Равнобедренный треугольник
презентация к уроку по геометрии (9 класс)

Слайд 1

Актуальность темы Актуальность данной темы определяется во- первых, задания геометрического содержания на экзамене проверяют умение решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин. Во-вторых, современная жизнь делает задачи по геометрии актуальными, так как сфера их практического приложения расширяется. Вопросы инновационных технологий в строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания важных и интереснейших свойств треугольника.

Слайд 2

Что такое равнобедренный треугольник? Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. По определению, каждый правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно. Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Слайд 3

Равнобедренный треугольник На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным. Вот как называются стороны равнобедренного треугольника: AB и BC — боковые стороны, AC — основание треугольника.

Слайд 4

Равнобедренный треугольник Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH. Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В данном треугольнике медианой является отрезок BH. Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника. Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Слайд 5

Признаки равнобедренного треугольника Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Слайд 6

Свойства равнобедренного треугольника Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство теоремы: Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C.

Слайд 7

Свойства равнобедренного треугольника Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона). Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.Во -вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Слайд 8

Свойства равнобедренного треугольника Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.Во -вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Слайд 9

Свойства равнобедренного треугольника Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.Во -вторых, AH = HC и BH — медиана.

Слайд 10

Формулы равнобедренного треугольника Стороны в равнобедренном треугольнике могут быть вычислены с помощью формул, выражающих их длину через другие стороны и углы, величина которых известна. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна частному от деления основания на двойной косинус угла при основании a= 2. Основание равнобедренного треугольника равно произведению боковой стороны на квадратный корень из удвоенной разности единицы и косинуса угла при вершине b= a

Слайд 11

Формулы равнобедренного треугольника 3 . Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на синус половины угла при вершине. b= 2a 4 . Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при его основании b= 2a

Слайд 12

Задача 1 Дано: ΔABC с основанием AC ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B. Так как мы уже знакомы с различными теоремами, то из теоремы известно , что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC. Значит, ∠A = ∠C = 80°. Сумма углов треугольника равна 180°. ∠B = 180° − 80° − 80° = 20°. Ответ: ∠B = 20°.

Слайд 13

Задача 2 В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см. Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса. Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см. Ответ: 5 см.

Слайд 14

Спасибо за внимание !