Методическая разработка ЕГЭ по информатике "Задание №15. Преобразование логических выражений"
методическая разработка по информатике и икт (11 класс)
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 213.15 КБ |
Предварительный просмотр:
Автор: Ооржак А-Ч.С,
учитель информатики
МБОУ СОШ №1 пгт Каа-Хем,
Кызылского кожууна,
Республики Тыва
МБОУ СОШ №1 п.г.т. Каа-Хем
Методическая разработка
«Задание №15. Преобразование логических выражений.
(повышенный уровень)»
Автор: Ооржак А-Ч.С,
учитель информатики
МБОУ СОШ №1 пгт Каа-Хем,
стаж работы – 23г
пгт Каа-Хем, 2023г
Методическая разработка
«Задание №15. Преобразование логических выражений.
(повышенный уровень)»
Данная методическая разработка подготовлена с учётом содержания основной образовательной программы по информатике и предназначена для учителей в помощь при организации подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ 2023 года по указанной теме.
Актуальность темы обусловлена тем, что информатика становится наиболее популярным предметом для выбора выпускниками 11-х классов в качестве дополнительного экзамена в форме ЕГЭ. Для успешной сдачи экзамена по данному предмету требуется достаточно серьёзная подготовка.
Цель: разработка и теоретическое обоснование методики подготовки учащихся к решению задания №15 «Преобразование логических выражений» в ЕГЭ по информатике.
Что нужно знать:
- условные обозначения логических операций
- таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация»
Логическая операция | Представление в Питоне |
Отрицание ¬ | not() |
Логическое умножение ∧ | and |
Логическое сложение ∨ | or |
Следование A ⟶ B | not(A) or B, <= |
Равносильность ≡ | = = |
- операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A → B = ¬ A ∨ B или в других обозначениях A → B =
- если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
- иногда полезны формулы де Моргана[1]:
¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B
¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B
- некоторые свойства импликации
Что проверяется:
Знание основных понятий и законов математической логики:
- высказывания, логические операции, истинность высказывания.
- умение вычислять логическое значение сложного высказывания по известным значениям элементарных высказываний.
Типовые ошибки и трудности при решении логических заданий:
- решение может быть достаточно громоздким, это трудоемко, легко ошибиться;
- можно перепутать значение операций «И» и «ИЛИ», а также порядок выполнения цепочки операций;
- часто представляет трудность длинное запутанное условие задачи, из которого нужно выделить действительно существенную информацию и формализовать ее;
- нужно внимательно читать условие;
- в некоторых заданиях требуется применить знания не только из курса информатики, но и математики;
- нужно знать таблицы истинности логических операций и помнить правила преобразования логических выражений.
Моя система работы по теме «Основы логики».
1. Основные понятия алгебры логики, логические выражения и логические операции-3ч
2. Основные законы логики-2ч
3. Решение задач -1ч
4. Решение задания №2 (ЕГЭ) – 2ч
5. Решение задания №15 (ЕГЭ) – 4ч
6. Контрольная работа – 2ч
Итого:14ч
Задачи (ЕГЭ−2023, Информатика: задания, ответы, решения (sdamgia.ru)) :
- (Неравенство, две переменные)
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
(2x + 3y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 24)
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Решение:
I способ (математический) 1) Условия преобразуем в функции: (x ≥ y) x=y (y > 24) y=24 2) Строим графики для функций: x=y, y=24. Условия (x ≥ y) и (y > 24) задают множество, отмеченное на рисунке закрашенной областью. 3) Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, прямая 2x + 3y = A должна проходить выше точки (23; 24). Отсюда 2x+3y=2*23+3*24=118, 118 Ответ: А=119 | II способ (логический или с помощью рассуждений) Если истинно одно из выражений (x ≥ y) или (y > 24), то выражение (2x + 3y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 24) истинно независимо от значения А. 1) Для решения используем метод обратного хода. Если (x ≥ y) и (y > 24) – ложно, то условия приобретают следующий вид: (x < y) и (y ≥ 24). Следовательно, выражение 2x + 3y < A – истина. 2) Неравенство (x < y) равносильно неравенству (x ≤ y-1). Тогда 2x+3y ≤ 2(y-1) + 3y = 5y – 2 ≤ 120 – 2 = 118. Таким образом, 118<А, значит А=119. Ответ: А=119 | III способ (с помощью Python) for A in range(300): k = 0 for x in range(300): for y in range(300): if (2 * x + 3 * y < A) or (x >= y) or (y > 24): k += 1 if k == 90000: print(A) break В первом цикле перебираем значения для A в диапазоне от 0 до 300. Для каждого A устанавливаем счётчик k в ноль. Затем перебираем все числа в диапазоне от 1 до 300 (включительно) для переменных x и y. Если логическое выражение сработает при каждом значении x и y, то считается, что значение A нам подходит, и в счётчике по окончанию вложенных циклов будет значение 90000 (300 * 300 = 90000). Наименьшее число, которое напечатает программа равно 119. Ответ: А=119 |
2. (Функция ДЕЛ)
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».
Для какого наибольшего натурального числа А формула
ДЕЛ(120, A) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 18) → ¬ДЕЛ(x, 24)))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?
Решение:
I способ (по законам алгебры логики и математический) 1) Преобразуем выражение по законам алгебры логики: ДЕЛ(120, A) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 18) → ¬ДЕЛ(x, 24))) = ДЕЛ(120, A) ∧ ДЕЛ(x, А) V (¬ДЕЛ(x, 18) V ¬ДЕЛ(x, 24)) ДЕЛ(120, A) ∧ ДЕЛ(x, А)=1 (истина) ¬ДЕЛ(x, 18) V ¬ДЕЛ(x, 24)=0 (ложь) 2) Находим наименьшее общее кратное (НОК) x, который одновременно делится без остатка на 18 и на 24. НОК(18,24)=72. 3) Следовательно, для х = 72 выражение ¬ДЕЛ(x, А) должно быть ложным, то есть число 72 должно делиться на А, также на A должно делиться число 120. Наибольшим общим делителем (НОД) является число 24. НОД(72, 120)=24. Ответ: А=24. | II способ (с помощью Python) for A in range(100, 0, -1): k = 0 for x in range(1, 1000): if (120 % A == 0) and ((x % A != 0) <= ((x % 18 == 0) <= (x % 24 != 0))): k += 1 if k == 999: print(A) break В первом цикле перебираем значения для A в диапазоне от 100 до 0 с шагом -1. Для каждого A устанавливаем счётчик k в ноль. Затем перебираем все числа в диапазоне от 1 до 1000 (включительно) для переменной x. Если логическое выражение сработает при каждом значения x, то считается, что значение A нам подходит, и в счётчике по окончанию вложенных циклов будет значение 999 с шагом -1 (1000-1 = 999). Наибольшее число, которое напечатает программа равно 24. Ответ: А=24. |
3. (Числовая прямая)
На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [30,65]. Отрезок A таков, что формул
¬(x ∈ A) → ((x ∈ P) →¬ (x ∈ Q))
истинна при любом значении переменной x. Какова наименьшая возможная длина отрезка A?
Решение:
Способ решения: по законам алгебры логики и математический Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Преобразовав, получаем: ¬A → (¬P ∨ ¬Q) = A ∨ ¬P ∨ ¬Q. Покажем на интервале: Условию ¬P ∨ ¬Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞; 30) и (50; +∞). Выражение A ∨ ¬P ∨ ¬Q =1 (истина), то выражение A истинно на отрезке [30, 50]. Следовательно, наименьшая длина отрезка А равна 50 − 30 = 20. Ответ: 20. |
4. (Поразрядная конъюнкция)
Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.
Например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4.
Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
x&49 ≠ 0 → (x&41 = 0 → x&А ≠ 0)
тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?
Решение:
I способ (по законам алгебры логики, изложенный К. Ю. Поляковым ) 1) Преобразуем выражение по законам алгебры логики: ¬Х → (Y → ¬Z) = Х + (Y → ¬Z) = Х + ¬Y + ¬Z = X + ¬(YZ) = YZ → X. Имеем импликацию Z41ZA → Z49 или Z(41 or A) → Z49. Запишем числа 49 и 41 в двоичной системе счисления: 4910 = 1100012 4110 = 1010012 4910 = 1100012 Поразрядная * конъюнкция 4110 = 0101102 А = 0100002 Переводим в десятичную систему счисления: А = 100002=24=1610 Ответ: А=16 | II способ (по законам алгебры логики, изложенный Н.Г. Неуйминым)
номер бита: 5 4 3 2 1 0 х10 = 0 * * * * 0 4110 = 1 0 1 0 0 1 х & 41 = 0 0 0 0 0 0 это значит, что биты {5, 0} – нулевые, * может принять 0 или 1.
номер бита: 5 4 3 2 1 0 х10 = 0 1 * * * 0 4910 = 1 1 0 0 0 1 х & 49 = 0 1 0 0 0 0 это значит, что бит 4 в х =1. Отсюда А = 100002=24=1610 Ответ: А=16 | III способ (с помощью Python) for A in range(64): B = True for x in range(64): if ((x&49==0) or (x&41!=0) or (x&A!=0))==0: B=False if B: print(A) break Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 49 и 41 хватит шести разрядов. Программа выведет ответ 16. |
Самостоятельная работа:
1. На числовой прямой даны два отрезка: P = [17, 40] и Q = [20, 57]. Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной х: ¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈ Q)) → (x ∈ A))
Какова наименьшая возможная длина отрезка A?
2. Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
(3x + 4y ≠ 70) ∨ (A > x) ∨ (A > y) тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
3. Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4.
Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
x&51 = 0 ∨ (x&41 = 0 → x&А = 0) тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?
4. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула ДЕЛ(90, A) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 15) → ¬ДЕЛ(x, 20)))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?
5. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула (ДЕЛ(x, 3) → ¬ДЕЛ(x, 5)) ∨ (x + A ≥ 90) тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной x?
6. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R = [35, 50]. Какова наименьшая возможная длина промежутка A, что формула
( (x ∈ А) ∨ (x ∈ P) ) ∨ ((x ∈ Q)→ (x ∈ R)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Литература:
- ЕГЭ 2023. Информатика. Типовые экзаменационные варианты. 20 вариантов. Крылов, Чуркина
- ЕГЭ 2023. Информатика. 20 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ, Ушаков Денис Михайлович. АСТ: ЕГЭ-2023. Большой сборник тренировочных вариантов
- Информатика, 11 класс, Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Шеина Т.Ю. (базовый уровень)
- Информатика, 11 класс Поляков К.Ю., Еремин Е.А. (углубленный уровень)
- Информатика, 11 класс. Н.Д.Угринович (профильный уровень)
Сайты:
[1] Огастес (Август) де Морган – шотландский математик и логик.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/28/picture-190245-1359366521.jpg)
Логические законы и правила преобразования логических выражений
Урок закрепления умений учащихся в преобразовании логических выражений, подготовка к ЕГЭ, развитие у учащихся логического мышления....
Логические законы и правила преобразования логических выражений
Презентация на тему "Логические законы и правила преобразования логических выражений", в которой даны определения логических выражений, основные законов логики....
![](/sites/default/files/pictures/2014/10/02/picture-490691-1412232652.jpg)
презентация к уроку информатики 10 класс "Логические законы и правила преобразования логических выражений" (профильный уровень) по Угриновичу
Презентация к уроку информатики 10 класс "Логические законы и правила преобразования логических выражений" используется на уроках изучения нового материала (профильный уровень) по учебнику Угриновича....
Логические законы и правила преобразования логических выражений
Презентация содержит материал, который может быть использован при изучении темы «Законы логики. Преобразование логических выражений». Первые слайды содержат небольшой тест, который позволяет проконтро...
![](/sites/default/files/pictures/2017/01/19/picture-879937-1484776330.jpg)
Презентация 9 класс "Логические законы и правила преобразования логических выражений"
Логические законы и правила преобразования логических выражений.Формализация логических выражений, решение и разбор примеров на применение логических законов и правил...
![](/sites/default/files/pictures/2019/11/23/picture-1191852-1574527534.jpg)
Методическая разработка открытого урока по теме "Преобразование тригонометрических выражений", 2015 год
Методическая разработка прошла апробацию на открытом уроке в группе РЭС 15-1 (специальность 11.02.03 Эксплуатация оборудования радиосвязи и электрорадионавигации судов) при о...
![](/sites/default/files/pictures/2020/01/16/picture-1207708-1579202195.jpg)
Открытый урок по информатике на тему "Логические законы и правила преобразований логических выражений "
Соодержит презентацию, план урока, раздаточный материал для урока...