Создание простых математических моделей с помощью электронных таблиц
материал по информатике и икт по теме

Создание простых

математических моделей с

помощью электронных таблиц

Выполнила:

Мальчук Светлана Викторовна

Оглавление

Введение        

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ        

1.1. Классификация моделей.        

1.2. Математические модели.        

1.3. Основные этапы моделирования.        

2. СОЗДАНИЕ ПРОСТЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ        

2.1. Общая характеристика электронных таблиц.        

2.2. Исследование математических моделей в электронных таблицах.        

Заключение        

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ        

15. Введение

Человек издавна использует моделирование для исследования объектов, процессов, явлений в различных областях. Результаты этих исследований служат для определения и улучшения характеристик реальных объектов и процессов; для понимания сути явлений и выработки умения приспосабливаться или управлять ими; для конструирования новых объектов или модернизации старых. Моделирование помогает человеку принимать обоснованные и продуманные решения, предвидеть последствия своей деятельности.

Применение компьютера в качестве нового динамичного, развивающего средства обучения — главная отличительная особенность компьютерного моделирования. Для осуществления математических расчётов и моделирования, как в практической, так и в научной деятельности, используются различные компьютерные программы. Наиболее широко распространены электронные таблицы и такие программы для работы с ними, как  MS Excel и OpenOffice.org Calc. Данные программы являются многофункциональными и в то же время  довольно простыми для изучения. Хотя на самом деле, в данных программ легко начать работать, а уметь использовать все возможности не так просто. Поэтому целью данной работы является изучение теоретических основ информационного моделирования,  создание различных математических моделей и исследование их поведения с помощью электронных таблиц. Исходя из цели работы, были определены следующие задачи:

- Определить понятие модели и познакомиться с основными типами информационных моделей.

- Рассмотреть математические модели объектов или процессов

- Исследовать основные возможности программ MS Excel и OpenOffice.org Calc;

- Строить компьютерные модели в среде электронных таблиц.

16. 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Слово «модель» произошло от латинского слова «modulus», означает «мера», «образец». Его первоначальное значение было связано со строительным искусством и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX век. Постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин «модель» широко используется различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. [2]

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом, и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.[2]

В самом общем случае при построении модели исследователь отбрасывает те характеристики, параметры объекта-оригинала, которые несущественны для изучения объекта. Выбор характеристик объекта-оригинала, которые при этом сохраняются и войдут в модель, определяется целями моделирования. Обычно такой процесс абстрагирования от несущественных параметров объекта называют формализацией. Более точно, формализация - это замена реального объекта или процесса его формальным описанием.

Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим (а иногда и единственным) способом их изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность.[5]

1.1. Классификация моделей.

Границы между моделями различных типов или классов, а также отнесение модели к какому-то типу или классу чаще всего условны. Рассмотрим наиболее распространенные признаки, по которым классифицируются модели.

1) Классификация моделей по области использования:

Учебные модели – используются при обучении.

Опытные – это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Используют для исследования и прогнозирования его будущих характеристик.

Научно-технические - создаются для исследования процессов и явлений.

Игровые – репетиция поведения объекта в различных условиях

Имитационные – отражение реальности в той или иной степени (это метод проб и ошибок).

2) Классификация моделей по фактору времени:

Статические - модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). Примеры моделей: классификация животных, строение молекул, список посаженных деревьев, отчет об обследовании состояния зубов в школе и тд..

Динамические – модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). Примеры: описание движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.

3) Классификация моделей по отрасли знаний - это классификация по отрасли деятельности человека:

Математические, биологические, химические, социальные, экономические, исторические и т.д..

 4) Классификация моделей по форме представления:

Материальные – это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры: детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты

Абстрактные (нематериальные) – не имеют реального воплощения. Их основу составляет информация. Это теоретический метод познания окружающей среды. По признаку реализации они бывают:  мысленные и вербальные; информационные.

Мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель сопутствует сознательной деятельности человека.

Вербальные – мысленные модели, выраженные в разговорной форме. Используются для передачи мыслей.

Информационные модели – целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойств этого объекта.

По степени формализации информационные модели бывают:

Образно-знаковые: геометрические (рисунок, пиктограмма, чертеж, карта, план, объемное изображение); структурные (таблица, граф, схема, диаграмма); словесные (описание естественными языками); алгоритмические (нумерованный список, пошаговое перечисление, блок-схема).

Знаковые модели: математические – представлены математическими формулами, отображающими связь параметров; специальные – представлены на спец. языках (ноты, химические формулы); алгоритмические – программы.[2]

1.2. Математические модели.

Широко распространенным видом моделирования является математическое моделирование. Математическая модель отражает существенные свойства объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Математическое моделирование стало чрезвычайно мощным средством познания в естественных, технических и социальных науках, экономике, многих видах практической деятельности, и заслуживает углубленного изучения.

Нужно отметить, что математическое моделирование, являющееся основой компьютерного моделирования, появилось задолго до создания компьютеров. Однако возможности компьютеров позволили ученым моделировать сложные динамические явления природы, а также сложные экономические и социальные процессы. Цель создания компьютерной математической модели — проведение численного эксперимента, позволяющего исследовать моделируемую систему, спрогнозировать ее поведение, подобрать оптимальные параметры и пр.[7]

Характерные признаки компьютерной математической модели:

•  наличие реального объекта моделирования;

• наличие количественных характеристик объекта: входных и выходных параметров;

• наличие математической связи между входными и выходными параметрами;

• реализация модели с помощью определенных компьютерных средств.

1.3. Основные этапы моделирования.

Моделирование — творческий процесс. Заключить его в формальные рамки очень трудно. В наиболее общем виде его можно представить поэтапно в следующем виде.

рис. 1 Этапы моделирования

Каждый раз при решении конкретной задачи такая схема может подвергаться некоторым изменениям: какой-то блок может быть убран или усовершенствован. Все этапы определяются поставленной задачей и целями моделирования.[3]

        I этап. Постановка задачи

        Под задачей в самом общем смысле понимается некая проблема, которую надо решить. Главное — определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат.

        По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы. К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать, как изменяется характеристика объекта при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть “что будет, если...”. Вторая группа задач имеет такую обобщенную формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется “как сделать, чтобы...”.

        Цели моделирования определяются расчетными параметрами модели. Чаще всего это поиск ответа на вопрос, поставленный в формулировке задачи.

        Далее переходят к описанию объекта или процесса.        Иногда задача может быть уже сформулирована в упрощенном виде, и в ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть.

        При анализе объекта необходимо ответить на следующий вопрос: можно ли исследуемый объект или процесс рассматривать как единое целое или же это система, состоящая  из более простых объектов? Если это единое целое, то можно перейти к построению информационной модели. Если система — надо перейти к анализу объектов, ее составляющих, определить связи между ними.

        II этап. Разработка модели

        По результатам анализа объекта составляется информационная модель. В ней детально описываются все свойства объекта, их параметры, действия и взаимосвязи.

        Далее информационная модель должна быть выражена в одной из знаковых форм. Учитывая, что мы будем работать в среде электронных таблиц, то информационную модель необходимо преобразовать в математическую. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель в форме таблиц, в которой выделяются три области данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные вводятся “вручную”. Расчеты, как промежуточные, так и окончательные, проводятся по формулам, записанным по правилам электронных таблиц.

        III этап. Компьютерный эксперимент

        Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т.е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям. Это требует больших материальных затрат и времени. В помощь пришли компьютерные исследования моделей. При проведении компьютерного эксперимента проверяют правильность построения моделей. Изучают поведение модели при различных параметрах объекта. Каждый эксперимент сопровождается осмыслением результатов. Если результаты компьютерного эксперимента противоречат смыслу решаемой задачи, то ошибку надо искать в неправильно выбранной модели или в алгоритме и методе ее решения. После выявления и устранения ошибок компьютерный эксперимент повторяется.

        IV этап. Анализ результатов моделирования

        Заключительный этап моделирования — анализ модели. По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему представлению и целям моделирования. На этом этапе определяются рекомендации по совершенствованию принятой модели и, если возможно, объекта или процесса.[4]

17. 2. СОЗДАНИЕ ПРОСТЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ

Электронные таблицы (или табличные процессоры) - это прикладные программы, предназначенные для проведения табличных расчётов. Данное  средство информационных технологий, позволяет решать целый комплекс задач, и прежде всего, выполнение вычислений. Многие расчёты выполняются в табличной форме, особенно в области делопроизводства: многочисленные расчётные ведомости, сметы расходов и т. д. Кроме того, в табличной форме удобно выполнять решение численными методами целого ряда математических задач. Электронные таблицы (ЭТ) являются удобным инструментом для автоматизации таких вычислений. Решения многих вычислительных задач на ЭВМ, которые раньше можно было осуществить только путём программирования, стало возможным осуществлять с помощью электронных таблиц. Использование математических формул в ЭТ позволяет представить взаимосвязь между различными параметрами некоторой реальной системы. Основное свойство ЭТ — мгновенный пересчёт значений рассчитываемых показателей при изменении входящих данных. Благодаря этому свойству, таблица представляет собой удобный инструмент для организации численного эксперимента.[7]

Дополнительные удобства для моделирования даёт возможность графического представления данных (диаграммы), а также возможность использования электронной таблицы в качестве базы данных. Электронные таблицы просты в обращении, значительно упрощают и ускоряют работу.

2.1. Общая характеристика электронных таблиц.    

В настоящее время наиболее распространённая программа для работы с электронными таблицами - MS Excel, которая является составной частью пакета MS Office. Широкое распространение получил и пакет  OpenOffice.org, в том числе и его составляющая для работы с электронными таблицами  Calc. Данные пакеты программ, в том числе и для работы с электронными таблицами, имеют схожие возможности. [1]

Электронная таблица в MS Excel и OpenOffice.org Calc (рабочий лист) — это множество элементарных ячеек, каждая из которых имеет адрес, определяемый координатами по вертикали (столбцы) и горизонтали (строки). Столбцы рабочего листа именуются, а строки нумеруются. (рис.2)

Каждый документ в MS Excel называется рабочей книгой и состоит из нескольких рабочих листов. Книга в MS  Excel представляет собой файл с расширением .xls (и xlsx в версии 2007 года), предназначенный для хранения и обработки данных.  В OpenOffice.org Calc рабочие книги можно сохранять в виде файлов с различными расширениями (основным расширением файла является .ods). Данная программа открывает файлы созданные в   MS Excel (с расширениями  .xls и  .xlsx) и возможно сохранение файлов с расширением  .xls, то есть такие файлы можно открывать и редактировать в  MS Excel. В свою очередь, файлы с расширением .ods в программе  MS Excel открывать и редактировать нельзя. [6].

Рис. 2 Внешний вид главного окна OOCalc

Для ввода данных в программах MS  Excel и  OpenOffice.org Calc нужно выбрать ячейку и ввести то, что требуется. Набираемые данные отображаются в ячейке и в строке ввода, которая особенно полезна с учётом того, что ячейка может содержать больше символов, чем позволяет отобразить её текущая ширина. В ячейку можно вводить числовые значения, текст, а также дату и время. Причём можно выбирать формат ячеек (числовой, текстовой, формат даты и времени). Если текст начинается со знака "=", то он не отображается в ячейке, поскольку эти программы считают такой текст формулой. Если нужно напечатать текст, начинающийся со знака "=", то необходимо самым первым символом поставить знак одинарной кавычки. Если есть необходимость начать строку со знака кавычки, то необходимо напечатать кавычку два раза.

Основными возможностями  программ MS  Excel и  OpenOffice.org Calc являются: вычисления с помощью формул, вводимых в ячейки; использование встроенных функций, построение диаграмм и графиков.[1]

В OOCalc и  MS  Excel доступны следующие основные арифметические операции:

"+" – сложение;

"-" – вычитание;

"*" – умножение;

"/" – деление;

"^" – возведение в степень;

":" – задание диапазона.

Кроме этих операций, в этих программах доступен обширный набор функций следующих категорий:

● работа с базами данных;

● обработка времени и дат;

● финансовые;

● информационные;

● логические;

● математические;

● работа с массивами;

● статистические;

● текстовые;

● дополнительные [5].

Для удобства написания формул в OOCalc и  MS  Excel используется Мастер функций. В OOCalc кнопка «Мастер функций» находится слева от строки ввода.

Рис. 3 Мастер функций в программе  OOCalc

В программах OOCalc и  MS  Excel можно вставлять диаграммы и графики вычислений. Для этого надо выделить столбцы со значениями, например, выделяются два столбца A и B. В программе в программе  OOCalc из меню (или панели инструментов) выбирается пункт «Вставка -  Диаграмма». Необходимо выбрать тип диаграммы:

Двумерные диаграммы:

● линии;

● с областями;

● гистограмма;

● линейчатая;

● круговая;

● диаграмма XY;

● сетчатая;

● биржевая.

Трехмерные диаграммы

● график 3М;

● с областями 3М;

● гистограмма 3М;

● линейчатая 3М;

● круговая 3М.

Перечисленные возможности программ  OOCalc и  MS  Excel являются востребованными и часто используются при математическом моделировании.

2.2. Исследование математических моделей в электронных таблицах.

Задача 1. Необходимо покрасить краской стены кухни. Сколько потребуется банок краски, если известно, что размеры кухни 405 × 310 × 285 см; 88% площади стен занимает кафельная плитка; 1 банка краски предназначена для покраски площади 5 м2?

I этап. Постановка задачи.

Описание задачи. 

a = 405 см – длина комнаты,
b = 310 см – ширина комнаты,
c = 285 см – высота комнаты,
1 – 0,88 = 0,12 – часть комнаты для покраски (без кафеля),
5 м2 – площадь покраски при использовании 1 банки краски.

Цель моделирования. Определить необходимое количество краски.

Формализация задачи в виде поиска ответов на вопросы.

Таблица 1. Формализация задачи 1

II этап. Разработка модели.

Информационная модель. 

Таблица 2. Информационная модель задачи 1

Дополним информационную модель в табличной форме математической моделью. Sстен с кафелем =2(a + b)c; Sстен для покраски = 2(a + b)c * 0,12.

Чтобы определить, сколько потребуется банок краски, надо площадь для покраски разделить на 5 м2, т. е. Sстен для покраски /5 и результат округлить до целых.

 На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

Рис. 4 Электронная таблица в режиме отображения формул

Рис. 5 Электронная таблица в режиме отображения значений

III этап. Компьютерный эксперимент. 

1. Проведем расчет количества банок краски, необходимых для покраски стен кухни.
2. Изменим данные (1 банку краски хватит на 2 м2, 1 м2, 3 м2, 0,5 м2) и проследим за пересчетом результатов.

IV этап. Анализ результатов. С помощью MS Excel мы определили, что для покраски стен кухни необходима 1 банка краски. Можно также определить, сколько краски понадобится, если размер кухни будет иным или 1 банку краски хватит на иную площадь.

Задача 2.  Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

I этап. Постановка задачи.

Описание задачи. 

a – длина прямоугольника,
b   – ширина прямоугольника,
S=64 см2 - площадь прямоугольника,
P – периметр прямоугольника.
Цель моделирования. Определить длину каждой стороны прямоугольника, чтобы периметр был наименьшим.

Формализация задачи в виде поиска ответов на вопросы.

Таблица 3. Формализация задачи 2

II этап. Разработка модели.

Информационная модель. 

Таблица 4. Информационная модель задачи 2

Дополним информационную модель в табличной форме математической моделью. Sпрям. =a*b; Pпрям.= 2(a + b). Чтобы определить размер длины, нужно площадь прямоугольника разделить на размер ширины, т. е. b=S/a.

 На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы. В ячейке B3 (значение длины) будет подбираться значение, поэтому ничего не вводим. В ячейку B4 вводим формулу для вычисления ширины, в ячейку B5 – для вычисления площади, в ячейку B6 – для вычисления периметра.

Рис. 6 Электронная таблица в режиме отображения формул

III этап. Компьютерный эксперимент. 

1. Установив курсор в ячейке со значением периметра B6, который по условию должен быть наименьшим, в «Сервис – Поиск решений», установим целевую ячейку $B$6 равной минимальному значению, изменяя ячейки $B$3
2. Изменим данные (пусть площадь будет равна 36 см2, 100 см2, 150 см2) и проследим за пересчетом результатов.

IV этап. Анализ результатов. С помощью MS Excel мы определили, что, если площадь прямоугольника равна 64 см2, стороны будут равны 8 см, периметр в этом случае будет наименьшим.

Задача 3. У маленького Васи есть небольшой бассейн во дворе. Иногда Вася ходит к речке и приносит воду в бассейн в небольшой цистерне цилиндрической формы. Известны ширина - 4,3 м, высота – 2 м, длина - 5,8 м бассейна и объем цистерны 4,5 м3. Сколько раз Васе нужно сходить к речке за водой, чтобы наполнить бассейн наполовину?

I этап. Постановка задачи.

Описание задачи. 

ДБ – длина бассейна,
ШБ – ширина бассейна,

ВБ – высота бассейна,
ОбЦ – объём цистерны.
Цель моделирования. Определить количество походов к реке за водой, чтобы наполнить бассейн наполовину.

Формализация задачи в виде поиска ответов на вопросы.

Таблица 5. Формализация задачи 3

II этап. Разработка модели.

Информационная модель. 

Таблица 6. Информационная модель задачи 3

Дополним информационную модель в табличной форме математической моделью. ОБб=ДБ*ВБ*ШБ. Чтобы определить, сколько раз нужно сходить к речке за водой, чтобы наполнить бассейн наполовину, нужно объем бассейна разделить на объем цистерны и разделить на 2, т. е. N= ОБб/ОБЦ/2. Данный результат, скорее всего, будет представлен десятичной дробью. Округляем его до целых.  На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

Рис. 7 Электронная таблица в режиме отображения формул

III этап. Компьютерный эксперимент. 

Изменим данные,  проследим за пересчетом результатов.

Таблица 7. Изменение параметров задачи 3

IV этап. Анализ результатов. Полученная модель позволяет пересчитывать количество походов за водой для наполнения бассейна при изменении каких-либо параметров (ширина, длина, высота бассейна, объем цистерны).

18. Заключение

В процессе написания курсовой работы была изучена литература, связанная с теоретическими основами моделирования. Дано определение понятию модели, приведена классификация различных моделей, исследованы основные возможности программ MS Excel и OpenOffice.org Calc. Также рассмотрены математические модели  и исследовано их поведения с помощью электронных таблиц.

Тема, освещённая в данной работе, актуальна, т.к. понятие модели – фундаментальное понятие информатики. Оно проходит через весь курс информатики, изучаемой в школе. В процессе познания окружающего мира человечество постоянно использует моделирование и формализацию. Очень часто формализованная модель выражается с помощью математических формул, т.е. математическая модель – одна из наиболее используемых.
Основной инструмент при создании и исследовании моделей – компьютер. Прикладные программы помогают быстро и надёжно исследовать созданные модели и представлять наглядный результат.

Работа может быть использована на уроках информатики. Модели и методы их обработки создаются новые, поэтому тема в дальнейшем может быть дополнена.

19. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Microsoft Excel. [Википедия] (01.12.12), /http://ru.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel
2. Гейн А. Г., Информатика. 7-9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - 8-е изд., стер. - М.: Дрофа, 2005. - 240с.: ил.
3. Макарова Н. В. Информатика. 7-9 класс. Базовый курс. Задачник по моделированию. – СПб.: Питер, 2007. – 176 с.: ил.
4. Макарова Н. В. Информатика. 7–9 класс. Базовый курс. Учебник. – СПб.: Питер, 2008. - 288с.: ил.
5. Семакин И. Г, Залогова Л. А, Русаков С. В, Шестакова Л. В. Информатика. Базовый курс. 7–9 классы– 4-е издание. М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 390 с.: ил.

6. Табличный процессор. [Википедия] (01.12.12), /http://ru.wikipedia.org/wiki/Табличный_ процессор  
7. Церенова О. А. Математическое моделирование: Пособие для учителя. - Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 1995. - 259с.