Контрольная работа по геометрии с ответами
методическая разработка по геометрии (7 класс)

Контрольная работа по геометрии

Вариант 1

1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔАВО = ΔCDO.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС.
3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD.
4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90).
   а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР?

 б) Найдите длину медианы PD. 

Вариант 2

1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ΔАВО = ΔDCO.
2. В равнобедренном треугольнике AВС с основанием АС сумма углов А и С равна 156°. Найти: углы треугольника АВС.
3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: АВ || CD.
4. * Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92).
   а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС?
   б) Найдите длину медианы BE.

Вариант 3

1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40° (рис. 5.93). Доказать: ΔABD = ΔDCA.
2. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника.
3. Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С лежат на прямой а, а точки В и D — на прямой b. Доказать: АС = BD.
4. * Дано: АВ = ВС, ВТ = 4 см (рис. 5.94).
   а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка АС?
   б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС. 

Вариант 4

1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 10° (рис. 5.95). Доказать: ΔABD = ΔDCA.
2. В равнобедренном треугольнике угол при основании в четыре раза больше угла между боковыми сторонами. Найдите углы треугольника.
3. Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С принадлежат прямой а, а точки В и D — прямой b. Доказать: АВ = CD.

4* Дано: АВ = ВС, АС = 10 см (рис. 5.96).
           а) Между какими целыми числами заключена длина высоты AВС?
           б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС. 

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№1. ∠D = 45°. ΔАВО = ΔCDO по равной стороне и двум прилежащим к ней углам.

№2. ∠A = 69°, ∠В = 69°.

№3. ΔABC = ΔАDC по 3 признаку. АС — секущая => ∠BAC = ∠ACD (накрестлежащие) => АВ || CD.

№4. а) между 8 и 9; б) 5 см.

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№1. ∠С = 65°.

№2. ∠A = 78°, ∠В = 24°, ∠С = 78°.

№3. ∠А = ∠С = (360-90-90):2 = 90. Значит АВСD — прямоугольник, а у прямоугольника противоположные стороны равны и параллельны => АВ || CD.

№4. а) между 6 и 7; б) 4 см.

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
ΔADC: ∠ACD = 90°, ∠ADC = 50°, ⇒ ∠ ACD = 90° — 50° = 40°
В прямоугольных треугольниках ABD и DCA общая гипотенуза AD и одинаковые острые углы (∠ACD = ∠ADB = 40°), ⇒ ΔABD = ΔDCA по гипотенузе и острому углу.

№ 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. А сумма углов треугольника равна 180°. Будем решать алгебраическим способом. Для удобства, назовем треугольник ABC, а бОльшим будем угол A.
Пусть угол В = х. Тогда угол С= х, а угол А равен 3х (в три раза больше). Их сумма равна х+х+3х. А по теореме суммы углов треугольника 180°. Составим уравнение: х + х + 3х = 180. Решив уравнение получим: х = 36.
Значит, угол В (при основании) равен 36°, угол С (тоже при основании) равен 36°, а угол А = 36 • 3 = 108°
Ответ: углы треугольника равны 36°, 36° и 108°.

№ 3. По условию параллельные прямые а и b пересекаются двумя параллельными секущими АВ и СD, в результате этого получается четырехугольник АВСD, в котором пары противолежащих сторон АВ и СD, АС и ВD (принадлежащие прямым а и b) параллельны, значит полученный четырехугольник АВСD является параллелограммом. Противолежащие стороны параллелограмма равны, значит АС = BD, что и требовалось доказать.

№ 4. а) между числами 13 и 14.

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. а) ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 40° + 10 °= 50°.  б) ∠BAD = 180 — ∠ABD — ∠ADB = 180° — 90° — 40° = 50°.  в) ∠BAD = ∠ADC = 50°; ∠ABD = ∠ACD = 90°; гипотенуза AD общая. Отсюда следует, что треугольники равны (если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны).

№ 2. Пусть ∠A и ∠С – углы при основании, а ∠В – угол между боковыми сторонами. Так как треугольник равнобедренный, то ∠A = ∠C. Угол В обозначим х, тогда ∠A = ∠C = 4х. Составим уравнение: x + 4x + 4x = 180°. Отсюда следует, что x = 20° = ∠B. Тогда ∠A = 4 • 20 = 80° = ∠C. Ответ: углы треугольника равны 80°, 80° и 20°.

№ 3. Проведем диагональ AD и докажем, что △ABD = △ACD. Так как a параллельно b, значит накрест лежащие углы равны: ∠BAD = ∠ADC и ∠BDA = ∠CAD.  AD — общая, значит △ABD = △ACD по стороне и прилежащим углам. Следовательно, AB = CD

№ 4. a) Между числами 8 и 9.