Геометрия и оригами
презентация к уроку по геометрии (7, 8, 9, 10, 11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Оригами – японское искусство складывания различных фигурок из листков очень тонкой бумаги. Никто не знает, кто именно и когда придумал оригами. Многие поколения японцев внесли в оригами свой вклад, передавая умение складывать плоский лист в чудесную фигурку. Оригами

Слайд 3

Гипотеза: Использование техники оригами при доказательстве теорем и решении геометрических задач делает решение более наглядным и способствует развитию образного мышления при изучении отдельных тем геометрии. Цель работы: рассмотреть технику оригами, и научиться ее применять при доказательстве теорем и решении геометрических задач .

Слайд 4

Задачи, поставленные в нашей работе : 1. Ознакомиться с техникой оригами; 2. Проанализировать связь оригами и геометрии на примере основных элементов оригами, решении геометрических задач. 3. Познакомить с техникой оригами и способами решения геометрических задач с помощью оригами одноклассников. Объектом исследования является техника оригами Предметом исследования является применение техники оригами при доказательстве теорем и решении геометрических задач

Слайд 5

Применение оригами при доказательстве теорем. Теорема: Сумма углов треугольника равна 180˚ . Доказательство: Вырежем из бумаги треугольник любой формы и перегнем его сначала по линии В H так, чтобы основание треугольника легло на себя. Перегнув затем треугольник по линиям D E, DF и EK так, чтобы точки C и A попали в точку В, получим прямоугольник FDEK и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1,2,3) составляют в сумме два прямых. А В С Н D E F K Н D E F K 2 1 3

Слайд 6

Теорема: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Доказательство: Возьмём лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы – углы 1 и 2. Согнём лист по секущей АВ. Совместим вершины накрест лежащих углов – точки А и В. углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно . ے 1= ے 2. Значит накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Слайд 7

Свойство прямоугольного треугольника: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы . Доказательство: Наметим середину стороны квадрата. Точка D должна лечь на намеченную линию. Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение. Точка А должна лечь на намеченную линию. Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение Δ ADN – прямоугольный, острый угол которого 30 °. Совместив точки A и D, получим точку Х, а потом отогнём в первоначальное положение. Δ ADX равнобедренный и углы при основании равны 30 °. ے XDN=60° ے XND=60°, значит Δ XDN равносторонний, т.е. DN = NX = AX = 1/2 AN. Катет DN лежит против угла 30 ° и равен 1/2 гипотенузы AN.

Слайд 8

Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2:1, считая от вершины. Доказательство: На треугольном листе бумаги путем совмещения двух вершин углов устанавливается засечка – таким образом определяется середина стороны. На следующем этапе проводится линия сгиба через вершину угла и намеченную середину противолежащей стороны. Эта линия сгиба является медианой треугольника. В треугольнике можно провести методом перегибания бумаги только три медианы, которые в данном случае являются линиями сгибов. Совместив вершину треугольника с точкой пересечения медиан, можно убедится в выполнении соотношения 2:1.

Слайд 9

Использование оригами при построении правильных многоугольников Задача №1 . Построить правильный треугольник. Решение:

Слайд 10

Задача №2 . Построить правильный пятиугольник Решение:

Слайд 11

Задача №3 . Построить правильный шестиугольник. Решение :

Слайд 12

Геометрические задачи и оригами. 1.Постановка задачи. Вписать в квадрат равнобедренный треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину А) чему равны углы АСF и AEC? Б) чему равна сторона EC по отношению к стороне BC исходного квадрата? В) как относятся отрезки, на которые точка G делит диагональ AC? Г) как соотносятся площади треугольников AEF и ECF? Задача № 1.

Слайд 13

Задание А) ; ; ; Задание Б ) обозначим BC=a. Рассмотрим треугольник ABC, B=90 ° . AC= , AG=AC-CG= т . к . BC=CG=a. AEC: AG=EG, т . к . AGE=90 ° , EAG=45 ° , значит AEG=45 ° . ECG: EC= = . Задание В) AG = a ( , CG = a = = = . Задание Г) Saef : Sefc =? Saef = EF*AG Sefc = EF*CG = =

Слайд 14

1.Постановка задачи. Вписать в квадрат равносторонний треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину 2. Математическое обоснование Рассмотрим треугольник AEM и определим градусные меры углов этого треугольника. FAB= BAK=15 ° DAE= DAO=15 ° ( по построению) MAE=(90 ° -15 ° -15 ° )=60 ° Треугольник ABM= треугольнику AED , т.к. AB=AD-стороны квадрата, BAD= EAD=15 ° , Треугольник АМЕ- равнобедренный, отсюда AME= AEM. AME= AEM=(180 ° -60 ° )/2=60 ° . Все углы равны, значит треугольник АМЕ- равносторонний. Задача № 2.

Слайд 15

1. Постановка задачи. Вписать в квадрат правильный шестиугольник, у которого вершины принадлежат сторонам треугольника 2. Математическое обоснование Рассмотрим треугольник АВС: САВ=180 ° :3=60 ° ; АВ=АС; (по построению) Треугольник АВС- равносторонний. Треугольники совпал при наложении. Следовательно Треугольники САК=КАО=AON=NAM=MAB=ABC. Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов: BC=KC=KO=ON=NM=MB. Отсюда KONMBC- правильный шестиугольник. Задача № 3.

Слайд 16

Инструкционно -технологические карты В результате изученных приемов оригами были разработаны инструкционно -технологические карты.

Слайд 17

Заключение. Метод оригами, рассмотренный в данной работе, оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для освоения многими учащимися геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классических рассуждений, теорем, и, самое главное, побуждает к дальнейшим исследованиям.

Слайд 18

Список использованных источников. 1. С. Н. Белим Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г., 66с. 2. О. В. Весновская , Методика использования оригами в изучении геометрии школьного курса, Ярославский педагогический вестник № 2–2010 3. О. Мандражи , М. Федунов, Оригаметрия как новая математическая теория, издательская группа «ОСНОВА» № 7 (31) июль 2013; 4. Г.Г. Шеремет , Оригами как средство развития интеллектуальных и творческих способностей детей [Текст] / Г. Г. Шеремет // Информационно-методический журнал Пермского областного детского центра «Восхождение», выпуск 5. – Пермь : Восхождение, 2006. – С. 40–44.