Устные задачи по теме «ПРИЗМА»
олимпиадные задания по геометрии

Устные задачи по теме «ПРИЗМА»

Аннотация.

Важнейшей частью курса стереометрии является изучение геометрических тел. Но в учебниках почти нет простых задач «на геометрические тела», поэтому на уроке удаётся решить всего 2-3 задачи средней трудности. Но они не всем ученикам под силу. Если ограничиваться только такими задачами, то многие ученики не смогут принимать активное участие в их решении, и будут отставать. Если же специально уделять на уроке время для задач, которые сводятся к одной-двум операциям и потому доступны для устного решения, то можно втянуть в работу всех учеников.

Устное решение задач «на геометрические тела» значительно улучшает пространственное мышление учащихся, которое играет важную роль в стереометрии.

Задачи для устного решения разбиты на типы: задачи на доказательство, на исследование, на построение, на вычисление. Все они посвящены одной теме: «Призма. Её сечения. Площади полной и боковой поверхностей».

Большое количество задач на геометрические тела можно предлагать для устного решения вместе с готовым рисунком, когда один рисунок будет сопровождать несколько задач, в которых идёт речь об одном и том же геометрическом теле. Но в данных задачах готовые рисунки сопутствуют далеко не всем задачам, поскольку само изготовление изображения является важной частью решения. Учитель может варьировать стратегию обучения. В одних случаях – начинать с готового рисунка, а в других – демонстрировать рисунок (на откидной доске или на экране) только после того, как учащиеся сами сделали нужные изображения в своих тетрадях.

Задачи.

Сначала договоримся об обозначениях. Буквами a, b, c обозначим соответственно длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, буквой d - длину диагонали основания. Прописные буквы H, D и P соответствуют высоте, длине наибольшей диагонали призмы и периметру её основания, а буквы s, Q, Sб и Sп - площадям: s - основания, Q - диагональное сечение, Sб - боковой поверхности, Sп - полной поверхности призмы. Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания обозначаем греческой буквой .

Задачи на вычисление

Четырёхугольная призма

Перед решением задач 1 и 2 следует повторить формулы для вычисления элементов куба со стороной а: d =a, D = a, s = a2 = , Q = d . a.

Задача 3 и некоторые из следующих за ней, в которых речь идёт о прямоугольном параллелепипеде, потребуют использования формул:

D2 = a2 + b2 + c2,                 d2 = a2 + b2,                 s = ab,                Q = d.c,         Sб = P.c.

1. Ребро куба равно а. Найдите: диагональ грани; диагональ куба; периметр основания, площадь грани, площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трёх рёбер, выходящих из одной и той же вершины.
2. По рис 1 и по данным элементам в табл. 1 найдите остальные элементы куба.

Таблица 1

3. По рис 2 и по данным элементам в табл. 2 найдите остальные элементы прямоугольного параллелепипеда.

Таблица 2

4. Перпендикулярным сечением наклонной 4-угольной призмы является ромб со стороной 3 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если боковое ребро равно 12 см.
5. Найдите боковую поверхность наклонного параллелепипеда с боковым ребром 32 см и смежными сторонами перпендикулярного сечения 10 см и 8 см.
6. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 3 см. Высота призмы – 5 см. Найдите: диагональ основания; диагональ боковой грани; диагональ призмы; площадь основания; площадь диагонального сечения; площадь боковой поверхности; площадь поверхности призмы.
7. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 32см2, а площадь поверхности 40 см2. Найдите высоту призмы.

Р е ш е н и е: Площадь основания равна S = =4(cм2), сторона основания – 2см, периметр основания Р = 8см, а высота призмы h =

Треугольная, шестиугольная и п-угольная призмы.

Перед решением задач целесообразно повторить формулы: Sб = PH и Sп = Sб+ 2s для произвольной призмы, а также формулы:

P = 3a, s =  - для правильной треугольной и

P = 6a, s =  - для правильной шестиугольной призмы со стороной основания a.

8. Расстояния между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны: 2см, 3см и 4см. Боковая поверхность призмы – 45см2. Найдите её боковое ребро.

Р е ш е н и е: В перпендикулярном сечении призмы – треугольник (рис 3), периметр которого 2 + 3 + 4 = 9(см), поэтому боковое ребро равно 45 : 9 = 5(см).

9. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если известно, что площадь сечения, проходящего через средние линии основания, равна 25см2.

Р е ш е н и е:  В сечении – прямоугольник, у которого одна сторона равна боковому ребру, а другая – половина стороны основания (рис 4). Следовательно, его площадь в 2 раза меньше площади боковой грани. Итак, площадь боковой грани 50см2, а боковой поверхности  50 . 3 = 150(см2).

10. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно 12см. Вычислите: площадь основания; площадь боковой поверхности; площадь поверхности; площадь сечения, проведённого через медиану основания и боковое ребро, которые проходят через одну вершину основания.
11. В прямой треугольной призме все рёбра равны. Площадь боковой поверхности 12см2. Найдите высоту.
12. Найдите неизвестные элементы правильной треугольной призмы по элементам, заданным в табл.3.

Таблица 3

13. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, если дана площадь Q большего диагонального сечения.

Р е ш е н и е: Площадь большего диагонального сечения (рис 5) Q = 2a.H, aH = . Площадь боковой поверхности равна 6. = 3Q.

14.  Через две неравные диагонали основания правильной 6-угольной призмы проведены диагональные сечения. Найдите отношение их площадей.

Р е ш е н и е: Отношение площадей диагональных сечений (рис 5-6) равно отношению неравных диагоналей правильного 60угольника, сторона которого a: S1:S2= 2a : a = 2 : .

15. По элементам, данным в табл. 4, найдите неизвестные элементы правильной шестиугольной призмы.

Таблица 4

16. В правильной п-угольной призме проведена плоскость под углом 600 к основанию так, что она пересекает все боковые грани призмы. Площадь основания равна 50см2. Найдите площадь сечения.

Р е ш е н и е:  Sосн = Sсеч . cos 600,

                .

17. Дана п-угольная призма. Найти сумму величин её плоских углов.

Р е ш е н и е: Найдём сумму плоских углов двух оснований и всех боковых граней:

180(п – 2) . 2 + 360п = 360п – 720 + 360п = 720(п – 1).

Задачи на исследование

1. Поставьте куб так, чтобы ни одна грань не была вертикальной. Будут ли тогда у него горизонтальные грани?

Ответ: нет.

2. Можно ли куб с ребром в 7см оклеить листом бумаги в виде прямоугольника шириной 14см и длиной 21см?

Р е ш е н и е: Для оклейки нужны 6 квадратов со стороной 7см. Данный прямоугольник разрезать на два со сторонами 7см и 21см, а потом каждый из них – на три квадрата со стороной 7см. Получим 6 нужных квадратов, которыми можно оклеить куб.

3. Сколько нужно взять прямоугольников и каким свойством они должны обладать, чтобы из них можно было составить прямоугольный параллелепипед?

Р е ш е н и е: Два прямоугольника для оснований со сторонами a и b, четыре прямоугольника для боковой грани. Из них два со сторонами c и a и два со сторонами c и b.

4. Установите, прямой или наклонной является призма, у которой две смежные боковые грани перпендикулярны основанию.

Р е ш е н и е: Призма является прямой. Две смежные боковые грани пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости основания. Остальные рёбра данному ребру и, следовательно, тоже перпендикулярны основанию.

5. Исследуйте, существует ли призма, имеющая 50 рёбер? 54 ребра?

Р е ш е н и е: Число рёбер п-угольной призмы, имеющей 50 ребер, не существует, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.

6. Какой многоугольник лежит в основании призмы, если она имеет п граней?

Р е ш е н и е: Число сторон многоугольника, лежащего в основании, равно числу боковых граней призмы. Из условия следует, что это число равно п-2, так как в призме две грани являются основаниями. Таким образом, в основании (п-2)-угольник.

Задачи на доказательство.

1. В параллелепипеде диагонали основания равны, а боковое ребро перпендикулярно двум смежным сторонам основания. Докажите, что параллелепипед прямоугольный.

Доказательство:  В основании – параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник, а боковое ребро перпендикулярно основанию по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Докажите, что число рёбер призмы кратно 3.

Доказательство: В п-угольной призме боковых ребер п, а рёбер нижнего и верхнего оснований 2п, всего 3п рёбер.

3. Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых рёбрах четырёхугольной призмы равна 3600.

Доказательство: Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. В сечении – четырёхугольник, сумма его углов S = 1800 (4 – 2) = 3600.

4. Если призма имеет 18 граней, то в её основании лежит 16-угольник. Докажите.

Доказательство: У призмы две грани оснований и, значит, боковых граней 16. Следовательно, в основании 16-угольник.

5. В кубе из вершины N проведены диагонали граней NE, NF, NK. Концы их соединены отрезками (рис 7). Докажите, что многогранник NEFK - правильный тетраэдр.

Доказательство: EN = EF= EK = FN = FK = NK как диагонали граней куба.

6. Если две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов их площадей равна квадрату площади третьей боковой грани (рис 8). Докажите.

Доказательство:

a2h2 + b2h2 = h2(a2 + b2) = h2c2.

7. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником.

Доказательство: Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны.

Задачи на построение.

Сечения следует рисовать на заранее подготовленном изображении призмы.

1. Постройте сечение куба в виде: а) треугольника, б) четырёхугольника,                         в) пятиугольника, г) шестиугольника.

Ответ: соответствующие сечения даны на рис 9,а) – г)

2. Постройте плоскость, проходящую через сторону нижнего основания треугольной призмы. Какие многоугольники получаются в сечении призмы при вращении этой плоскости вокруг стороны?

Ответ: сечение может иметь форму треугольника, трапеции.

3. В правильной треугольной призме плоскость сечения ВСМ образует с плоскостью основания двугранный угол  (рис 10). Постройте линейный угол двугранного угла. Дайте объяснения.

Построение: Проведём из вершины А правильного треугольника АВС высоту АК. Точка К принадлежит ребру ВС. Соответственно отрезок МК перпендикулярен ребру ВС. Угол МКА – искомый.

4. В основании прямой призмы (рис 11) лежит равнобедренная трапеция. Сечение ABC1D1 образует с плоскостью основания двугранный угол . Постройте его линейный угол.

Построение: Это угол между высотами трапеций ABCD и ABC1D1, проведёнными из их общей вершины тупого угла (Используем теорему о трёх перпендикулярах).

5. Сечение BCD1A1 прямоугольного параллелепипеда (рис 12) образует с плоскостью основания двугранный угол . Как построить его линейный угол?

Построение: Следует использовать теорему о трёх перпендикулярах. Искомый угол – это угол между диагональю A1B (или D1C) боковой грани и стороной основания АВ (или CD), лежащей в этой грани.

6. В правильной треугольной призме (рис 13) отрезок BC1 образует с гранью AA1B1B угол . Постройте этот угол.

Построение: Проведём отрезок C1D1 перпендикулярно грани AA1B1B; отрезок BD1 - проекция наклонной BC1 к грани AA1B1B;  (рис 14).

7. Постройте точку, в которой отрезок МН пересекает поверхность призмы (рис 15).

Построение: Ребро AA1 параллельно плоскости BCC1. Следовательно, линия пересечения плоскостей A1MH и BCC1 параллельна ребру AA1. В грани BCC1B1 проведён отрезок КР параллельно ребру AA1 (рис 16). Точка пересечения отрезков МН и КР и является точкой пересечения прямой МН с гранью призмы.