Самостоятельные работы по геометрии 8 класс
учебно-методический материал по геометрии (8 класс)

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ПО ГЕОМЕТРИИ

8 КЛАСС

Учебник   Л.С. Атанасян и др.

«Геометрия 7-9»

Содержание

Работа № 1: «Многоугольники»                                                    3

Работа № 2: «Четырехугольники»                                                4 

 Работа № 3: «Параллелограмм 1»         5

Работа № 3: «Параллелограмм 2»                                                               6

Работа №5 «Площадь треугольника»                                        7

Работа №6  « Площадь параллелограмма и ромба»                                8

Работа  №7«Площади четырехугольников»                                8

Работа №8 « Теорема Пифагора»                                                9

Работа №9 « Подобие треугольников »                                              10

Работа № 10: «Средняя линия треугольника»                                         11

Работа №11 «Соотношения между сторонами и

 углами прямоугольного треугольника»                                                        11

Работа № 11: «Касательная к окружности»                                    12

Работа № 1: «Многоугольники»

Вариант 1.

1.Найти сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

2.Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160 °?

3.Каждый угол выпуклого многоугольника равен 162°. Найдите число сторон этого многоугольника.

4.В выпуклом пятиугольнике две стороны равны, третья сторона на 3 см больше, а четвертая в 2 раза больше первой стороны, пятая – на 4 см меньше четвертой. Найдите стороны пятиугольника, если известно, что его периметр равен 34 см.

Вариант 2.

1.Найти сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.

2.Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2520 °?

3.Каждый угол выпуклого многоугольника равен 165 °. Найдите число сторон этого многоугольника.

4.В выпуклом шестиугольнике три стороны равны, четвертая в два раза больше первой стороны, пятая -  на 3 см меньше четвертой, а шестая  – на 1 см больше второй. Найдите стороны шестиугольника, если известно, что его периметр равен 30 см.

Вариант 3.

1.Найти сумму углов выпуклого пятнадцатиугольника.

2.Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 1620 °?

3.Каждый угол выпуклого многоугольника равен 168°. Найдите число сторон этого многоугольника.

4.В выпуклом шестиугольнике две стороны равны, третья сторона и шестая на 3 см больше, а четвертая в 2 раза больше первой стороны, пятая – на 4 см меньше четвертой. Найдите стороны шестиугольника, если известно, что его периметр равен 55 см.

Работа № 2: «Четырехугольники»

Вариант 1.

1.Найти углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2.Угол между диагоналями прямоугольника равен 80 °. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

3.Периметр прямоугольника равен 40 см. Найдите его стороны, если одна из них на 6 см меньше другой.

4.В ромбе угол между диагональю и стороной равен 25°. Найдите угол ромба.

5.Докажите, что если диагонали ромба равны, то он является квадратом.

Вариант 2.

1.     В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках M и N. Найдите ∠ANB, если ∠ AMC равен 120°.

2.     В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в т. О. Е- середина стороны АВ, ∠ВАС равен 50°. Найдите угол ЕОD.

3.     Периметр прямоугольника равен 28 см. Найдите его стороны, если одна из них в 6 раз больше другой.

4.     В ромбе угол равен 32°. Найдите углы, которые образуют его стороны с диагоналями.

5.     Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Работа № 3: «Параллелограмм 1»

Вариант 1

1. В четырехугольнике ABCD: АВ || CD, ВС || AD, АС = 20 см, BD = 10 см, АВ = 13 см. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр Δ COD.
2. Из вершины В параллелограмма ABCD с острым углом А проведен перпендикуляр ВК к прямой AD; ВК = АВ : 2. Найдите ∠C, ∠D.
3. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром АС, причем точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

Вариант 2

1. В четырехугольнике ABCD АВ || CD, ВС || AD, О – точка пересечения диагоналей. Периметр Δ AOD равен 25 см, АС = 16 см, BD = 14 см. Найдите ВС.

2. В параллелограмме ABCD с острым углом А из вершины В опущен перпендикуляр ВК к прямой AD, AK = ВК. Найдите ∠C, ∠D.
3. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали АС за вершины А и С отмечены точки М и N соответственно так, что AM = CN. Докажите, что MBND – параллелограмм.

Вариант 3

1. В четырехугольнике ABCD ∠А + ∠B = 180°, АВ || CD. На сторонах ВС и AD отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ = KD. Докажите, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.
2. На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки А и В, соответственно МР = РВ = АК; ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН.
3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС – точки М и Р соответственно, причем РК = MB, ∠KPC = 80°, ∠C = 50°. Докажите, что КМВР – параллелограмм.

 Работа № 4: «Параллелограмм 2»

Вариант 1

1. ABCD – параллелограмм (рис. 5.67), тогда CD = АВ = 13 см, ОС = АО = 10 см, BD = OD = 5 см (объясните). PCOD = 10 + 5 + 13 = 28 см.
2. ВК = АВ/2 (рис. 5.68), тогда ∠A = 30° (объясните), значит, ∠C = 30°, ∠D = 150° (объясните).
3. В четырехугольнике ABCD (рис. 5.69) середину отрезка BD отметим точкой О. Отсюда следует, что BO = OD.
   Одновременно точка О является центром окружности с диагональю AC, следовательно AO = OC.
   По свойству параллелограммов (диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам), если BO = OD и AO = OC, то ABCD – параллелограмм.

Вариант 2

1. ABCD – параллелограмм (рис. 5.70), тогда АО = СО = 8 см, ВО = DO = 7 см (объясните). Так как PAOD = 25 см, то ВС = AD = 10 см.
2. AK = ВК (рис. 5.71), тогда ∠A = 45° (объясните), ∠C = 45°, ∠D = 135° (объясните).
3. ABCD – параллелограмм (рис. 5.72), тогда АО = СО, ВО = DO. В четырехугольнике MBND диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, MBND – параллелограмм.

    Вариант 3

1. (рис. 5.73) а) Докажите, что ABCD – параллелограмм и ВС || AD. б) Докажите, что ΔBOM = ΔDOK и ОМ = ОК.
2. (рис. 5.74) а) Докажите, что ΔМРВ – равносторонний, ∠M = 60°, ∠K = 60. б) Докажите, что ΔАКН – равносторонний, ΔАКН = ΔМРВ, тогда МВ = АН, ∠M = ∠K = 60°, ∠P = ∠H = 120°.
3. (рис. 5.75) а) Найдите ∠B и докажите, что МВ || КР. б) Докажите, что МВРК – параллелограмм.

Работа №5 «Площадь треугольника»

Вариант 1.

1.     В треугольнике АВС АС=9 см, АВ=12 см, ∠А=30°. Найти площадь треугольника АВС.

2.     АВ пересекается с СD в точке О, АО=4, ВО=9, СО=5, DО=8.  Площадь треугольника AOC равна 15. Найти площадь треугольника BOD.

3.     В равнобедренном треугольнике АВС ∠В=120°. Боковое ребро равно 10см, основание равно 8см. Найти площадь треугольника.

Вариант 2.

1.В  треугольнике КМР КМ=6 см, КР=8 см, ∠К равен 30°. Найти площадь треугольника KMP.

2.АВ пересекается с СD в точке О, АО=10, ВО=8, СО=12, DО=6. Площадь треугольника AOC равна 14. Найти площадь треугольника BOD.

3.В равнобедренном треугольнике КМР ∠М равен 120°. Боковое ребро равно 6см, основание равно 10см. Найти площадь треугольника.

Работа №6  « Площадь параллелограмма и ромба»

1 вариант

1. Стороны параллелограмма 10 см и 6 см, а угол между этими сторонами равен 150º. Найти площадь параллелограмма.
2. Найдите высоту ромба, сторона  которого равна 6,5 см, а площадь – 26 см².
3. Найдите периметр ромба, высота которого равна 7 см, а площадь  -84 см².

2 вариант

1. Острый угол параллелограмма равен 30º, а высоты, проведенные из вершины тупого угла равны 4 см и 3 см. Найти  площадь параллелограмма.
2. Найдите сторону ромба, площадь которого равна 12 см², а высота – 2,4 см.
3. Найдите  высоту ромба, периметр которого равен 124 см, а площадь – 155 см².

Работа  №7«Площади четырехугольников»

1 вариант

1.Пусть а- основание, h – высота, S – площадь параллелограмма. Найдите :

а) S, если  а = 1,5 м, h = 1,2 м;              б) а, если S = 34 см2 , h = 8,5 см.

2.Периметр прямоугольника равен 26 см, а одна из его сторон равна 9 см. Найдите сторону квадрата, имеющего такую же площадь, как этот прямоугольник.

3.Сторона ромба равна 8,6 см, а один из углов ромба равен 300. Найдите площадь ромба.

  2 вариант

1.Найдите площадь трапеции АВСD  с основаниями АВ и СD, если:

а)АВ = 2,1 м, СD =1,7м, высота DH = 0,7 м,  б)h, если  S = 77см2, СD = 13 см, а другое основание  AB на 4 см меньше CD.

2.Диагональ  параллелограмма, равная 24,2см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 38 см. Найдите площадь параллелограмма.

3.Дан ∆АВС, сторона АВ =11,4 см,

АС = 17,6 см и угол между ними равен 300. Найдите площадь треугольника.

Работа №8 « Теорема Пифагора»

1 вариант

1.Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13 см, а  другой катет – 12 см.

2. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 15 см. Найдите периметр треугольника

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а биссектриса, проведенная к основанию, - 15 см. Найдите площадь и периметр этого треугольника.

4. В прямоугольной трапеции основания равны 22см и 6 см, а большая  боковая сторона 20 см. Найти площадь трапеции.

2 вариант

1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если  его катеты равны 6 см и 8 см.

2.В прямоугольном треугольнике гипотенуза относится к катету как 5:3. Найдите периметр треугольника, если второй катет равен 12 см.  

3. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 12 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите площадь и периметр этого   треугольника            

4.В прямоугольной трапеции    боковые  стороны равны 7см и 25 см, а меньшее основание 2 см. Найдите площадь трапеции.

Работа №9 « Подобие треугольников »

1 вариант

1. Треугольники АВС и DMN подобны, ∠А=37°, ∠В=83°, АВ=5, ВС=11,  АС=7, DM=10, MN=22, DN=14. Найдите углы треугольника DMN.

1. ∠D=37°, ∠M=83°,∠N=60°;
2. ∠D=60°, ∠M=37°,∠N=83°;
3. ∠D=83°, ∠M=60°,∠N=37°.

 2. Выберите номера неверных высказываний:

1. треугольники подобны, если углы одного равны углам другого треугольника;
2. если соответственные стороны подобных треугольников относятся как 3:5, то площади этих треугольников относятся как 3:5;
3. если треугольники подобны, то соответственные стороны одного треугольника относятся к сходственным сторонам другого треугольника с одним и тем же коэффициентом;
4. если периметры треугольников АВС и MКN относятся как 4:25, длина АВ=2, то длина МК=5.

 3. Площади двух квадратов относятся как 4:9, при этом сторона одного из этих квадратов на 5 больше стороны другого. Найдите размеры квадратов.

4. Диагональ АС трапеции АВСD делит её на два подобных треугольника АВС и DСА. Основание трапеции  ВС=8 см, АD=18 см. Найдите длину диагонали АС.

2 вариант

 1. Треугольники АВС и MNК подобны, причём АВ:MN=ВС:NК=АС:МК, ∠А=40°, ∠К=56°. Чему равен ∠В?

1) 84°;               2) 40°;                   3) 96°;                     4) 56°.

 2. Выберите номера верных высказываний:

1. если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны;
2. если периметры подобных треугольников относятся как 2:3, то  их площади относятся как 4:9;
3. если стороны АВ=7, ВС=3, СА=6 треугольника АВС, а сторона MN подобного ему треугольника MNК равна 21, то периметр треугольника MNК равен 48;
4. подобные фигуры имеют одинаковые размеры.

 3. Площади двух квадратов относятся как 49:36, при этом сторона одного их этих квадратов на 2 больше стороны другого. Найдите периметр наибольшего квадрата.

4. Диагональ АС делит трапецию АВСD на два подобных треугольника АВС и DСА. Основание трапеции ВС=5 см, АD=20 см. Найдите длину диагонали АС.

Работа №10 «Средняя линия треугольника»

Вариант 1

1. Е и F — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС. Найдите EF и ∠BEF, если АС = 14 см, ∠A = 72°.
2. В равнобедренном треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до вершины В данного треугольника, если АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см.

Вариант 2

1. М и N — середина сторон АС и СВ треугольника АВС. Найдите АВ и ∠B, если MN = 8 см, ∠CNM = 46°.
2. В равнобедренном треугольнике АВС О — точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ = ВС = 10 см, АС = 16 см.

Работа №11 «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника»

Вариант 1
В заданиях 1, 2 выберите правильный ответ.

1. Дано: ΔABC, ∠С = 90°, ∠A = 41°, ВС = 5 см. Найти: АС.
   а) 5 • cos 41°;   б) 5 : tg 41°;   в) 5 • tg 41 °;   г) 5 : sin 41°.
2. Дано: sin α = 5/13. Найти: tg α.
   а) 5/12;   б) 12/13;   в) 12/5;   г) 13/12.
3. Решите задачу и запишите только ответ.
   В треугольнике ABC ∠С = 90°, CD — высота, ∠A = ∠α, АВ = k. Найдите АС, ВС, AD.
4. Запишите полное решение задачи.
   Стороны параллелограмма равны 4 и 5 см, угол между ними равен 45°. Найдите высоты параллелограмма.

Вариант 2
В заданиях 1, 2 выберите правильный ответ.

1. В треугольнике КСР (КС = СР) ∠C = 68°, КС = 12 см. Найдите КР.
   а) 12 • cos 34°;   б) 6 • cos 34°;   в) 24 • sin 34°;   г) 24 : sin 34°.
2. Вычислите значение выражения sin2 60° – 3 • tg45°.
   а) –2,25;   б) –1,25;   в) –0,75;   г) –1,5.
3. Решите задачу и запишите только ответ.
   Треугольники АВС и ADB имеют общую сторону, ∠ABC = ∠D = 90°, ∠CAB = α, ∠ABD = β. Найдите AD, если ВС = а.
4. Запишите полное решение задачи.
   В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6, а меньшая боковая сторона 2√3. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°.

Работа №12 «Касательная к окружности»

Вариант 1

1.  Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К – точка касания. Найдите    ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

2.  В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажите, что АВ – отрезок касательной, проведенный из точки А к окружности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.

 Вариант 2

1.  Прямая MN касается окружности с центром в точке О, М – точка касания, ∠MNO = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите NО.

2.  В треугольнике MNK MN = 6 см, МК = 8 см, NK = 10 см. Докажите, что МК – отрезок касательной, проведенный из точки К к окружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.