Сборник разноуровневых заданий 1, 2, 3 уровня по геометрии (стереометрия)
методическая разработка по геометрии

СБОРНИК

разноуровневых заданий 1, 2, 3 уровня

по геометрии (стереометрия)

г. Санкт-Петербург                                                Составлен: Абрамова Т. М.

                                                                                учитель математики

Глава     «МНОГОГРАННИКИ»  - 12час.

Тема урока: «Понятие многогранника»

Задачи.

1 уровень

1) Эйлерова характеристика многогранников равна 2 т.е. В –Р + Г, где В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней.

Заполнить таблицу известных многогранников

2) В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см . Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

3) Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

4) Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64   см . Найдите ребро куба и его диагональ.

2 уровень

1. Основанием наклонного параллелепипеда АВСДАВСД является ромб. Боковое ребро СС составляет равные углы со сторонами основания СД и СВ. Докажите, что: а) СС    ВД;   б) ВВДД – прямоугольник;   в) ВД    ААС;  г) ААС    ВВД.

3 уровень

1. Из деталей, имеющих формы правильной треугольной и четырехугольной призм, необходимо изготовить цилиндры наибольшего объема. Какой процент материала пойдет в отходы в каждом случае?

2. Дан ящик для упаковки арматуры с его размерами (мм). 690х290х200. Определите объем ящика и количество материала, необходимого для его изготовления. Можно ли изготовить ящик такого же объема, на который пойдет меньше материала того же качества?

3. Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.

4. Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см?

5. Назвать многогранники – созданные человеком – созданные природой

6. На моделях пирамиды и призмы самостоятельно подсчитать Эйлерову характеристику В – Р + Г = 2, В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней Заполнить таблицу.

7) Подсчитать число вершин, ребер, граней для любой пирамиды и любой призмы и заполнить таблицу.

Тема урока: «Призма»

Задачи

1 уровень

1. В основании прямой призмы АВСАВС лежит прямоугольный треугольник АВС ( угол С = 90 градусов АС = 4; ВС = 3. Через сторону АС и вершину В  проведена плоскость. Угол ВАС = 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2. В правильной п – угольной призме сторона основания равна  а  и высота равна Н. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) п=3, Н=15см, а=10см;

      б) п=4, а= 12дм, Н = 8дм;       в) п = 6, а = 23см, Н = 5дм;      г) п = 5, а = 0,4м, Н =10см.

3. Основание прямой призмы – треугольник  со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

4. Сторона  основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

5. Основание прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120 градусов. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см 2. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

6. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

7. Основание прямой призмы – ромб с острым углом 60 градусов. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности – 240 см2 . Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

2 уровень

1) В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник АВС (углом С = 90 градусов) Через сторону ВС и вершину А1 проведена плоскость, угол ВА1С = 30 градусов, А1В = 10   АС = 5. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2) В прямой треугольной призме АВСА1В1С1   АС = ВС = 5,  АВ = 6,  ВД┴АС, угол ВСД = 30 градусов. Найти: соs С1ВС

3. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

4. Боковая  поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм2 . Диагональ основания призмы равна 4 2 дм. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину.

5. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник  с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.
6. Высота правильной четырехугольной  призмы равна  1 дм , а площадь боковой поверхности равна 16 дм2. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через  диагональ нижнего основания, и противолежащую вершину верхнего основания.

Тема урока:    «ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД».

                          «Виды параллелепипеда»

                          «Площадь и объем параллелепипеда».

Задачи

1 уровень

1. Сумма всех ребер параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если известно, что АВ\ВС = 4\5.

2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

4)  Через два противолежащих ребра куба проведено сечение , площадь которого равна 64 2 см2  . Найдите ребро куба и его диагональ.

 2 уровень

1. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1, если АС1 = 12  и диагональ ВД1 составляет с плоскостью грани АА1Д1Д угол в 30 градусов, а с ребром ДД1 – угол в 45 градусов.

2) Диагональ куба равна 6 см. Найдите:   а) ребро куба;  б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

3) Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2 6 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

3 уровень

1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с меньшей гранью угол. Через большие стороны верхнего и нижнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол. Зная, что периметр равен Р, найдите измерения параллелепипеда.

2. В прямом параллелепипеде  АВСДА1В1С1Д1 АВ=1; ВС=7; угол АВС=150 градусов. Через диагональ АС и вершину В1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Тема урока: «ПИРАМИДА»

Задачи

1 уровень

1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

2) Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см 2

Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что : а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание;

2 уровень

1. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120 градусов. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45 градусов. Найдите площадь основания пирамиды.

2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен Фи. Найдите высоту этой пирамиды.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусов. Найдите боковое ребро пирамиды.

4. Основанием пирамиды ДАВС является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро ДА перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3 уровень

1. Основанием пирамиды является треугольник со стороной 12 см, 10см, 10см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10см, 8см, 6см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, угол между смежными боковыми гранями равен 120 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Глава:  «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» - 14 часов

                     Тема: «Цилиндр»

Задачи:

1. уровень

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60градусов. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

3. Концы отрезка АВ лежат на окружностях основание цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: а) h, если радиус равен 10 дм., d = 8дм., АВ=13дм.; б) d, если h=6см., r = 5см., АВ = 10 см.

2. уровень

1. Докажите что осевое сечение цилиндра является прямоугольникам , две противоположные стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5м,  а высота – 4м.

2. Площадь основания цилиндра относиться к площади осевого сечения как √3п : 4. Найдите: а) Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

3. Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше его радиуса, то сечения цилиндра представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого – образующие цилиндры.

4. Высота цилиндра равна 8см, радиус равен 5см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3см.

3. уровень

1. Алюминиевый  провод диаметром 4мм имеет массу 6,8кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6г/см³)

2. Какое количество тонн нефти вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18м и высотой 7м, если плотность нефти равна 0,7 г/см³?

3. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см³) с толщиной стенок 4мм имеет внутренний диаметр 13мм. Какова масса трубы, если её длинна равна 25м?

4. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1см. На сколько измениться уровень воды в мензурке?

Тема: Конус

Задачи:

1. уровень

1. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8см. Найдите образующую конуса.

2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь основания конуса, если: а) а = 30градусов; б) а = 45 градусов; в) а = 60 градусов

2. уровень

1. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5см.

2. Осевое сечение конуса – правильный треугольник со стороной 2r. Найдите площадь сечения проведённого через 2 образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30 градусов; б) 45 градусов; в) 60градусов.

3. Образующая конуса равна l, а радиус основания равен r. Найдите площадь сечения проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) 60градусов б) 90грдусов

3. уровень

1. Ведро имеет форму осечённого конуса, радиусы оснований которого равны 15см и 10см, а образующая равна 30см. Сколько килограммов краски нужно взять для того чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких вёдер, если на 1м² требуется 150г краски? (толщину стенок вёдер в расчёт не принимать).

Тема: «Сфера и шар»

Задачи

1. уровень

1. Точки А и В лежат на сфере радиуса R. Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ = m.

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: а) А(2;-4;7), R=3; б) А(0;0;0), R√2; в) А(2;0;0) R=4.

3. Найдите площадь сферы, радиус которой равен: а) 6см; б) 2дм; в) √2м; г) 2√3см.

2. уровень

1. Шар радиуса 41дм пересечён плоскостью, находящийся на расстоянии 9дм от центра. Найдите площадь сечения.

2. Через точку, делящую радиус сферы по полам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите: а) Радиус получившегося сечения; б) Площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием – полученное сечение.

3. Используя формулу площади сферы, докажите, что площадь полной поверхности цилиндра полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата.

3. уровень

1. Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвёртую часть диаметра земли.  Сравните объёмы луны и земли, считая их шарами.

2. Стаканчик для мороженного конической формы имеет глубину 12см и диаметр верхней части 5см. На него сверху положили 2 ложки мороженного в виде полушарий с диаметром 5см. Переполнит ли мороженное стаканчик если оно растает?

3. Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5м и высотой 60см?

4. Вода покрывает приблизительно ¾ земной поверхности. Сколько км² земной поверхности занимает суша? ( радиус Земли считать равным 6375км).

5. Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиусом 10см? ( На швы добавить 8% от площади поверхности мяча).

Глава «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ».

«МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ». – 14часов

Тема урока: «Понятие вектора в пространстве»

Задачи

1 уровень

1. В тетраэдре АВСД точки М, N и К – середины ребер АС, ВС и СД соответственно, АВ =3 см, ВС = 4 см, ВД = 5см. Найдите длины векторов: а) АВ,ВС, ВД, NМ, ВN, NK; б) СВ, ВА, ДВ, NC, KN.

2. Измерения прямоугольного параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 имеют длины: АД = 8 см, АВ = 9 см и АА1 = 12 см.Найдите длины векторов: а)СС1, СВ,СД; б) ДС1, ДВ, ДВ1.

2 уровень

1. Известно, что АА1 = ВВ1. Как расположены по отношению друг к другу:

а) прямые АВ и А1В1; б) прямая АВ и плоскость, проходящая через точки А1 иВ1; в) плоскости одна из которых проходит через точки А и В, а другая проходит через точки А1 иВ1?

2) Изобразить параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. Найти середины ребер В1С1 и А1Д1 (М и К – середины ребер). Назовите вектор, который получится, если отложить:

а) от точки С вектор, равный ДД1; б) от точки Д вектор , равный СМ; в) от точки А1 вектор равный АС; г) от точки М вектор, равный КА.

3 уровень

1. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра ,хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба Как должен двигаться паук?

Тема: «Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число»

Задачи

1 уровень

1. Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1, которые: а) противоположны вектору СВ; б) противоположны вектору В1А; в) равны вектору – ДС; г) равны вектору – А1В1.

2. Нарисуйте параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 и обозначьте векторы С1Д1, ВА1, АД соответственно через а, в, с. Изобразите на рисунке векторы: а) а - в; б) а – с; в) в-а;

 2 уровень

1. Дан тетраэдр АВСД. Докажите, что: а) АВ+ ВД=АС + СД; б)АВ +ВС = ДС + АД; в) ДС + ВД = АС + ВА

2. Пусть АВСД параллелограмм, а О – произвольная точка пространства. Докажите, что: а) ОВ – ОС =ОС – ОД; б) ОВ –ОС = ДА.

3. Точка  Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды , равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.

     3 уровень

1. Сформулируйте определение  произведения  вектора а  на число к, сочетательный, первый и второй распределительные законы умножения вектора на число. Проиллюстрируйте их на примерах.

       2) Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника

           АВСД, пересекаются в точке М. Точка О – произвольная точка пространства.  

           Докажите, что справедливо равенство вектор ОМ=1\4(ОА+ОВ+ОС+ОД).

Тема: « Компланарные векторы»

Задачи

1 уровень

1. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) АА1, СС1, ВВ1; б) АВ, АД, АА1; в) В1В,АС,ДД1; г) АД,СС1, А1В1?

2. Отрезок  ЕF соединяет середины ребер АС и ВД тетраэдра АВСД. Докажите, что 2 FE = ВА + ДС. Компланарны  ли векторы FE, ВА, и ДС?

2 уровень

1. Даны параллелограммы АВСД и  АВ1С1Д1. Докажите, что векторы ВВ1, СС1 и ДД1 компланарны.

2. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. а) Разложите вектор ВД1 по векторам ВА, ВС, ВВ1.б) Разложите вектор В1,Д1 по векторам А1А, А1В, А1Д1.

3 уровень

1) В вершинах А1,В и Д куба АВСДА1В1С1Д1 ребро которого равно а помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряженность создаваемого ими электрического поля в точках А и С1, через вектор АС1. б) Найдите абсолютную величину результирующей напряженности в точках С, В1, в центре грани А1В1С1Д1 и в центре куба.

Тема: «Координаты точки и координаты вектора»

Задачи

1 уровень

1. Даны координаты четырёх вершин куба АВСДА1В1С1Д1,: А(0;0;0), В(0;0;1), Д(0;1;0), А1(1;0;0). Найдите координаты остальных вершин куба.

2. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

2 уровень

1. Даны векторы ОА (3;2;1), ОВ (1;-3;5) и ОС (-1/3;0,75;-2,75). Запишите координаты точек А, В, С, если точка О - начало координат

2. Даны точки М (-4;7;0) и Н (0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка МН

3 уровень

1. Придумать и составить задачу на нахождение координат векторов.

Тема: «Скалярное произведение векторов»

Задачи

1 уровень

1. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Найдите угол между векторами: а) В1В и В1С; б) ДА и В1Д1; в) А1С1 и А1В; г) ВС и АС; д) ВВ1 и АС; е) В1С и АД1; ж) А1Д1 и ВС; з) АА1 и С1С.

        2 уровень

1. В кубе АВСДА1В1С1Д1 точка М лежит на ребре АА1, причём АМ:МА1= 3:1, а точка N середина ребра ВС вычеслите cos угла между прямыми: а) МN и ДД1; б) MN и ВД; в) MN и В1Д; г) MN и А1С

       3 уровень

1. Ребро куба  АВСДА1В1С1Д1 равно а, точка О1- центр грани А1В1С1Д1. Вычислите скалярное произведение векторов: АД и В1С1;  АС и С1А1;  Д1В и АС.

2. Даны точки А(1;3;0), В(2; 3; -1) и С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами СА и СВ.

3)  Найдите углы, периметр, площадь треугольника, вершинами которого являются точки  А(1;-1;3), В(3;-1;1) и С(-1;1;3).