Математический тренажер "Решение стереометрических задач"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс)

1. 

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 8. Найдите длину отрезка OS.

2. 

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 3; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

3. 

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 4; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка OS.

4. 

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 6; объем пирамиды равен 8. Найдите длину отрезка OS.

5. 

В правильной треугольной пирамиде SABC биссектрисы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 5; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

6. 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO = 15, BD= 16. Найдите боковое ребро SA.

7. 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SB = 13, AC = 24.  Найдите длину отрезка SO.

8. 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO= 8, BD= 30. Найдите боковое ребро SC.

9. 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SD= 10, SO= 6. Найдите длину отрезка AC.

10. 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO=12, BD=18. Найдите боковое ребро SA.

11. 

В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что BC=3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

12. 

В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

13. 

В правильной треугольной пирамиде SABC K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что SK=4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC

14. 

В правильной треугольной пирамиде SABC   P – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что BC=5, а SP=6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

15. 

В правильной треугольной пирамиде SABC Q – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что BC =7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка SQ.

16. 

 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SA = 4, AC = 6 Найдите боковое ребро SC.

17. 

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 5, CC1 = 3,

B1C1=  Найдите длину ребра AB.

18. 

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CA1 =  DD1= 5, BC = 3

Найдите длину ребра BA.

19. 

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DB1 = , AA1 = 1, C1B1 = 3. Найдите длину ребра CD.

20. 

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 6, CC1 = 2, D1, AD = Найдите длину ребра D1C1.

21. 

Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1=3.

22. 

Найдите расстояние между вершинами А и Dпрямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

23. 

Найдите угол ABD1,  прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD =4, AA1  = 3. Дайте ответ в градусах.

24. 

Найдите угол C1BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD =4, AA1=4. Дайте ответ в градусах.

25. 

Найдите угол DBD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=4, AD=3, AA1=5. Дайте ответ в градусах.

26. 

В правильной шестиугольной призмe ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками A и E1.

27. 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E.

28. 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны  Найдите расстояние между точками B и E1

29. 

В правильной шестиугольной призмe ABCDEFA1B1C1D1E1F1   все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD1D

30. 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол DAB Ответ дайте в градусах.

31. 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол AC1C Ответ дайте в градусах.

32. 

Найдите квадрат расстояния между вершинами N и X многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

33. 

Найдите расстояние между вершинами М и Х многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

34. 

Найдите угол МРХ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

35. 

Найдите угол PXM многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

36. 

Найдите тангенс угла РМХ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

37. 

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

38. 

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

39. 

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA1.

40. 

 Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

41. 

 Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

42. 

 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна

43. 

 Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

44. 

 Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

45. 

 В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

46. 

 Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 0. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

47. 

 Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

48. 

 От треугольной призмы объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

49. 

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

50. 

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

51. 

От треугольной пирамиды объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

52. 

 Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

53. 

 Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

54. 

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

55. 

 Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

56. 

 Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

57. 

В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

58. 

 Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

59. 

 Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

60. 

 Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

61. 

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

62. 

 Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

63. 

Диагональ куба равна . Найдите его объем.

64. 

 Объем куба равен . Найдите его диагональ.

65. 

 Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

66. 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

67. 

 Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

68. 

 Сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.

69. 

 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

70. 

 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота 10.

71. 

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

72. 

 Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

73. 

 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

74. 

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен, а высота равна 2.

75. 

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

76. 

 Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

77. 

 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

78. 

 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

79. 

 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны

80. 

 Через среднюю линию основания треугольной призмы объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

81. 

 Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

82. 

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны  и наклонены к плоскости основания под углом 300.

83. 

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

84. 

 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

85. 

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза?

86. 

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны .

87. 

Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса.

88. 

Высота конуса равна 5, а диаметр основания – 24. Найдите образующую конуса

89. 

Высота конуса равна 15, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.

90. 

Высота конуса равна 6, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.

91. 

Высота конуса равна 12, а диаметр основания – 10. Найдите образующую конуса.

92. 

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21 , а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.

93. 

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18 , а диаметр основания равен 9. Найдите высоту цилиндра.

94. 

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14 , а диаметр основания равен 2. Найдите высоту цилиндра.

95. 

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 9 , а диаметр основания равен 3. Найдите высоту цилиндра.

96. 

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15 , а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.

97. 

Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

98. 

Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.

99. 

Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.

100. 

 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а высота — 1. Найдите диаметр основания.

№

ответ

№

ответ

№

ответ

№

ответ

№

ответ

1

12

21

50

41

4

61

6

81

20

2

2

22

5

42

0,75

62

27

82

18

3

6

23

45

43

1

63

8

83

240

4

4

24

45

44

4

64

6

84

9

5

3,6

25

45

45

256

65

2

85

54

6

17

26

2

46

4,5

66

2

86

13,5

7

5

27

2

47

4,5

67

24

87

17

8

17

28

5

48

4

68

184

88

13

9

16

29

2

49

6

69

5

89

17

10

15

30

60

50

3

70

300

90

10

11

10

31

60

51

12

71

248

91

13

12

45

32

5

52

10

72

12

92

3

13

9

33

3

53

4

73

16

93

2

14

45

34

60

54

96

74

18

94

7

15

4

35

45

55

60

75

24

95

3

16

5

36

45

56

4

76

12

96

3

17

3

37

240

57

8

77

120

97

5

18

2

38

360

58

3

78

4

98

4

18

4

39

1,5

59

24

79

1,5

99

2

20

5

40

4

60

4

80

80

100

2