Решение геометрических задач
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Слайд 1

Решение задач ОГЭ Темы: Треугольники, четырёхугольники, окружность. 9класс

Слайд 2

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. Решение: Пусть х- BAL , y-ACB , рассмотрим треугольник ALC х + у + 112 =180,

Слайд 3

Площадь равнобедренного треугольника равна Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны. Решение: Треугольник АВС – равнобедренный. Пусть длина боковой стороны равна а. Площадь треугольника можно найти как половину произведения сторон на синус угла между ними:

Слайд 4

В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, < АВС=108.Найдите угол . Ответ дайте в градусах . Решение. Треугольник - равнобедренный, следовательно,

Слайд 5

Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите биссектрису этого треугольника. Решение: Так как треугольник АВС равносторонний, то его биссектриса ВН является и медианой, и высотой. Тогда треугольник АВН= прямоугольный. Ответ: 18

Слайд 6

В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите

Слайд 7

В остроугольном треугольнике высота АН равна , а сторона АВ равна 40. Найдите . Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH из теоремы Пифагора найдём BH По определению косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: Ответ: 0,5

Слайд 8

Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах. Решение. Введём обозначение, как показано на рисунке. Углы 1 и 4 соответственные, поэтому ∠4 = ∠1 = 22°. Углы 2, 3 и 4 — это углы одного треугольника, сумма углов треугольника равна 180°, откуда ∠3 = 180° − 22° − 72° = 86°. Ответ: 86

Слайд 9

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tg A = 0,5. Найдите BC. Решение. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, поэтому Ответ: 10.

Слайд 10

Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы. Решение. Пусть х— длина катета, лежащего против угла в 30°, тогда гипотенуза равна 2х, второй катет равен . Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Следовательно, длина гипотенузы 2х, равна 16. Ответ: 16.

Слайд 11

В треугольнике АВС угол С равен 90°, Найдите АВ. Решение: По определению тангенса тогда по теореме Пифагора: Ответ: 28.

Слайд 12

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, tg A = 0,75. Найдите BC. Решение: По определению тангенса: Ответ: 3.

Слайд 13

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника. Решение: Пусть a — длина основания равнобедренного треугольника, b — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, h — длина основания проведённого к высоте. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, также является его биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме Пифагора: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Ответ: 48

Слайд 14

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6. Решение. Пусть длины сторон параллелограмма равны а и b. B выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: Периметр параллелограмма

Слайд 15

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах. Решение: Проведём диагональ OQ Рассмотрим треугольник OQR, OQ и OR равны как радиусы окружности. Все стороны ромба равны, поэтому OR = QR, получаем, что OQ = QR = OR, следовательно, треугольник OQR — равносторонний, поэтому все его углы, в том числе и угол ORQ, равны 60°. Ответ: 60.

Слайд 16

Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. Запишите величины углов в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Слайд 17

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание. Ответ: 16.

Слайд 18

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах. Решение. Пусть x — меньший угол трапеции, 2x — больший угол. У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, поэтому их сумма равна x + 2x + x + 2x = 6x. Поскольку она равна 360°, находим: х = 60°. Ответ: 60.

Слайд 19

Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Слайд 20

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , BC = Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение. Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора имеем: Ответ: 17,5

Слайд 21

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8. Решение. Проведём радиусы ОВ и ОС в точки касания. Получили два прямоугольных треугольника, катет ОВ=ОС= R, где R — радиус окружности, гипотенуза AO этих двух прямоугольных треугольников — общая, следовательно, эти треугольники равны. То есть, имеется равенство углов

Слайд 22

Не торопитесь! Будьте внимательны! Проверяйте! Используйте всё время! Спасибо за внимание!