Разноуровневые билеты по геометрии 8 класс
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Учитель Осколкова И.А.

Билеты по геометрии для 8 класса 2020-2021гг.

БИЛЕТ № 1.

1. Равные треугольники. Признаки равенства треугольников.
2. Углы между хордами и секущими в круге.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Найти площадь ромба со стороной, равной 8 и острым углом 30 градусов.

2 уровень

В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD угол ВАD = 20 градусам, угол САD = 70 градусам, средняя линия = 5, а длинна отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину  АD.

БИЛЕТ № 2.

1. Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Теорема о средней линии трапеции.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба 27 кв.см.

2 уровень

В окружности с центром в точке О проведены 2 хорды, АВ и СD. Прямые АВ и СD перпендикулярны и пересекаются в точке М, лежащей вне окружности. При этом АМ = 17, ВМ = 3, СD = 10 корней из 21. Найти ОМ.

БИЛЕТ № 3.

1. Равнобедренный треугольник. Признаки равнобедренного треугольника.
2. Теорема о касательной и секущей.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Найдите периметр параллелограмм, если биссектриса одного из углов делит сторону параллелограмма на отрезке 7 и 14 см.

2 уровень

Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиусом 8 и с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности, вписанный в треугольник АВС.

БИЛЕТ № 4.

1. Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора.
2. Теоремы о сумме углов треугольника и внешнем угле треугольника.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Докажите, что медиана разбивает треугольник на 2 равновеликих.

2 уровень

В равнобедренной трапеции АВСD диагонали взаимно перпендикулярны, высота ВН равняется 12. Найдите среднюю линию трапеции.

БИЛЕТ № 5.

1. Параллельные прямые. Признаки параллельности двух прямых.
2. Основные свойства площадей. Вывод формул площадей прямоугольника, параллелограмма.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DЕ, причем точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и Е на другой. Найдите АС, если СЕ = 10, АD = 22, ВD = 8.

2 уровень

В окружности с центром в точке О проведены 2 хорды, АВ и СD. Прямые АВ и СD перпендикулярны и пересекаются в точке М, лежащей вне окружности. При этом АМ = 36, ВМ = 6, СD = 4 корней из 46. Найти ОМ.

БИЛЕТ № 6.

1. Параллельные прямые. Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.
2. Основные свойства площадей. Вывод формул площадей треугольника, трапеции, ромба.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Докажите, что отношения периметров подобных треугольников равны коэффициенту подобия.

2 уровень

В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD угол ВАD = 25 градусам, угол СDА = 65 градусов, средняя линия = 10, длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 8. Найдите длину АD.

БИЛЕТ № 7.

1. Определение окружности. Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде. Теорема о хордах, равноудаленных от центра окружности.
2. Свойства биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Периметр параллелограмма АВСD равен 50 см., угол С = 30 градусов, а перпендикуляр ВН к прямой СD = 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

2 уровень

В равнобедренной трапеции АВСD диагонали перпендикулярны, высота СН равняется 15 см. Найдите площадь трапеции.

БИЛЕТ № 8.

1. Касательная к окружности. Основная теорема о касательных. Равенство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.
2. Теорема о средней линии треугольника.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника.

2 уровень

В треугольнике АВС: С1 принадлежит АВ; А1 принадлежит ВС; В1 принадлежит АС. Причем ВА1:А1С = 3:7; АВ1:В1С = 1:3; АС1 = С1В. Найдите отношение площадей треугольников В1А1С1 и АВС.

БИЛЕТ № 9.

1. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.
2. Векторы. Определение суммы и разности векторов и их свойства.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Две прямые касаются окружности с центром О в точках А и В, пересекаются в точке С. Найдите угол между этими прямыми, если угол АВО = 40 градусов.

2 уровень

В треугольнике АВС угол В равен 120 градусов, а длина стороны АВ на корень из 3 меньше полупериметра треугольника АВС. Найдите радиус окружности, касающийся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

БИЛЕТ № 10.

1. Параллелограмм. Признаки и свойства параллелограмма.
2. Векторы. Равные векторы. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Абсолютная величина вектора.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Докажите, что прямая параллельная стороне данного треугольника и пересекающая две другие его стороны (или их продолжения) образуют с этими сторонами треугольник, подобный данному.

2 уровень

Найдите площадь треугольника, медианы которого 3,4,5.

БИЛЕТ № 11.

1. Вписанный угол. Основная теорема о вписанном угле. Угол между касательной и хордой.
2. Теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Хорда АВ стягивает дугу, равную 115 градусам, а хорда АС – дугу в 43 градуса. Найдите угол ВАС.

2 уровень

Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Найдите углы треугольника.

БИЛЕТ № 12.

1. Ромб. Признаки и свойства ромба.
2. Формула Герона.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см., а основание равно 16 см. Найдите высоту, приведенную к основанию.

2 уровень

В трапецию вписана окружность радиуса 6. Точка касания делит нижнее основание трапеции на отрезки длинной 9 и 12.  Найдите стороны и площадь трапеции.

БИЛЕТ № 13.

1. Признаки и свойства прямоугольника, квадрата.
2. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд и секущих окружности.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см., КС = 9 см.

2 уровень

В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90 градусов) один из катетов в два раза больше другого. СD – высота треугольника. В треугольниках АСD и ВСD проведены биссектрисы DК и DР соответственно. Найдите площадь треугольника АВС, если КР = 4.

БИЛЕТ № 14.

1. Свойство и признак вписанного четырехугольника.
2. Медиана треугольника. Теоремы о медианах треугольника.

ЗАДАЧИ

1 уровень

В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О.  Найдите периметр треугольника АОВ, если угол САD = 30 см., АС = 12 см.

2 уровень

На одной стороне угла с вершиной В отмечены точки М и О, а на другой – К и Р так, что ВМ = ВР, ВО < ВМ, ВК <  ВР, а угол ОРВ равен углу КМВ. Доказать, что: а) МК = ОР; б) МТ = ТР, где Т – точка пересечения отрезков МК и ОР.

БИЛЕТ № 15.

1. Теорема Фалеса. Обобщенная теорема Фалеса.
2. Теорема о биссектрисе угла. Окружность, вписанная в треугольник.

ЗАДАЧИ

1 уровень

На стороне параллелограмма АВСD отмечена точка Е. прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите DЕ и ЕС, если АВ = 8, АD = 5, СF = 2.

2 уровень

Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина АС втрое больше длины АВ. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольнике АВС.

БИЛЕТ № 16.

1. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку. Окружность, описанная около треугольника.
2. Неравенство треугольника. Теорема о соотношении между сторонами и  углами в треугольнике.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Найдите углы   ромба с диагоналями 2 корень из 3 и 2.

2 уровень

Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина АС втрое больше длины АВ. Найдите отношение площади треугольника АКМ к площади четырехугольника КРСМ.

БИЛЕТ № 17.

1. Свойство и признак описанного четырехугольника.
2. Синус, косинус и тангенс углов в 300, 450, 600.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Докажите, что площадь  ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны 3,2 дм. и 14 см.

2 уровень

В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ = 20, а катет ВС = 16. Найдите расстояние от вершины С до биссектрисы угла А.

БИЛЕТ № 18.

1. Трапеция. Виды трапеции. Теорема о четырех точках трапеции.
2. Задачи на построение общей касательной к двум окружностям с помощью циркуля и линейки.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом r в точке В. Найдите АВ, если угол АОВ = 60 градусов, а  r = 12 см.

2 уровень

В треугольнике АВС  биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 2008. Найдите стороны треугольника АВС.

БИЛЕТ № 19.

1. Теорема Чевы.
2. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Одна из диагоналей   параллелограмма является его высотой. Найдите диагональ, если периметр параллелограмма = 50 см., а разность смежных сторон = 1 см.

2 уровень

Стороны треугольника равны 6, 10 и 14. Биссектриса треугольника разбивает его на 6 треугольников. Чему равна наибольшая из площадей образовавшихся треугольников?

БИЛЕТ № 20.

1. Теорема Менелая.
2. Прямоугольный треугольник. Свойства прямоугольного треугольника.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Набольший угол прямоугольной трапеции равен 120 градусов, а большая боковая сторона равна с. Найдите разность оснований.

2 уровень

Высота АН ромба АВСD делит сторону СD на отрезки DН = 21 и СН = 8. Найдите высоту.

БИЛЕТ № 21.

1. Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
2. Геометрические построения. Основные задачи на построения с помощью циркуля и линейки.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DЕ, причем точки В и D лежат на одной стороне угла А, а С и Е на другой. Найдите ВС, если АВ:ВD = 2:1 и DЕ = 12.

2 уровень

Площадь треугольника АВС равна 80. Биссектриса АD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом, ВD:СD = 1:3. Найдите площадь четырехугольника ЕDСК.

БИЛЕТ № 22.

1. Теорема Птолемея.
2. Высота треугольника. Теоремы о высотах треугольника.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами равными 24 см., 25 см., 7 см.

2 уровень

Биссектрисы острых углов А и D трапеции АВСD составляют угол 120 градусов и проходят через вершины В и С соответственно. В каком отношении точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую диагональ.

БИЛЕТ № 23.

1. Вневписанные окружности.
2. Трапеция. Виды трапеции. Свойства и признаки равнобедренной трапеции.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Найдите площадь ромба со стороной 8 см. и острым углом 30 градусов.

2 уровень

На медиане ВD треугольника АВС отмечена точка М, так что ВМ:МD = m:n. Прямая АМ пересекает ВС в точке К. Найдите отношение ВК:АС.

БИЛЕТ № 24.

1. Многоугольник. Выпуклый многоугольник. Теоремы о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника.
2. Построение треугольника с помощью циркуля и линейки.

ЗАДАЧИ

1 уровень

Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из углов делит стороны параллелограмма на отрезки 7 и 14 см.

2 уровень

Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника, катеты которого равны 18 и 24.