель. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только один перпендикуляр к данной прямой.

Если у адвоката в процессе доказательства возникнет вопрос, он тут же задает его. Если у кого-то из группы поддержки возникает вопрос, он поднимает руку. Если обвинитель не сможет на него ответить, ему помогает группа поддержки. Если и они не отвечают, ответ дает задавший вопрос.

Примерный вариант диалога по доказательству теоремы:

Обвинитель. Нам дана произвольная прямая а и точка А, не принадлежащая этой прямой. Выберем на прямой а любую точку В.

Адвокат. На каком основании?

Обвинитель. На основании аксиомы I1: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, лежащие на прямой, и точки, не лежащие на ней». (Продолжает доказательство.)

- Проведем через эту точку В прямую b, перпендикулярную к а.

Адвокат. Почему можем это сделать?

Обвинитель. Т.к. знаем теорему: «Через точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну».

Проведем через точку А прямую с, параллельную прямой b.

Адвокат. А можем ли мы это сделать?

Обвинитель. Да, по аксиоме параллельных через точку А, не лежащую на прямой b, можно провести прямую параллельно данной прямой, и только одну.

Прямая с перпендикулярна а.

Адвокат. Откуда вы это знаете?

Обвинитель. Из свойств параллельных прямых: «Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. В нашем случае а⊥b, b⊥c, значит, а⊥с.

Мы доказали, что такую прямую, перпендикулярную к а, можно провести. Это будет прямая с.

Докажем единственность. Допустим, существует другой перпендикуляр АК.

Адвокат. А почему мы должны это допускать?

Обвинитель. В этом заключается метод от противного.

Тогда в треугольнике АВК будет два прямых угла, а этого быть не может.

Адвокат. Почему?

Обвинитель. Т.к. это противоречит теореме о сумме углов в треугольнике, ведь в этом случае она будет больше 180º.

Теорема доказана.

Повторяется еще раз доказательство, уже без вопросов адвоката. Доказывает теорему устно с пояснениями другой человек с 1-го ряда (из группы поддержки обвинителя).

Учитель. Смог ли обвинитель убедить всех присутствующих в виновности обезьяны?

Судьи, от бананов скушав по кусочку,                                                                    Присудили впредь им падать в одну точку.

- Просьба огласить приговор.

Судья. Суд постановил: обезьяну считать виновной в нарушении теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой и приговаривает ее к исправительным работам, во время которых она должна тренироваться бросать бананы в одну точку. Длину перпендикуляра отныне называть расстоянием от точки до прямой.

Учитель. А теперь всем присутствующим в зале предстоит написать репортаж из зала суда, т.е. письменно оформить доказательства в тетрадях со всеми необходимыми ссылками (10 мин.).

- Слово предоставляется судебным исполнителям, которые еще раз напомнят вам о звучащем в приговоре понятии расстояния и покажут, как оно работает на практике.

4. Итог урока.
5. Домашнее задание: выучить теорему, решить предложенные учителем задачи.