синус косинус тангенс угла
презентация к уроку по геометрии (9 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Какой треугольник называется прямоугольным ? B C A Треугольник, у которого один угол прямой

Слайд 3

а b с катет катет гипотенуза Как называются стороны прямоугольного треугольника ?

Слайд 4

Какие свойства, связанные с углами и сторонами прямоугольного треугольника, вы знаете? ∟В+∟С=90° A B C Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Слайд 5

∟В+∟С=90° A B C Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. α 90°- α

Слайд 6

если то A B C В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы

Слайд 7

A B C Если , тогда и будет равнобедренным Если в прямоугольном треугольнике один угол равен 45°, то он является равнобедренным 45°

Слайд 8

АВ – гипотенуза ВС – катет, противолежащий углу А АС – катет прилежащий к углу А В С А

Слайд 9

Простая жизненная ситуация Почему мужчина упал с лестницы ?

Слайд 10

А В С ВС- катет противолежащий углу А АВ - гипотенуза Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника Для угла А: sin A =

Слайд 11

А В С АС- катет прилежащий к углу А АВ - гипотенуза Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника с os A=

Слайд 12

А В С ВС- катет противолежащий углу А АС- катет прилежащий к углу А Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника t g A =

Слайд 13

А В С ВС- катет противолежащий углу А АС- катет прилежащий к углу А Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему Определение котангенса острого угла прямоугольного треугольника c tg A =

Слайд 14

Определение синуса, косинуса, тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике

Слайд 15

3 4 5 s in A = cos A = tg A = s in B = cos B = tg B =

Слайд 17

6 2 tg O= 3

Слайд 18

Значения тригонометрических функций острого угла 30° 45 ° 60 ° sin α cos α tg α 1 ctg α 1 30° 45 ° 60 ° sin α cos α tg α 1 ctg α 1

Слайд 19

Определение Полуокружность называется единичной , если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1. M (x; y) C (0; 1) B (-1; 0) A(1; 0) x y O x y D h

Слайд 20

M (x; y) C (0; 1) B (-1; 0) A(1; 0) x y 0 x y D h sin  = ∆OMD - прямоугольный MD = y O M = 1 sin  = y Синус угла – ордината у точки М cos  = OD = x O M = 1 cos  = x Косинус угла – абсцисса х точки М Синус, косинус, тангенс угла tg  = MD = y = sin  OD = x = cos 

Слайд 21

M (cos α ; sin α ) C (0; 1) B (-1; 0) A(1; 0) x y 0 x y D h Синус, косинус, тангенс угла

Слайд 22

M (x; y) C (0; 1) B (-1; 0) A(1; 0) x y 0 x y D h Значения с инуса, косинуса Так как координаты ( х ; у) заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1 , то для любого  из промежутка 0  ≤  ≤ 180  справедливы неравенства: 0 ≤ sin  ≤ 1, - 1≤ cos  ≤ 1

Слайд 23

M ( cos α ; sin ) C (0; 1) B (-1; 0) A(1; 0) x y 0 x y D h Значения с инуса, косинуса и тангенса для углов 0 0 , 90 0 и 180 0  0 0 90 0 180 0 sin  0 1 0 cos  1 0 -1 tg  0 - 0 Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

Слайд 24

M ( cos α ;sin α ) C (0; 1) B (-1; 0) A(1; 0) x y 0 x y D h Основное тригонометрическое тождество х 2 + у 2 = 1 - уравнение окружности sin  = y , cos  = x sin 2 α + cos 2 α = 1 для любого  из промежутка 0  ≤  ≤ 180  sin 2 α + cos 2 α = 1

Слайд 25

Задача. Принадлежит ли точка К( У всех точек, лежащих на единичной окружности, х= cos α , y=sin α . Значит для точки К cos α = , sin α = . Если точка, лежит на единичной окружности, то должно выполняться основное тригонометрическое тождество α + Проверим, выполняется ли тождество для данной точки К = = = 1 Ответ: точка К(

Слайд 26

sin 2 α + cos 2 α = 1 sin 2 α = 1 - cos 2 α Задача. Найдите sin α , если cos α = sin α = sin α = √1 - cos 2 α .

Слайд 27

sin 2 α + cos 2 α = 1 cos 2 α = 1 - sin 2 α Если 0 < α <90° , то cos α >0 cos α = ± √1 - sin 2 α Если 9 0° < α <180° , то cos α <0

Слайд 28

Задача. Найдите cos α , если sin α = cos α = cos α = ± √1 - sin 2 α - .

Слайд 29

cos α = A B C α 90°- α sin (90- α ) = sin (90- α ) = cos α

Слайд 30

sin α = A B C α 90°- α cos(90- α ) = cos (90- α ) = sin α

Слайд 31

Формулы приведения при 0  ≤  ≤ 90  sin (90  -  ) = cos  cos (90  -  ) = sin  Известны из курса 8 класса

Слайд 33

Формулы приведения при 0  ≤  ≤ 90  sin (90  -  ) = cos  cos (90  -  ) = sin  sin (180  -  )= sin  cos (180  -  ) = - cos  при 0  ≤  ≤ 180 

Слайд 34

Задача. Найти значение sin 120°. Заметим, что 120°=180°-60°. Поэтому sin 120°= sin( 180 °-60 ° )= s in 60° = sin (180  -  )= sin  В решении будем использовать формулу приведения Ответ: sin 120° =

Слайд 35

Задача. Найти значение cos 135°. Заметим, что 1 35 °=180°- 45 °. Поэтому cos 1 35 °= cos( 180°- 45 ° )= - cos 45 ° = cos (180  -  )= - cos  В решении будем использовать формулу приведения Ответ: cos 135° = -

Слайд 36

Задача. Найти значение tg 150°. Заметим, что 1 50 °=180°- 30 °. cos 1 50 °= cos( 180°- 30 ° )= - cos 30 ° = tg  = В решении будем использовать формулу tg 150° = sin 1 5 0°= sin( 180°- 30 ° )= s in 3 0° = tg 150° = ) = = Ответ: tg 150 ° = -

Слайд 37

Значения тригонометрических функций 0° 30° 45 ° 60 ° 90° 120° 135° 150° 180° sin α 0 1 0 cos α 1 0 - - -1 tg α 0 1 - - -1 - 0 ctg α - 1 0 - -1 - - 0° 30° 45 ° 60 ° 90° 120° 135° 150° 180° sin α 0 1 0 cos α 1 0 -1 tg α 0 1 - -1 0 ctg α - 1 0 -1 -

Слайд 38

A (x; y) x y O M ( cos α ; sin α ) Формулы для вычисления координат точки А (x; y) – произвольная точка М ( сos α; sin α) x = ОА ∙ cos  y = OA ∙ sin 

Слайд 39

В ( ;…) а ) 0 б ) 1 в ) -1 г ) д ) - е ) ж ) з ) такая точка не может находиться на единичной окружности Известно, что точка B находится на единичной полуокружности. Если даны значения одной из координат этих точек, какие возможны значения другой координаты?

Слайд 40

Известно, что точк а Е находится на единичной полуокружности. Если даны значения одной из координат этих точек, какие возможны значения другой координаты? Е (…;6) А) 1 Б) 0 В) 6 Г) -1 Д) -6 Е) такая точка не может находиться на единичной окружности

Слайд 42

выполни построение угла α , если известно, что tgα =89 . В качестве ответа присоедини файл с построенным углом и описанием шагов построения. Так как тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как соотношение противолежащего и прилежащего катетов, то: 1) проводим луч; 2) выбираем отрезок любой длины за единицу; 3) откладываем от начала луча отрезок длиной 8 единиц; 4) строим через начало луча перпендикуляр к лучу (вспомни основные построения циркулем и линейкой или ещё раз повтори их); 5) на перпендикулярном луче откладываем от начала луча отрезок длиной 9 единиц; 6) соединяем конечные точки отрезков; 7) угол напротив катета длиной 8 есть искомый угол.