Методическая разработка "Алгебра логики"
методическая разработка по информатике и икт (8 класс)

Урок 1.  Тема урока: Законы алгебры логики.

Цели урока.

Предметные: формирование умений использовать законы алгебры логики.

Коммуникативные: развитие умений преодолевать трудности при решении логических задач;

Регулятивные: создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления.

Личностные: воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Тип урока: Новая тема.

Вид урока: комбинированный

Уровень изучения дисциплины: базовый

Время урока: 45 минут

Методы обучения: словесный, наглядный, практический

Форма обучения: коллективная

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания. Обсуждение трудностей, которые возникли при выполнении домашнего задания.

П. Законы алгебры логики. Теоретическая часть.

При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре логики производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы примерно так же, как это делается в обычной алгебре. В алгебре логики логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных логических формул.

II. Основные законы алгебры логики.

1. Закон двойного отрицания.

НЕ(НЕ(А)) = А. Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Например, высказывание А = «На улице солнечно» эквивалентно высказыванию А = «Неверно, что на улице не солнечно».

2. Закон исключенного третьего.

А ИЛИ НЕ(А) = 1 (А+НЕ(А)=1). В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо НЕ(А).

Примеры действия закона исключенного третьего:

1.    Число 556677 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.

2.    Дождь либо идет, либо нет.

3.    Золото - либо металл, либо не металл.

Рассмотрим следующее высказывание: «Это предложение ложно».

Оно не может быть истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего. Парадокс (греч. paradoxes - неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя.

Другим известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех. кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру? В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы.

3. Законы идемпотентности.

• A v A=A (идемпотентность сложения)
• A & A=A (идемпотентность умножения)

4. Законы де Моргана.

• НЕ(А ИЛИ В)=НЕ(А) И НЕ(В)  НЕ(А+В)=НЕ(А)*НЕ(В)
• A ИЛИ B=НЕ(НЕ(А) И НЕ(В))  A+B=НЕ(НЕ(А)*НЕ(В))
• НЕ(А И В)=НЕ(А) ИЛИ НЕ(В)  НЕ(А*В)=НЕ(А)+НЕ(В)
• A И B=НЕ(НЕ(А) ИЛИ НЕ(В))  A*B=НЕ(НЕ(А)+НЕ(В))

5. Свойства констант.

IV. Подведение итогов. Рефлексия.

V.  Домашнее задание.

1. Учить законы алгебры логики.

2. Самостоятельно дополнительно найти:

2.1. Закон коммутативности.

2.2. Закон ассоциативности.

2.3. Закон дистрибутивности.

Урок 2. Тема урока. Преобразование логических выражений.

Цели урока.

Предметные: формирование умений преобразования логических выражений с помощью логических законов и правил преобразования.

Коммуникативные: развитие умений преодолевать трудности при решении логических задач;

Регулятивные: создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

Личностные: воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Тип урока: новая тема

Вид урока: комбинированный

Уровень изучения дисциплины: базовый

Время урока: 45 минут

Методы обучения: словесный, наглядный, практический

Форма обучения: коллективный.

 Ход урока.

I. Проверка домашнего задания. Обсуждение трудностей, которые возникли при выполнении домашнего задания.

II. Теоретическая часть

Упрощение сложных высказываний - это замена их на равносильные на основе законов алгебры высказываний с целью получения высказываний более простой формы. Рассмотрим примеры упрощений.

III. Практическая часть

Коллективная работа

Задание 1.

Упростите выражение: А & В v A & НЕ (В).

По закону дистрибутивности вынесем А за скобки:

А & В v А & НЕ (В) = А & (В v НЕ(В)) = А & 1 = А.

Задание 2.

Упростите выражение: (A v В) & (A v HE (В)).

Применим закон дистрибутивности:

(A v В) & (A v НЕ (В)) = A v (В & НЕ (В)) = A v 0 = А.

Задание 3.

Упростите выражение: НЕ(НЕ(А) ИЛИ НЕ(В)).

Применим закон де Моргана:

НЕ(НЕ(А) ν НЕ(В))=НЕ(НЕ(А)) & НЕ(НЕ(В))=А & В

Самостоятельная работа.

Здание 1. 2 ученика работают у доски, остальные -  в тетрадях.

Упростите выражение:

НЕ (А) & НЕ (НЕ (В) v A) = НЕ (А) & В

Задание 2. 2 ученика работают у доски, остальные -  в тетрадях.

Упростите выражение:

(А v В & НЕ (С)) v ( А v В & С) v С v А = А v В v C

IV. Подведение итогов. Рефлексия.

V. Домашнее задание. Упростите логические выражения. Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических формул.

1. (А v В) & ( НЕ (В) v А) & (НЕ (С) v В)

2. А & (НЕ(A) v В);

3. A v (НЕ (А )& В);

4. (C v (A =>B)) v (A v C)

5. (B v A) & (НЕ (A) v А) & (НЕ (С) v В)

Урок 3. Решение задач на преобразование логических выражений.

Цели урока:

Предметные: закрепление умений преобразования логических выражений с помощью логических законов и правил преобразования.

Коммуникативные: совершенствование навыков преодолевать трудности при решении логических задач;

Регулятивные: развивать память, внимание, логическое мышление;

Личностные: воспитывать настойчивость для достижения конечных целей и результатов.

Тип урока: практическая работа

Вид урока: комбинированный

Уровень изучения дисциплины: базовый

Время урока: 45 минут

Методы обучения: практический

Форма обучения: индивидуальная.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания. Обсуждение трудностей, которые возникли при выполнении домашнего задания.

П. Самостоятельная работа.

2 ученика работают у доски, остальные -  в тетрадях.

Задание: Упростите выражения.

Ш. Рефлексия.

V. Домашнее задание

Задание: Упростите выражения.

Урок 4. Синтез логических выражений.

Цели урока.

Предметные: закрепление умений использовать законы алгебры логики.

Коммуникативные: развитие умений преодолевать трудности при решении логических задач;

Регулятивные: создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления.

Личностные: воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Тип урока: Новая тема.

Вид урока: комбинированный

Уровень изучения дисциплины: базовый

Время урока: 45 минут

Методы обучения: словесный, наглядный, практический

Форма обучения: коллективная

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания. Обсуждение трудностей, которые возникли при выполнении домашнего задания

II. Теоретическая часть

До этого момента мы считали, что логическое выражение уже задано и нам надо что-то с ним сделать (построить таблицу истинности, упростить и т. п.). Такие задачи называются задачами анализа (от греческого — разложение), в них требуется исследовать заданное выражение. При проектировании различных логических устройств, в том числе и устройств компьютеров, приходится решать обратную задачу — строить логическое выражение по готовой таблице истинности, которая описывает нужное правило обработки данных. Эта задача называется задачей синтеза (от греческого — совмещение).

III. Способы синтеза логических выражений.

1. В качестве простейшего примера построим логическое выражение, тождественное операции импликации F = А —> В, по её таблице истинности.

 Способ 1. В таблице истинности мы выделяем все строки, где логическое выражение равно единице. Тогда искомое выражение может быть записано как логическая сумма выражений, каждое из которых истинно только в одном случае.

Например, выражение (не (А) • не (B)) истинно только при А = 0 и В = 0, т. е. только в первой строке таблицы. Выражение (не (А) • В) истинно только во второй строке, а А • В — только в последней.

Существует простое правило: если в некоторой строке переменная равна нулю, она входит в произведение с отрицанием, а если равна 1, то без отрицания.

Складывая выражения для всех отмеченных строк (кроме третьей, где функция равна нулю), получаем: F = (не (А) • не (B)) + (не (А) • В) + А • В.

Упрощаем это выражение:

F = не(А) • (неB + В) + А • В = неА + А • В = (неА + А) • (неА + В) = неА + В.

Таким образом, мы вывели формулу, которая позволяет заменить импликацию через операции «НЕ» и «ИЛИ».

Способ 2. Если в таблице истинности нулей меньше, чем единиц, удобнее сначала найти формулу для обратного выражения, неF, а потом применить операцию «НЕ». В данном случае выражение равно нулю в единственной строке, при А = 1 и В =0,

только в этой строке неF = 1, поэтому, используя предыдущий способ, получаем неF = А • неВ. Теперь остаётся применить операцию «НЕ» и закон де Моргана:

F = не (А • неВ)  = неA + В.

2. Рассмотрим более сложный пример, когда выражение зависит от трёх переменных. В этом случае в таблице истинности будет 8 строк.

Отметим все строки, где F = 1, и для каждой из них построим выражение, истинное только для этой комбинации переменных. Теперь выполним логическое сложение:

F = неА • неB • неC + неА • неB • C + неА • B • неC + неА • B • C  + неА • B • C + А • B • C.

Упрощение этого выражения даёт:

F = неА • неB • (неC + С) + неА • В (неC + С) + А • С • (неB + В) = неА • неB + неА • B + А • С = неА • (неB + В) + А • С = неА + А • С = (неА + А) • (неА +С) = неА + С.

Используя второй способ, получаем:

неF = А • неB • (неC + А • В • неC = А • неC • (неB + В) = А • неC.

Тогда F = не(А • неC)  = неА + С.

В данном случае второй способ оказался проще, потому что в столбце F таблицы истинности меньше нулей, чем единиц.

Самостоятельная работа.

1. Найти логическую функцию F, зависящую от логических переменных А, В, С по заданной таблице истинности.

IV. Рефлексия.

V. Домашнее задание.

Постройте и упростите логические выражения, соответствующие приведенным таблицам истинности.

Список литературы

1. https://иванов-ам.рф/
2. https://kpolyakov.spb.ru/school/osnbook.htm 
3. Поляков К.Ю. Информатика. 10 класс (базовый и углубленный уровни): учебник. – М.Бином. Лаборатория знаний, 2020.
4. https://inf-ege.sdamgia.ru/