Нахождение углов между прямыми (метод координат"
план-конспект занятия по геометрии (10 класс)

1. Тема занятия

Нахождение углов между прямыми в пространстве (метод координат)

2. Цели проведения урока

Обучающие:

• Закрепить знания о векторе, скалярном произведении векторов.
• Научить учащихся находить угол между прямыми в пространстве с помощью метода координат.
• Развить навыки самостоятельной работы с учебным материалом, используя различные источники информации.

Развивающие:

• Развить пространственное воображение и логическое мышление.
• Сформировать исследовательские компетенции учащихся: умение ставить и решать задачи, анализировать полученные результаты.
• Стимулировать развитие творческих способностей.

Воспитательные:

• Воспитывать интерес к изучению геометрии.
• Формировать умение работать в команде, уважать мнение других.
• Развивать ответственность за качество своей работы.

3. Задачи занятия

• Повторить определение угла между прямыми, основные свойства скалярного произведения векторов.
• Изучить алгоритм нахождения угла между прямыми в пространстве с помощью метода координат.
• Закрепить полученные знания решением задач разного уровня сложности.
• Провести анализ результатов, используя различные способы представления информации.

Тип занятия

комбинированный

Форма проведения

урок с применением ЭОР

Методы и приемы

• Объяснительно-иллюстративный (рассказ, объяснение, показ, демонстрация).
• Репродуктивный (решение задач по образцу).
• Проблемный (постановка проблемных вопросов, решение задач с использованием различных способов).
• Частично-поисковый (самостоятельная работа с учебным материалом, решение задач).
• Игровой (использование элементов игры для повышения мотивации).

Реализация межпредметных связей

• Связь с алгеброй (векторная алгебра, скалярное произведение векторов).
• Связь с физикой (векторы перемещения, скорости, силы).
• Связь с черчением (построение геометрических фигур в пространстве).

Формирование исследовательских компетенций

• Студенты должны самостоятельно анализировать условия задачи, выбирать метод решения, проводить расчеты, интерпретировать результаты.

Управление классом

• Использовать разнообразные методы и приемы преподавания, чтобы поддерживать интерес студентов к занятию.
• Создать атмосферу уважения и взаимопонимания в группе.
• Контролировать работу студентов в процессе занятия.
• Предоставлять студентам возможность выразить свое мнение и задать вопросы.

Планируемые результаты [1, 2]:

Личностные

Личностные результаты освоения программы учебного предмета «Математика» характеризуются:

• эстетическим отношением к миру, включая эстетику математических закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений; восприимчивостью к математическим аспектам различных видов искусства.
• сформированностью российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и настоящему российской математики, ценностным отношением к достижениям российских математиков и российской математической школы, к использованию этих достижений в других науках, технологиях, сферах экономики.

Метапредметные

Универсальные познавательные действия:

• самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
• структурировать информацию, представлять её в различных формах, иллюстрировать графически;
• выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).

Универсальные коммуникативные действия:

• представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта; самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей аудитории;
• понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении учебных задач; принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы; обобщать мнения нескольких людей;
• участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые штурмы» и иные); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды; оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками взаимодействия.

Универсальные регулятивные действия:

• составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации;
• владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов; владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
• оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.

Предметные

• Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертёжных инструментов.
• Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве, вектор, модуль вектора, равенство векторов, координаты вектора, угол между векторами, скалярное произведение векторов, коллинеарные и компланарные векторы.
• Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной форме.
• Решать простейшие геометрические задачи на применение векторно-координатного метода.

Дидактическое обеспечение занятия

1. ТСО и наглядность

Презентация, проектор, проекционный экран, ЭОР

Дидактический материал

Карточки для самодиагностики, ЭОР

Литература к занятию:

Геометрия. 10-11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2022. – 255 с.

№

Структурные элементы занятия и его опорный конспект

Хроно

логия

1. занятия

Дидактическое обеспечение

Деятельность на занятии

2. Gреподавателя  

Учащегося

1

2

3

4

5

6

1.

1. Организационный этап

Цель: психологически подготовить учащихся к общению и активной работе на занятии

2 мин

Презентация

Приветствует учащихся.

Спрашивает у дежурных, кого нет сегодня на занятии.

Отмечает посещаемость.

Проверяет готовность к занятию.

Приветствуют преподавателя, настраиваются на активную работу, достают лекционные тетради, ручки

2.

Подготовительный этап

Цель: помочь учащимся понять тему и цель занятия

4 мин

Презентация

Объявляет тему занятия. Формулирует цель занятия.

Напоминает определение угла между прямыми. Проводит обсуждение, как найти угол между прямыми в пространстве.  Вспоминает свойства скалярного произведения векторов. Использует проектор для повторения основных формул.

«Итак, сегодня мы продолжаем изучать прямые в пространстве. Вспомним, что такое угол между прямыми?»

«Верно! А как мы можем найти угол между направляющими векторами?»

«Правильно! А какие свойства скалярного произведения вам известны?»

«Отлично! А как найти угол между прямыми в пространстве, если нам известны их уравнения?»

«Прекрасно! Давайте вспомним формулы, изученные на предыдущих занятиях. Используем доску…». (Приложение 1. Презентация. Слайд 4)

«Итак, мы вспомнили основные понятия, необходимые для сегодняшнего занятия. Теперь мы готовы изучать новый материал!»

Формулируют тему занятия.

Повторяют пройденный ранее материал:

Вспоминают определение угла между прямыми. Участвуют в обсуждении, предлагают варианты решения. Вспоминают свойства скалярного произведения векторов. Взаимодействуют с доской, повторяя формулы.

«Угол между прямыми – это угол между направляющими векторами этих прямых».

«С помощью скалярного произведения векторов».

«Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними».

«Нужно найти направляющие векторы прямых, а затем воспользоваться формулой скалярного произведения».

3.

Основной этап

Цель: изучить принципы нахождения углов между прямыми в пространстве

15 мин

Презентация

Рассказывает о методе координат и его применении к нахождению угла между прямыми. Объясняет алгоритм нахождения угла между прямыми в пространстве (с использованием векторного метода, проекции одного вектора на другой). Демонстрирует решение задачи на доске с пошаговым комментированием. Проверяет понимание алгоритма с помощью вопросов к студентам.

«Сегодня мы узнаем, как найти угол между прямыми в пространстве, используя метод координат. Этот метод является универсальным и позволяет решать задачи с различными видами уравнений прямых».

1. Введение в метод координат:

«Вспомним, что каждая точка в пространстве определяется тремя координатами: x, y, z. Таким же образом можно задать и прямые в пространстве. Например, уравнение прямой в параметрическом виде может быть записано как:

x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct,

где (x0, y0, z0) - координаты точки на прямой, a, b, c - координаты направляющего вектора прямой, t – параметр».

2. Векторный метод нахождения угла [3]:

«Для нахождения угла между прямыми мы используем векторный метод. Пусть l1 и l2 - две прямые в пространстве, a1 - направляющий вектор прямой l1, a2 - направляющий вектор прямой l2. Тогда угол между прямыми l1 и l2 равен углу между векторами a1 и a2:

∠(l1, l2) = ∠(a1, a2)

Используя формулу скалярного произведения, мы можем записать:

cos(∠(a1, a2)) = (a1 ⋅ a2) / (|a1| ⋅ |a2|)»

3. Алгоритм нахождения угла:

«Итак, для нахождения угла между прямыми в пространстве с помощью метода координат, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направляющие векторы прямых l1 и l2.
2. Найти скалярное произведение этих векторов.
3. Вычислить модули векторов.
4. Подставить полученные значения в формулу cos(∠(a1, a2)) = (a1 ⋅ a2) / (|a1| ⋅ |a2|).
5. Найти угол из формулы косинуса»

4. Пример решения задачи:

«Рассмотрим пример на слайде, который можно решить двумя способами (Приложение 1. Презентация. Слайд 5, 6).

5. Проверка понимания:

«Хорошо, а сейчас я хочу убедиться, что вам все понятно. Дайте ответ на следующие вопросы:

• Как найти направляющие векторы прямых в пространстве?
• Как вычислить модуль вектора?
• Какую формулу мы используем для нахождения угла между прямыми?
• Что мы делаем с косинусом угла, чтобы найти сам угол?»

«Отлично! Теперь вы знаете, как находить угол между прямыми в пространстве с помощью метода координат. Следующий этап – закрепление полученных знаний с помощью решения задач».

Записывают основные определения и формулы в тетрадь. Внимательно слушают объяснение алгоритма. Смотрят решение задачи на доске, задают вопросы, если что-то непонятно.

Отвечают на заданные вопросы.

4.

Закрепление изученного материала

Цель: закрепить навык нахождения углов между прямыми в пространстве

20 мин

Презентация, учебник

Решить №707, 708, 711* из учебника (Приложение 1. Презентация. Слайд 7).

Организует взаимопроверку решения задач в парах.

Проводит закрепление изученной темы с помощью сервиса learningapps.org [7] (Приложение 1. Презентация. Слайд 8).

https://learningapps.org/view14983197 

Решают задания из учебника.

Реализуют взаимопроверку у соседа по парте.

Подводят итоги занятия с помощью онлайн-сервиса.

5.

Подведение итогов занятия

Цель: подвести итог учебной деятельности.

5 мин

Презентация, карточки

Выставляет отметки по результатам работы на уроке.

Обращает внимание на конечные результаты учебной деятельности учащихся на занятии.

Проводит самодиагностику. Раздает карточки для заполнения (Приложение 1. Презентация. Слайд 9; Приложение 2). Озвучивает как их заполнять.

Получают отметки.

Высказывают свое мнение о проделанной работе, заполняя карточки самодиагностики.

5.

Информирование о домашнем задании

Цель: организовать выдачу заданий для домашней работы для последующего контроля.

2 мин

Презентация

Формулирует домашнее задание, объясняет его суть.

Домашняя работа:

Выполнить задания с сайта для подготовки к ЕГЭ (Приложение 1. Презентация. Слайд 10) [6].

Записывают домашнее задание.

6.

Рефлексия

Цель: провести рефлексию на основе конечных результатов учебной деятельности учащихся.

2 мин

Презентация

Проводит рефлексию.

Перейти по QR-коду в Google-формы (или по ссылке [8]: https://forms.gle/GS149sbfMVfeL5Cg6 ) и выскажите своё мнение о проделанной работе (Приложение 1. Презентация. Слайд 10).

Открывается Google-форма для заполнения (Приложение 3).

Прощается с учащимися.

Участвуют в рефлексии.

Прощаются с преподавателем.