Конспект урока "Теорема о трех перпендикулярах"
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Тема урока: «Теорема о трёх перпендикулярах».

Цели урока:

обучающие:

• знать теорему о трех перпендикулярах и уметь применять ее при решении задач;

развивающие:

• уметь логически мыслить, точно выражать свои мысли, творчески подойти к поставленной задаче;

воспитательные: 

• воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету; показать красоту предмета.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: иллюстративно-словесный (комментируется ход доказательства теоремы, решаются задачи на применение теоремы).

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения:

(в том числе технические средства обучения)

Компьютер, мультимедийный проектор, экран, принтер, печатные средства (раздаточный материал).

Содержание урока:

План урока:

1. Организационный момент (2 мин).
2. Постановка цели урока. (1 мин).
3. Актуализация опорных знаний (4 мин).
4. Изучение нового материала (15 мин).
5. Закрепление изученного материала (20 мин).
6. Домашнее задание (1 мин).
7. Подведение итогов (2 мин).
8. Резерв.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Постановка цели урока.

Сегодня мы с вами узнаем теорему о трех перпендикулярах и научимся решать и доказывать задачи в пространстве с помощью это теоремы.

3. Актуализация опорных знаний.

Проводится в форме фронтальной работы с классом.

• Способы задания плоскости;
• Какие прямые в пространстве называются параллельными?
• Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
• Определение перпендикулярности прямой и плоскости;
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости;
• Как проверить  перпендикулярность  прямой и плоскости с помощью строительного угольника?
• Сформулируйте теорему о перпендикулярности плоскости одной из параллельных прямых;
• Что называется перпендикуляром к плоскости?
• Что называется наклонной к плоскости?
• Что называется проекцией наклонной на плоскость?

 4. Изучение нового материала.

Учитель: Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока «Теорема о трёх перпендикулярах».

Учитель:

1. Запишите в тетрадях теорему о трёх перпендикулярах:

Теорема 1. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство: 

Рассмотрим плоскость . Прямая  перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым  и , лежащим в плоскости  (по условию и, так как . Отсюда следует, что прямая перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , в частности . ЧТД.

Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

2) Решение примеров на доске:

Задача 1. В треугольнике  угол прямой, а - перпендикуляр к плоскости . Доказать, что  - прямоугольный.

Доказательство: Сделаем рисунок (рисунок 2).

        Пусть треугольник  лежит в плоскости . Так как  перпендикулярна плоскости , то . Прямую рассмотрим как наклонную к плоскости , тогда  будет проекцией   на плоскость . По условию, так как в  , то . Таким образом по теореме о трех перпендикулярах  из того что  и , следует, что . Получаем, что в  угол  прямой, а значит  - прямоугольный. ЧТД

Задача 2. Из вершины  квадрата  со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр  длиной 12 см. Доказать, что треугольник - прямоугольный и найти его площадь.

Решение: Сделаем рисунок ( рисунок 3).

Обозначим  - плоскость, в которой лежит квадрат . По условию , тогда . Если рассмотреть  как наклонную к плоскости , то  является её проекцией на эту плоскость. Так как - квадрат, . С другой стороны  можно рассматривать как прямую, проведенную в плоскости  через основание наклонной  перпендикулярную ее проекции . Тогда по теореме о трех перпендикулярах  и . Таким образом,  - прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника  можно найти как полупроизведение катетов  и . Для нахождения , рассмотрим . Он прямоугольный, ,  в этом треугольнике является гипотенузой. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора: . По условию  см и см. Подставляя эти значения в последнее равенство, получим:

 (см)

Формула для нахождения площади  запишется следующим образом:

Подставляя в это равенство заданное значение  см и найденное значение  см, получим:  (см2)

5. Закрепление изученного материала.

Учитель: Решаем задания № 138, 140, 148, 150 (а) (§2 Атанасян Л.С. «Геометрия» 10-11 класс).

6. Домашнее задание.

Запись на доске и в дневниках: Атанасян Л.С. «Геометрия» 10-11 класс. §2 №150 (б)

7. Подведение итогов.

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

8. Резерв. Кроссворд.

По горизонтали:

1. Значение переменной при решение уравнений.
2. Прямые, которые пересекаются под прямым углом.
3. Какой знак нужно поставить между числами 5,3 и 5,65 ?
4. Основное геометрическое понятие стереометрии.
5. Равенство, содержащее переменную. 

По вертикали:

6. Сколько способов задания плоскости? 
7. Математическое предложение, не требующее доказательства.
8. Математическое предложение, требующее доказательства.
9. Древнегреческий ученый – математик.

Ответы: 1) корень; 2) перпендикулярные; 3) меньше; 4) прямая; 5) уравнение; 6) четыре; 7) аксиома; 8) теорема; 9) Пифагор.