Итоговый проект по математике по теме: "Замечательные точки и линии треугольника" ( 9 класс)
проект по геометрии (9 класс)

ГБОУ «Васильевская КШИ имени Героя Советского Союза Н. Волостнова»

Итоговый проект по математике на тему: «Замечательные точки и линии треугольника»

Выполнили ученики 9 «Б» класса:

Марычев Никита и Рыбаков Владиcлав

Руководитель учитель математики:

Cинюшина Светлана Викторовна

2021г.

Содержание:

1. Цель.

2. Задачи.

3. Актуальность.

4. Исторические сведения о замечательных точках Треугольника.

  4.1.Медиана треугольника.

  4.2. Биссектриса треугольника.

  4.3.Высота треугольника.

  4.4.Серединный перпендикуляр.

5. Исследование замечательных точек треугольника.

6. Дополнительные свойства.

7. Замечательные линии.

  7.1. Прямая Эйлера.

  7.2. Прямая Симсона.

9. Заключение.

10. Список используемой литературы.

Цель:

Исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств, знакомство с замечательными линиями.

Задачи:

• Изучить необходимую литературу.
• Изучить классификацию замечательных точек треугольника и познакомиться с их свойствами.
• Научиться строить замечательные точки.
• Изучить область применения замечательных точек треугольника.
• Ознакомиться с замечательными линиями.

Актуальность:

На уроке в восьмом классе мы изучали тему: ''Замечательные точки треугольника'' и нам захотелось углубить знания по данной теме, чтобы решать более сложные задачи по этой теме и лучше подготовиться к сдаче ОГЭ, поэтому мы выбрали именно её.

Проектный продукт: буклет по теме проекта.

Исторические сведения о замечательных точках треугольника.

В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу.

Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника.

Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер. В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера".

Медиана треугольника

Медиана треугольника ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианы

• Медиана делит треугольник на два треугольника, площади которых одинаковы.
• Весь треугольник разбивается своими медианами на шесть равных по значению треугольников.

• Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

• В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.

• У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника— луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Свойства биссектрисы треугольника

• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.
• Биссектриса угла треугольника, разделяет противолежащую сторону на отдельные отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам.
• Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Высота треугольника.

Высотой треугольника называется линия, проведенная из вершины треугольника к одной из сторон расположенной перпендикулярно.

Свойства высот треугольника

• Перпендикулярная линия высоты прямоугольного треугольника разделяет его на два подобных ему треугольника.
• Две линии высоты остроугольного треугольника, отделяют от него подобные треугольники.

Серединный перпендикуляр.

Перпендикулярная прямая, которая проходит через середину отрезка, называется – срединный перпендикуляр к отрезку.

Свойства серединного перпендикуляра.

• Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от окончаний этого отрезка.
• В точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных в направлении к одной из сторон треугольника, находится центр окружности, который описывает данный треугольник.

Исследование замечательных точек треугольника.

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.

Точка пересечения биссектрис – называется центр вписанной окружности. 

Точка пересечения высот или их продолжений называется – ортоцентр.

Точка пересечения медиан называется – центроид.

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон – центр вписанной окружности.

Замечательные линии треугольника — прямые, местоположение которых однозначно определяется треугольником. Местоположение некоторых не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника (например, прямая Эйлера). Местоположение же большинства зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, высота может находиться и вне треугольника. Многие однотипные замечательные прямые треугольника при пересечении образуют замечательные точки треугольника. Например, на пересечении трех высот треугольника находится замечательная точка треугольника — ортоцентр.

Прямая Эйлера

Пряма́я Э́йлера — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника. 

Прямая Эйлера проходит через:

• Точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности).
• Ортоцентр треугольника.
• На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.

Прямая Симсона

Прямая Симсона — это прямая, на которой лежат основания перпендикуляров, опущенных из точки Р описанной окружности треугольника АВС на его стороны или их продолжения. 

• В частности, если 2 точки на описанной окружности диаметрально противоположны, их прямые Симсона перпендикулярны, и в этом случае точка пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона также лежит на окружности девяти точек. При этом вторые точки пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона с окружностью девяти точек будут концами диаметра последней окружности.

• Для двух данных треугольников с одной и той же описанной окружностью, угол между прямыми Симсона точки P на окружности для обоих треугольников не зависит от P.

Заключение

Мы достигли цель:

исследовали у треугольника его замечательные точки, изучили их классификации, свойства и ознакомились с замечательными линиями.

Решили задачи:

• подробно изучили литературу
• изучили классификацию замечательных точек, ознакомились с замечательными линиями, и их свойствами
• Нашли применение этой темы в школьных задачах
• С помощью данного материала сделали буклет

Работая над данным проектом мы столкнулись с трудностями оформления проекта, поиском дополнительной информации, тк поздно начали выполнять проект и нам не хватило времени

Список используемой литературы.

•        https://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=518458

•        https://ru.wikipedia.org/wiki/Прямая_Симсона

•        https://ru.wikipedia.org/wiki/Прямая_Эйлера#Свойства

•        https://ru.wikipedia.org/wiki/Замечательные_прямые_треугольника

•        https://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/#h3

•        https://ru.wikipedia.org/wiki/Серединный_перпендикуляр

•        https://ru.wikipedia.org/wiki/Высота_треугольника

•        https://ru.wikipedia.org/wiki/Биссектриса