Решение задачи №14 ( стереометрия)
презентация к уроку по геометрии (11 класс)

Слайд 1

Решение задачи №14 (ЕГЭ, профильный уровень) Шульцева Е.А. МБОУ СОШ №10 п.Раздольное

Слайд 2

№1 .В основании прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC =8 и BD = 6. а) Докажите, что прямые BD 1 и AC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми BD 1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12. Дано : а) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямая призма, ABCD – ромб, AC =8 и BD = 6 . б) АА 1 =12. а) Доказать : BD 1 ⊥ AC ; б) Найти ρ ( BD 1 ; AC ). Решение : а) Прямые АС и BD 1 скрещивающиеся. Проведем через точку О прямую О N (ON ‖ BD 1 ) . Т.к. ABCD – ромб , то АС перпендикулярна BD , а значит АС перпендикулярна О D , О D является проекцией О N на плоскость АВС. По теореме о трех перпендикулярах имеем АС ⊥ ON , значит BD 1 ⊥ AC . б) Расстоянием между скрещивающимися прямыми BD 1 и AC является отрезок ОМ. Треугольники BDD 1 и ВМО подобны по двум углам ( ∠ D = ∠ M = 90 ° , ∠ В - общий), значит DD 1 : МО = BD 1 :ВО, МО = . В прямоугольном треугольнике BDD 1 найду В D 1 по теореме Пифагора BD 1 2 = BD 2 + DD 1 2 , BD 1 = 6 Значит МО = , МО = . Ответ: б)

Слайд 3

а) Расположим призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 в прямоугольной системе координат и определим угол между прямыми BD 1 и AC . Определим координаты точек А, В, С и D 1 . A(4 ; 0; 0), В(0; -3; 0), С(-4; 0; 0), D 1 (0 ; 3 ; Z D1 ). Вычислим координаты векторов и 1 : {-8; 0; 0 } , 1 {0; 6; Z D1 }. Найдем скалярное произведение данных векторов · 1 = -8 · 0 + 0 · 6 + 0 · Z D1 = 0. Т.к. скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Значит и прямые BD 1 и AC перпендикулярны. №1 . В основании прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC =8 и BD = 6. а) Докажите, что прямые BD 1 и AC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми BD 1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12. ( Метод координат)

Слайд 4

б) По условию задачи D 1 (0 ; 3 ; 12 ) . Найдем координаты вектора 1 (x ; y ; z) , который перпендикулярен как вектору 1 , так и вектору . Значит, скалярные произведения 1 · 1 = 0 и · 1 = 0 . Координаты вектора 1 ( 0; -2 z ; z ). Заменим этот вектор ему коллинеарным вектором , разделив все координаты на z. Получим (0 ; -2; 1). Составим уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору (0 ; -2; 1) и проходящей через любую точку прямой BD 1 . Это уравнение имеет общий вид a(x-x 0 ) + b(y -y 0 ) +c(z -z 0 ) = 0 , где a, b , c - координаты вектора , х 0 , у 0 , z 0 – координаты точки, лежащей на прямой BD 1 . Пусть это будет точка В(0; -3; 0). №1 .В основании прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC =8 и BD = 6. а) Докажите, что прямые BD 1 и AC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми BD 1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12. ( Метод координат)

Слайд 5

Значит, 0 · ( x -0) - 2(y +3) + 1(z -0) =0 , -2у - 6 + z =0 , 2у – z +6 =0. Расстояние ρ между скрещивающимися прямыми BD 1 и АС вычислим как расстояние между любой точкой прямой АС и найденной плоскостью, применяя формулу ρ = . Выберем точку А(4; 0; 0) , тогда А = 0, В =2, С = -1, D = 0 , х=4, у =0, z=0. ρ = = = . Ответ: б) . №1 .В основании прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC =8 и BD = 6. а) Докажите, что прямые BD 1 и AC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми BD 1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12. ( Метод координат)

Слайд 6

№2 . В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания АВС равны 12, а боковые ребра равны 25. На ребрах АВ, АС и SA отмечены точки F , E и K соответственно. Известно, что AF=AE=10 , AK =15. а) Докажите, что объем пирамиды КАЕ F составляет от объема пирамиды SABC. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ( KEF). Дано : SABC –правильная пирамида, АВ = 12, SA=SB=SC=25 , А F = AE=10 , AK=15 . а) Доказать : V KAEF = V SABC б ) Найти : S KEF. Доказательство : а) Треугольники АСВ и АЕ F подобны, т.к. ∠ А –общий, и = = = . Коэффициент подобия треугольников равен k = . Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия , поэтому =( ) 2 = . Проведем высоту SO пирамиды и перпендикуляр KH на плоскость (АВС), точка Н лежит на прямой АН. Отрезок КН- высота пирамиды KAEF. Треугольники AKH и ASO подобны по двум углам ( ∠ А –общий , ∠ AHK = ∠ AOS =90 ° ), тогда = = = . Имеем = = · = . Значит V KAEF = V SABC .

Слайд 7

б) Решение : Треугольники АКЕ и АК F равны, т.к АК - общая сторона, АЕ = А F по условию и ∠ KAE = ∠ KAF , т.к. пирамида правильная. Значит, треугольник КЕ F – равнобедренный и КЕ=К F. Отрезок КМ является его высотой и медианой . S KEF = EF · KM 2) Т.к. треугольники AEF и ACB подобны , то треугольник AEF равносторонний и EF = 10. 3) Найдем cos ∠ SAC из равнобедренного треугольника SAC ( SA=SC). cos ∠ SAC = = . 4) Вычислим длину КЕ из треугольника АКЕ, применяя теорему косинусов : КЕ 2 = АК 2 + АЕ 2 - 2 АК · КЕ · cos ∠ KAE . Получим: КЕ 2 = 225 + 100 - 2 · 15 · 10 · = 325 - 72 = 253, КЕ = . 5) Из прямоугольного треугольника КЕМ найдем длину КМ. По теореме Пифагора КЕ 2 = ЕМ 2 + КМ 2 . Значит, КМ 2 = КЕ 2 - ЕМ 2 , КМ 2 =253 - 25=228, КМ = 2 . Получаем S KEF = EF · KM = · 10 · 2 = 10 Ответ: б) 10 . №2 . В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания АВС равны 12, а боковые ребра равны 25. На ребрах АВ, АС и SA отмечены точки F , E и K соответственно. Известно, что AF=AE=10 , AK =15. а) Докажите, что объем пирамиды КАЕ F составляет от объема пирамиды SABC. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ( KEF )

Слайд 8

Презентация завершена Спасибо за внимание! Желаю успехов в работе!