Урок "Теорема косинусов"
план-конспект урока по геометрии (9 класс)

Тема «Теорема косинусов»

Структура урока  открытия новых знаний:

1. Мотивационный этап.
2. Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия
3. Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия
4. Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.
5. Реализация выбранного плана по разрешению затруднения. Это главный этап урока, на котором и происходит "открытие" нового знания.
6. Первичное закрепление нового знания.
7. Самостоятельная работа и проверка по эталону.
8. Включение в систему знаний и умений.
9. Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций.

                     Цели урока:

Деятельностная: научить детей новым способам доказательства, ввести новые понятия, термины.

Содержательная: сформировать систему новых понятий, расширить знания учеников за счет включения новой теоремы.

 Образовательные: 

достичь осознания учащимися содержания теоремы косинусов, а также способов её доказательства;

 формировать умения воспроизводить содержание и доказательство теоремы косинусов, решать задачи на прямое применение теоремы косинусов к вычислению неизвестных элементов треугольников;

Развивающие:

формировать  и совершенствовать  метапредметные умения обобщать путем  сравнения,   постановки и решения проблем, оперированием  уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами, рассуждением  по аналогии;

развивать тригонометрический аппарат как средство решения геометрических задач;

развивать психические  свойства: память,  произвольное внимание, воображение.

Воспитывающие:  воспитывать интерес к приобретению новых знаний;

воспитывать потребность в доказательстве высказанной гипотезы;

воспитывать чувство коллективизма.

Планируемые результаты:

Личностные:

иметь мотивацию к познанию; оценивать ситуацию, объяснять смысл своих высказываний; осознать необходимость самообразования; осознавать свои возможности

Метапредметные:

- регулятивные УУД

определять и формулировать тему и цель урока; выдвигать гипотезы при решении учебных задач;

понимать смысл поставленной задачи, осуществлять действия по реализации плана; оценивать правильность выполненного задания; определять степень успешности своей работы, осуществлять оценку своей деятельности

- познавательные УУД

извлекать информацию из записи на доске, ориентироваться в своей системе знаний; фиксировать проблему, выстраивать логическую цепь рассуждений; работать с математическим текстом, извлекать необходимую информацию; выполнять операции по нахождению неизвестной величины и анализировать полученные данные; осознавать новые знания

- коммуникативные УУД

организовывать учебное взаимодействие с учителем и сверстниками, доносить свою позицию до других; планировать общие способы работы, отстаивать свою точку зрения, аргументируя ее; ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в письменной и устной форме

Тип урока:  

Урок  открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков

Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Ход урока

   Орг. часть.

 1. Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление   первого пробного действия

(Фронтальная работа с классом)

Чертежи на доске

                                                                   - Как вычислить площадь                треугольника? Слайд1  2

                                                                       -Вспомним теорему синусов.слайд 3-4

1. Рис.1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны длины катетов a и b.

Рис.1

2. Рис.1. Как найти катет a, если известны длина гипотенузы c и В.

3. Рис.1.Как найти катет b, если известны длина гипотенузы с и А.                                                      

4. Чему равен квадрат расстояния между                         точками А (х1; у1) и В (х2; у2).

Рис.2

5. Рис 2.Найти координаты точки A, если OA = a и угол между положительной полуосью OX и лучом OA    равен .

6.Рис.3. a | | b. Что вы можете сказать об      углах 1 и 2. Односторонние,1 +2 = 1800 .  Если 2 = , тогда 1 = 1800 -

6. Чему равны:     sin(1800 - ) = ?                                cos(1800 - ) = ?              

Рис.3

2.Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия

-Как вы решили домашнее задание  №1025 е?

Группам учащихся  предлагается задача на готовом чертеже.    Выдвигают и обсуждают гипотезы…                     

Дано:ABC,                          

AC = b, AB = c, A.   Найти: BC = a  

 3.Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.

-Теорема синусов для решения этой задачи не подходит, поскольку из трех известных элементов треугольника не известны сторона и противолежащий угол. Вместе с учениками определяет цель урока, акцентирует внимание учащихся на значимость темы. Выдвигают и обсуждают гипотезы, в т.ч.:…..

В результате обсуждения приходят к выводу:

Нужна новая теорема.

4.Мотивация учебной деятельности:          

О теореме обобщённой Пифагора,

 о теореме косинусов будем говорить,
Она надёжной станет в вычислениях опорой,

любые треугольники сумеем мы решить.
Мы вычисляем сторону любую

по двум другим известным сторонам,
Когда встречаем ситуацию такую,

вдобавок угол между ними нужен нам.
Чтоб стороны длину узнать,

квадратный корень здесь придётся извлекать.

Ни одного нет треугольника такого,

чтоб теорема вдруг не подошла!
Она не только в треугольнике углы определит,

 но также безошибочно укажет его вид.

Вот теорема важная какая!

Сегодня мы о ней достаточно узнаем.

Учитель- кто, скажет тему нашего урока?

Ученик- Тема урока   Теорема косинусов

Учитель- А каковы цели урока? С помощью наводящих вопросов учителя-

• Ученик-      узнать содержание теоремы косинусов, способов её доказательства;

• решать задачи на  применение теоремы косинусов к вычислению неизвестных элементов треугольников
• применять теорему к решению практических задач 

Итак, тема нашего урока..

1. Историческая справка: 

     Впервые теорема косинусов была доказана учёным математиком Аль-Бируни (973-1048 г.г.). Теорему знали и древние греки:  ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида (IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.  Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году  до  н. э. С помощью данной теоремы и теоремы синусов, можно будет полностью решить задачу: «Решить треугольник», т.е.  как зная одни из основных элементов треугольника (их 6: 3 угла и 3 стороны), найти другие.   

        5. Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.

Вернемся к нашей задаче:№1025

6.Реализация выбранного плана по разрешению затруднения. Это главный этап урока, на котором и происходит "открытие" нового знания.

Один из  способ решения задачи.   Координатный метод.

1.    Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси  AX, а точка С имела положительную ординату.

Решение записывают все учащиеся.         

Рис.5

2. Запишем координаты точек:

     B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA).        

3. Найдём квадрат стороны BC:

BC2 = a2 = (bcosA - c)2 + (bsinA)2 =

= b2cos2A – 2bccosA + c2 + b2sin2A =

= b2(cos2A + sin2A) + c2 – 2bccosA =

= b2 + c2 – 2bccosA.

Учитель - Как вы думаете, можно это равенство назвать теоремой косинусов?  

 Запишите теорему  косинусов для всех  стороны в треугольника АВС:

     a2 = b2 + c2 – 2bccosA    

     b2 = a2 + c2 – 2accosB        

А теперь откройте учебники на странице257и прочитайте выделенное темным шрифтом…

Самостоятельно знакомятся с теоремой косинусов по учебнику и проверяют

Вывод: Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Учитель-А что можно находить с помощью этой теоремы?

Ученик-По теореме косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.

Учитель-А если угол между сторонами треугольника 90⃰ ? Выполняется или нет теорема косинусов? Проверьте, посоветуйтесь.

-Если С = 900, то cosC = 0 и  2abcosC = 0, тогда c2 = a2 + b2.

  -Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Почему? Объясните.

-Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

-А если угол между сторонами – тупой?

Рассуждают и приходят к выводу:                                                

            Возможны 2 случая:  

а) A – острый, то cos A > 0,

б) A – тупой, то cos A < 0,.

В) A –прямой, то cos A = 0,.

Учитель-А можно ли определить  вид треугольника (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный)?

Учитель-Сколько в треугольнике может быть тупых углов?

-один

 А прямых углов?

-один

В треугольнике против большей стороны лежит большая сторона.

-если в треугольнике известны все три стороны, то необходимо и достаточно найти косинус угла, лежащего против самой большой стороны, который и даст возможность определить самый большой угол в треугольнике.

 Этот угол может быть острым, и тогда треугольник – остроугольный, тупым, и тогда треугольник – тупоугольный, прямым, и тогда треугольник – прямоугольный.

7.  Первичное закрепление нового знания.

Задачи по готовым чертежам. По группам.  При решении задач учащиеся каждый раз проговаривают формулировку теоремы.

Задача 1

Ответ: .

Задача 2

Ответ: 4.

Задача 3

Ответ: 60°.

Физкультминутка. Вспомним игры детства. Любите хлопать? Стороны треугольника  3,   4,   5     Я называю слово меньший катет вы хлопаете столько раз, каков этот катет.

3                                      5

                 4

Шеей крутим осторожно -

Голова кружиться может.

Влево смотрим - раз, два, три.

Так. И вправо посмотри.

(Вращение головой вправо и влево.)

Вверх потянемся, пройдёмся, (Потягивания — руки вверх, ходьба на месте.)

И за парты вновь вернёмся.

(Дети садятся за парты.)

8. Расширение темы. Применение теоремы в новой ситуации        

Задача:

В треугольнике две стороны равны 20 см и 21 см, а синус угла между ними равен 0,6 . Найти третью сторону. Сколько решений имеет задача?

Рис.9

Дано:                    Решение:  

sin = 0,6 ,          sin = 0,6    может быть острым

AB = 20 см,         или  тупым.

AC = 21 см.                         

                             1 случай:  - острый

Найти: BC.          

                             BC2 = AB2 + AC2 – 2ABACcos.

                         Так как  - острый, то cos>0.

                          Тогда  cos =  = =  = 0.8

                         BC =  =  = 13(см).

2 случай:  - тупой.

BC2 = AB2 + AC2 – 2ABACcos                                 

Так как  - тупой, то cos<0

cos √BC =  =  (см).

Ответ: 1) BC = 13 см.   2) BC =  см.

9.Включение в систему знаний и умений. Практическое приложение теоремы косинусов

Задача о футболисте. Рассмотрим решение по слайду

Футбольный мяч находится в некоторой точке А поля  на расстоянии 23 и 24 м от оснований В и С стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике.

     Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т. п

Оказывается теорема косинусов доказана и для четырехугольников:

Запишите

Дом. задание  п. 98  №1025(б, в, г). разобраться в теории, найти способы решения задачи-следствия №1030. (для желающих Найти формулировку теоремы для нахождения стороны 4-х угольника по известным 3 сторонам и углам.)

Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

 10.Самостоятельная работа и проверка по эталону.

Выполните тестовые задания по вариантам:

Проверять будем сразу как все сдадите. На выполнение дается 5 минут.

I  вариант. 
1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны треугольника равен …

а) сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними;

б) сумме квадратов двух других его сторон;

в) сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике  KHT: .

а) KH; б) HT;в) TK. 
3. В треугольнике CDO известны стороны CD и CO. Величину, какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны DO?

а) C; б) D; в) O.

4. Дан треугольник DEF. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике CKE найдите сторону CE, если CK = 6, KE = 8,а угол K = 60°.

а) 52; б) 4;в) .

II вариант. 
1. Выберите верное утверждение.

а) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

в) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике ESR 

.

а) SE; б) SR;в) ER. 

3. В треугольнике АВС известны: длина стороны ВС и величина угла С. Чтобы вычислить сторону АВ, нужно знать:

а) АС; б) В;в) С.

4. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике KHN найдите сторону KN, если KH = , HN = 5, H = 45°.

а) 53; б) 13;в) .

Проверим друг у друга: поменяйтесь тестами

Ответы: I вариант: в, в, а, б, в. II вариант: б, б, а, б, в. 

Нормы оценки: за каждый верный ответ-1 балл

10. Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций.

Возможные вопросы для начала рефлексии:

-кто работал на уроке лучше всех?

-кому еще надо стараться?

-кто доволен своими действиями на уроке?

- с каким настроением вы уходите с урока?

Подведение итогов урока. Оцените значимость изученного материала Составьте синквейн по нашему уроку:

Теорема

Необходимая, важная,

Теорема косинусов помогает решать задачи.

Тип урока: Урок «открытия» нового знания.

Деятельностная цель: формирование способностей учащихся к новому способу действия, а именно, при рассмотрении проблемной ситуации учиться подтверждать или опровергать выдвигаемые гипотезы.

Образовательная цель: расширение понятийной базы учащихся за счет включения в нее новой теоремы.

Предметная цель: изучить теорему косинусов, познакомить учащихся с ее применением при определении вида треугольника.

Планируемые результаты: учащиеся познакомятся с применением теоремы косинусов при решении треугольников и определении вида треугольника, самостоятельно изучив пункт учебника; научатся рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог: излагать и аргументировать свою точку зрения; оценивать себя и товарищей.

Задачи:

-образовательные (формирование познавательных УУД): научить в процессе реальной ситуации выдвигать гипотезы по решению поставленной проблемы и находить ответы на поставленные вопросы; осмысленно читать, извлекать нужную информацию из учебника; осознанно владеть общими приемами при решении на определение вида треугольника.

- воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем; выбирать задачи из числа предложенных.

- развивающие (формирование регулятивных УУД): развивать умения анализировать, сравнивать, делать выводы; развивать внимание; выбирать способ решения в зависимости от конкретных условий; осуществлять контроль и оценку процесса и результатов деятельности.

Ход урока