"Вписанный угол. Вписанные и описанные четырехугольники"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (8, 9 класс)

1 вариант

1. Что такое центральный угол?

А) Угол, вершина которого находится на окружности.   Б) Угол, вершина которого находится в центре окружности.  

В) Угол, образованный двумя хордами.

2. Как вычислить   вписанный угол?

А) Он равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу.  

                Б) Он равен центральному углу.                                        В) Он всегда равен 90 градусам.  

3. Какой угол является вписанным?

А) Угол, вершина которого лежит внутри окружности, а стороны пересекают окружность.  

Б) Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.  

В) Угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают окружность.  

4.Чему равна дуга, на которую опирается вписанный угол  90 градусов?

А)  180о                                  Б) 90о                                  В) 360о

5. Какой угол будет равен 90 градусам, если он является вписанным?

   А) Угол, опирающийся на диаметр.                                                        Б) Угол, опирающийся на радиус.  

В) Угол, опирающийся на произвольную дугу.

6. Как соотносятся между собой два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу?

   А) Они равны 180 градусам.                                      Б) Они дополняют друг друга до 90 градусов.  

                                                     В) Они равны.

7.Если четырёхугольник описан около окружности, каким из свойств он обладает?

А) Сумма его противоположных углов равна 1800.                 Б) Суммы  его противолежащих сторон равны.

В) Сумма его противоположных углов равна 900.

8.Выберите верное утверждение:

А) Если треугольники подобны, то градусные меры  их углов пропорциональны.

Б) Если треугольники подобны, то их сходственные стороны равны.

В) Если треугольники подобны, то их сходственные стороны пропорциональны.

2 вариант

1. Что такое вписанный угол?

А) Угол, вершина которого находится вне окружности, а стороны пересекают окружность.  

Б) Угол, вершина которого находится в центре окружности.  

В) Угол, вершина которого находится на окружности, а стороны пересекают окружность.  

2. Какова связь между вписанным углом и центральным углом?

А) Вписанный угол равен центральному углу.  

Б) Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.  

В) Вписанный угол всегда равен 90 градусам.  

3.Если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, то

А) Они равны.                                 Б) Их сумма равна 180                                         С) Их сумма равна 360  

4. Каково соотношение между величиной вписанного угла и величиной центрального угла, опирающихся на одну и ту же дугу?

А) Оба угла равны.                                                                      Б) Центральный угол вдвое больше вписанного угла.  

                                               В) Нет зависимости между этими углами.

5.Как связаны между собой центральный угол и дуга, на которую он опирается?

А) Центральный угол равен длине дуги.                         Б) Центральный угол равен градусной мере дуги.

В) Центральный угол равен половине длины дуги.

6.Какова величина вписанного угла, если он опирается на диаметр окружности?

                     А) 90 о                                        Б) 180о                                      В) 360о   

7.Если четырехугольник вписан в окружность, каким из свойств он обладает?

А) Сумма его противоположных углов равна 1800.                Б)  Суммы  его противолежащих сторон равны.

В) Сумма его противоположных углов равна 900.

8.Выберите верное утверждение

А)  Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Б) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1 вар.

2 вар.

Вопрос 1

Б

В

Вопрос 2

А

Б

Вопрос 3

Б

А

Вопрос 4

А

Б

Вопрос 5

А

Б

Вопрос 6

В

А

Вопрос 7

Б

А

Вопрос 8

В

В

Знать ответы на вопросы

1.Измерения окружности

1) в градусах - 3600,

2)  Формула длины окружности С радиусом R    С = 2πR

2. Сколько градусов составляет полуокружность

180о

3. Что такое центральный угол

-это угол с вершиной в центре окружности

∠АОВ  - центральный

Градусная мера центрального угла равна градусной мере  дуги, на которую он опирается

∠АОВ = АВ

4.Что такое вписанный угол

5.Чему равна градусная мера вписанного угла?

- это угол,  вершина которого лежит на окружности, а

-стороны пересекают окружность 

Вписанный угол равен  половине     дуги,  на которую  он опирается     ∠АСВ = АВ : 2  тогда

Градусная мера дуги в два раза больше вписанного угла      

АВ = ∠АСВ ∙ 2 

 Соответствующие вписанный и центральный углы

вписанный и центральный углы называются соответствующими,  когда они опираются на одну и ту же дугу, тогда

 вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.

        ∠АСВ = ∠АОВ : 2                                                           

6. Следствие о вписанных углах,  которые опираются на одну дугу

Вписанные углы,  опирающиеся на одну  и ту же дугу, равны

∠АFC =∠АMC = ∠АNC = ∠АKC

7. Сколько градусов угол, который опирается на диаметр?

Вписанный угол,  опирающийся на полуокружность, (на диаметр) – прямой  (90о)

∠АFB =∠АMB = ∠АNB = ∠АCB = 90о

5. Что такое трапеция?

это четырехугольник, у которого

  -две стороны параллельны, а

  - две другие не параллельны.

Параллельные стороны – основания - ВС, AD

Не параллельные – боковые AB,  CD

6.Свойство углов трапеции

Сумма углов прилежащих к боковой стороне равна 180о

7.  Чему равна высота трапеции описанной около окружности?

Высота  любой трапеции описанной около окружности равна двум радиусам этой окружности.   h = 2 ∙ r

ОБРАЗЦЫ  РЕШЕНИЯ                                           ВИД 1.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O.
Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 27°. Ответ дайте в градусах.

Дано: АОB =270

Найти:

Решение:

= =13,5

Ответ: 13,5

ВИД 2.  

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92°. Прямая BC касается окружности
в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Дано. АВ =920                                                               

Найти:

Решение:

∠АВС = АВ : 2;      

  ∠АВС= 920: 2 =460 

 Ответ: 46                                              

ВИД 3.  

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=41°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Дано: АВ -диаметр  

   ∠NBA=41°                                                          

Найти:

Вписанный ∠ = NВ: 2

АВ - диаметр  => дуга АNВ = 1800

Вписанный  ∠NBA=41° => дуга АN=41° · 2 =82о

  NВ = 180о - 82о =98о   

  ∠ = 98о : 2 = 49о

                                                Ответ: 49                                                                                                    

ВИД 4

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Дано: ∠АВС = 70о

∠САD = 49о

 Найти: ∠АВD

Вписанный ∠АВD =АD : 2

∠АВС = 70о  => дуга АDС =70о  · 2 =140°

∠ САD = 49о  => дуга DС =49о · 2 =98°

 АD = АDС - DС =140о - 98о =42о

  ∠АВD = АD : 2 = 42о: 2 = 21о

 Ответ: 21                                                                                                    

ВИД 5.

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если 
угол BAC равен 75°. Ответ дайте в градусах.

Дано:  

Найти: 

Решение:

                    Ответ: 15

ВИД 6

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=75° и 

∠OAB=43°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах

Дано: ∠ABС=75°   ∠ОAB=43°

 Найти: ∠BСО

Решение:

Проведем ОВ, ∆AOВ - равноб. ОА=ОВ =>∠АВО=∠ОAB=43°

∠ОВС=75°- 43°=32°

∆ ВОС – равноб. ОВ=ОС радиусы =>∠ОВС=∠BСО=32°

            Ответ: 32

ВИД 7

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 18°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Дано: ∠AСB (∠C) =18о

 Найти: ∠AOD

Вписанный ∠АСВ = 18о  =>

∠AОB =18о · 2 =36°(центральный)

ВD -диаметр  => ∠BОD = 1800

∠AOD=180о - 36о =144о

Ответ:144

ВИД 8

В окружности с центром O

 отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 132°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах

Дано: ∠AOD =132°

 Найти: ∠AСB

Вписанный ∠АСВ = ∠AОB : 2

ВD -диаметр  => ∠BОD = 1800

 ∠AОB = 180о - ∠AOD =  180о - 132°= 48о

∠АСВ = 48о : 2 = 24о

                                                   Ответ: 24

ВИД 9

 В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 80°. Найдите величину угла OAB.

Образец решения: 

Треугольники АОВ и треугольник СОD равны => все соответствующие элементы у них равны, значит  ∠OAB=80°;     Ответ: 80о

ВИД 10

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Дано: ∠AВD = 39° ∠СAD=55о

 Найти: ∠ABС

∠ABС = ∠АВD + ∠DBC

Вписанный ∠CАD= ∠CBD опираются на одну дугу

∠CBD = 550

 ∠ABС = 39о + 55о = 94о

                          Ответ: 94

 ВИД 11.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=7, 

BC=10, CD=14.Найдите AD

Дано:

АВСD-описан около окр.                      AB=7, BC=10, CD=1

 Найти: АD

Решение: АВ + СD = BC  + AD

1стор. + 3стор. = 2 стор. + 4 стор.

7 + 14 = 10 + АD;     21 = 10 + AD

AD = 21 -10 =11

                                            Ответ: 11.

ВИД 12.  

Угол A четырёхугольника 

ABCD, вписанного
в окружность, равен 82°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Дано:

АВСD-вписан  в окр.  

  ∠A= 82°                        Найти: ∠С

    Решение:

∠A + ∠C = 1800

82°+ ∠C = 1800

∠C = 1800  – 82°= 98°

                                        Ответ: 98

ВИД 13

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции

Дано:

Трапеция описана  около  окр.  r = 16

  Найти: h

Решение:

h = 2 ∙ r;     h = 2 ∙ 16 =32

               Ответ: 32.

1 вариант

2 вариант

1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром 
в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 113°. Ответ дайте в градусах.

1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром  в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 67°. Ответ дайте в градусах.

2. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 134°. Прямая BC касается окружности
в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

2. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 66°. Прямая BC касается окружности
в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

3. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=71°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

3. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA°=12 Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах

4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 56°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

5.Центр окружности, описанной около треугольника  ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 53°. Ответ дайте в градусах.

5. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если
угол BAC равен 48°. Ответ дайте в градусах.

6.Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=56° и ∠OAB=15°.
Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

6. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=44° и ∠OAB=13°.
Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах

7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

7.Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах

8.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

8. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

9.Трапеция ABCD с основаниями AD и BC

 описана около окружности,

AB=11, BC=5, CD=13. Найдите AD.

9. Трапеция ABCD с основаниями AD и BC

 описана около окружности, 

AB=18, BC=9, CD=13. Найдите AD.

10. Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 37°.

Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

10. Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 62°.

Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

11. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 77°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

11. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен36°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

12.Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.

12.Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 10. Найдите высоту этой трапеции.

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 вар

56,5

67

19

42

37

41

22

114

19

143

103

56

2 вар

33,5

33

78

14

42

31

72

110

22

118

144

20

2 часть 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD 

пересекаются в точке K, BK=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

3. 2 часть Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=12, BC=6. Найдите AD.

2.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP  =  16, а сторона BC в 1,6 раза меньше стороны AB.

4.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP  =  18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.

2 часть 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD 

пересекаются в точке K, BK=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

3. 2 часть Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=12, BC=6. Найдите AD.

2.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP  =  16, а сторона BC в 1,6 раза меньше стороны AB.

4.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP  =  18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.

2 часть 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD 

пересекаются в точке K, BK=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

3. 2 часть Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=12, BC=6. Найдите AD.

2.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP  =  16, а сторона BC в 1,6 раза меньше стороны AB.

4.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP  =  18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.

2 часть 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD 

пересекаются в точке K, BK=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

3. 2 часть Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=12, BC=6. Найдите AD.

2.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP  =  16, а сторона BC в 1,6 раза меньше стороны AB.

4.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP  =  18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.

№

1

2

3

4

1 вар

20

10

9

15

Критерии     1-3   «3»                  1-4  «4»                            1-5  «5»

1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром 
в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 73°. Ответ дайте в градусах.

2. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 168°. Прямая BC касается окружности
в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

3. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=34°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах

4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 32°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

5.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 7, а сторона BC в 1,4 раза меньше стороны AB.

№

1

2

3

4

5

Домашняя

36,5

84

56

48

5