Методическая разработка "Системы счисления в информационном пространстве"
методическая разработка по информатике и икт (9 класс)

Слайд 1

Системы счисления Введение Двоичная система Восьмеричная система Шестнадцатеричная система

Слайд 2

Системы счисления Тема 1. Введение

Слайд 3

Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр . Числа: 123, 45678, 1010011, CXL Цифры : 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит…

Слайд 4

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. Сначала люди просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много».

Слайд 5

Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10.

Слайд 6

Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами .

Слайд 7

Для запоминания чисел использовались камешки, зерна, ракушки и т. д.

Слайд 8

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д. Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев

Слайд 9

Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились специальные обозначения для «пятерок», «десяток», «сотен» и т.д. Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.

Слайд 10

Непозиционные системы Унарная (единичная) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …). 10 - 11 тыс. лет до н. э. любое число образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.

Слайд 11

Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки Каждая единица изображалась отдельной палочкой Такими путами египтяне связывали коров Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам. 1 10 Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. 100 1000 Цветок лотоса Египетская нумерация Головастик 100000 1000000 10000000 Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное, так изображали самое большое свое число Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу 10000 Поднятый палец - будь внимателен

Слайд 12

Число 1 245 386 в древнеегипетской записи будет выглядеть 1 2 4 5 3 8 6

Слайд 13

Запись алфавитными символами могла делаться в любом порядке, так как число получалось как сумма значений отдельных букв. Например, записи –    все эквивалентны и означают число 532 . Однако выполнять арифметические вычисления в такой системе было настолько трудно, что без применения каких-то приспособлений оказалось обойтись практически невозможно 500 -  -  2 -    500 30 2    2 500 30    500 2 30 Древнегреческая нумерация 90

Слайд 14

В старину на Руси среди простого народа широко применялись следующие системы счисления. С их помощью сборщики податей заполняли квитанцию об уплате подати – ясака и делали записи в податной тетради. А чтобы не было никаких прибавлений, все знаки очерчивали кругом прямыми линиями. Пример,1232 рубля 24 копейки изображались так: - тысяча рублей, - сто рублей, - десять рублей, - один рубль, - десять копеек, - копейка. ! Ясачные грамоты

Слайд 15

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Римская система счисления

Слайд 16

Непозиционные системы Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь) X – 10 (две ладони) , L – 50, C – 100 ( Centum ) , D – 500 ( Demimille ) , M – 1000 ( Mille )

Слайд 17

Римская система счисления Правила : (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!) Примеры : MDC X L I V = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 2389 = M M C C C L X X X I X M M CCC LXXX IX = 1 644

Слайд 18

Примеры: 444 = 2986 = CMLXIII = CXLI =

Слайд 19

Римская система счисления Недостатки : для записи больших чисел ( >3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется : номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов

Слайд 20

Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система (арабская): первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры

Слайд 21

Десятичная система (арабская): Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10 Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел называют основанием системы счисления 3 7 8 2 1 0 разряды сотни десятки единицы 8 70 300 = 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 8 · 10 0 Другие позиционные системы: двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Слайд 22

Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная 10 2 8 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9А(10),В(11),С(12 ), D(13),Е(14),F(15) Позиционные системы счисления

Слайд 23

Развернутая форма числа Развернутой формой записи числа называется такая запись: а 4 а 3 а 2 а 1 а 0 = а 4 *q 4 + a 3 *q 3 + a 2 *q 2 + a 1 *q 1 + a 0 *q 0 , где а 4 ,а 3 ,а 2 ,а 1 ,а 0 –цифры числа, q –основание степени .

Слайд 24

Пример. Получить развернутую форму числа 75124 10 . Решение : а 4 = 7, а 3 = 5, а 2 =1 ,а 1 =2, а 0 =4, q=10 75 124 10 = 7*10 4 + 5*10 3 + 1*10 2 + 2*10 1 + 4*10 0 . Пример. Получить развернутую форму числа 112 3 . Решение: 112 3 = 1*3 2 + 1*3 1 +2*3 0

Слайд 25

Запишите в свернутой форме число: 9*10 1 +1*10 0 +5*10 -1 +3*10 -2 A *1 6 2 +1*1 6 1 + C *1 6 0 +3*1 6 - 1

Слайд 26

Приняв за основание число 2 , получаем двоичную систему счисления: 0, 1 Всего 2 разных знака составляют алфавит двоичной системы счисления. Можно записать любое число включая эти знаки: 1, 11, 101, 110, 10010011… - обратите внимание: используем только цифры от 0 до 1. 01

Слайд 27

Приняв за основание число 8 , получаем восьмеричную систему счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Всего 8 разных знаков составляют алфавит восьмеричной системы счисления Можно записать любое число включая все эти знаки:237, 145, 32, 12765… - обратите внимание: используем цифры от 0 до 7 01234567

Слайд 28

Приняв за основание число 16 , получаем шестнадцатеричную систему счисления. Здесь мы можем воспользоваться 10 знаками десятичной системы, добавив еще 6 знаков – буквы латинского алфавита (A, B, C, D, E, F) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 10 11 12 13 14 15 Всего 16 разных знаков составляют алфавит шестнадцатеричной системы счисления. Можно записать любое число включая все эти знаки: А37, 1В45, F 3 0 2, 1 A3C 5… - обратите внимание: используем знаки от 0 до F .

Слайд 29

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления 17 2 8 2 2 2 1 0 0 0 1 4 2 Пример : 17 10 Х 2 Ответ: 17 10 10001 2 Алгоритм перевода : 1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления (т.е. на р) до тех пор, пока получим неполное частное, меньше делителя; 2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного и все полученные остатки в обратном порядке.

Слайд 30

Перевод целых чисел 10  2 19 2 9 18 1 2 4 8 1 2 2 4 0 2 1 2 0 2 0 0 1 19 10 = 10011 2 система счисления

Слайд 31

Перевести 26 10 в двоичную систему счисления. А 10 →А 2 Перевести 19 10 в троичную систему счисления. А 10 →А 3 Перевести 241 10 в восьмеричную систему счисления. А 10 →А 8 Перевести 3627 10 в шестнадцатеричную систему счисления. А 10 →А 16

Слайд 32

Перевод дробных чисел 10  2 0,375 =  2 ,75 0 0 0,75  2 ,5 0 1 0,5  2 , 0 1 0,011 2 Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q : Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части на q до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность. Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).

Слайд 33

Перевести 0,5625 10 в двоичную систему счисления. А 10 →А 2 Перевести 0,5625 10 восьмеричную систему счисления. А 10 →А 8 Перевести 0,665 10 в двоичную систему счисления. А 10 →А 2

Слайд 34

Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую. Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Слайд 35

Перевести 26,25 10 в двоичную систему счисления. А 10 → А 2 Перевести 123,5625 10 в двоичную систему счисления. А 10 →А 8

Слайд 36

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную. Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления. Пример . Перевести число 110110 2 из двоичной системы счисления в десятичную. Решение: 5 4 3 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 = 1*2 5 + 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =32+16+4+2=54 10 Ответ: 110110 2 = 54 10

Слайд 37

1) Перевести число 101,01 2 из двоичной системы счисления в десятичную. 2) Перевести число 122100 3 из троичной системы счисления в десятичную. 3) Перевести число 163 7 из семеричной системы счисления в десятичную. 4) Перевести число 234,6 8 из восьмеричной системы в десятичную. 5) Перевести число 2Е 16 в десятичную систему счисления.

Слайд 38

Продолжи предложение Система счисления – это … Основание системы счисления – это … Системы счисления бывают … В троичной системе счисления основание равно … Позиционная система счисления отличается от непозиционной …

Слайд 39

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную X 8 X 2 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

Слайд 40

Перевод из восьмеричной в двоичную 8 10 2 трудоемко 2 действия 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных ( триада )! ! 1725 8 = 1 7 2 5 00 1 111 010 101 2 { { { {

Слайд 41

Перевод из двоичной системы в X 8 1001011101111 2 Шаг 1 . Разбить на триады, начиная справа: 00 1 001 011 101 111 2 Шаг 2 . Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 1 3 5 7 Ответ: 1001011101111 2 = 11357 8 00 1 001 011 101 111 2 1

Слайд 42

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную X 16 X 2 0 0 000 1 0 0 01 2 0 0 10 3 0 0 11 4 0 100 5 0 101 6 0 110 7 0 111 8 1000 9 1001 10 ( A ) 1010 11(B) 1011 12(C) 1100 13(D) 1101 14(E) 1110 15(F) 1111

Слайд 43

Перевод в двоичную систему 16 10 2 трудоемко 2 действия 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных ( тетрада )! ! 7 F1A 16 = 7 F 1 A 0 1 11 { { 1 1 11 0 001 1010 2 { {

Слайд 44

Перевод из двоичной системы в X 16 1001011101111 2 Шаг 1 . Разбить на тетрады, начиная справа: 000 1 0010 1110 1111 2 Шаг 2 . Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 000 1 0010 1110 1111 2 1 2 E F Ответ: 1001011101111 2 = 12 EF 16

Слайд 45

Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3 DEA 16 = 11 1101 1110 1010 2 16 10 8 2 Шаг 1 . Перевести в двоичную систему: Шаг 2 . Разбить на триады: Шаг 3 . Триада – одна восьмеричная цифра: 0 11 110 111 101 010 2 3 DEA 16 = 36752 8

Слайд 46

Примеры: A35 16 = 765 8 =

Слайд 47

Самостоятельная работа Вариант №1 58 10 =х 2 45 10 =х 16 10 10 =х 8 101100 2 =х 10 1001 2 =х 10 124 8 =х 10 1В 16 =х 10 10000101 2 =х 8 12С 16 =х 2 =х 8 Вариант №2 53 10 =х 2 47 10 =х 16 12 10 =х 8 100110 2 =х 10 1010 2 =х 10 126 8 =х 10 1С 16 =х 10 10000011 2 =х 8 12 D 16 =х 2 =х 8 Вариант №3 55 10 =х 2 43 10 =х 16 14 10 =х 8 100110 2 =х 10 1100 2 =х 10 128 8 =х 10 1Е 16 =х 10 10010001 2 =х 8 12 A 16 =х 2 =х 8

Слайд 48

Проверь себя Вариант №1 111010 2 D 12 44 9 84 27 205 100101100 454 Вариант №2 110101 2F 14 38 10 86 28 203 100101101 455 Вариант №3 110111 2 B 16 42 12 87 30 221 100101010 452

Слайд 49

Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= 1 0 2 1 + 1 + 1 = 1 1 2 0-0=0 1-1=0 1-0=1 1 0 2 -1=1 перенос заем 1 0 1 1 0 2 + 1 1 1 0 1 1 2 1  0 0  0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 1 2 – 1 1 0 1 1 2 0 2 1   0 10 2 1 0 0 1 1 10 2 0 1 0   

Слайд 50

Примеры: 111 2 + 10 2 11111 2 + 111 2 111,101 2 + 101,11 2 1001 2 + 1010 2

Слайд 51

Примеры: 1001 2 – 111 2 100101,01 2 – 111,111 2 110 2 – 11 2 100001 2 – 111 2

Слайд 52

Умножение 0 ∙ 0 = 0 0 ∙ 1 = 0 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1 Деление 1 : 1 = 1 0 : 1 = 0 110 2 * 11 2 ----- 110 + 110 ------ 10010 2

Слайд 53

Арифметические операции умножение деление 1 0 1 0 1 2  1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 + 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 1 2 – 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 – 1 1 1 2 0

Слайд 54

Примеры: 101 2 * 110 2 1011,01 2 * 111,11 2

Слайд 55

Пример1. Разделить число 101000101 2 на число 1101 2 . Пример2. Выполните деление с точностью до 3 знаков после запятой 1001 2 :11 2

Слайд 56

Арифметические операции сложение 1 5 6 8 + 6 6 2 8  1 6 + 2 = 8 = 8 + 0 5 + 6 + 1 = 1 2 = 8 + 4 1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0  1 в перенос 1 в перенос  0 8 0 4 1 в перенос

Слайд 57

Пример 6 3 4 8 + 2 7 5 8 3 0 5 , 4 8 + 2 4, 75 8

Слайд 58

Арифметические операции вычитание 4 5 6 8 – 2 7 7 8  ( 6 + 8 ) – 7 = 7 (5 – 1 + 8 ) – 7 = 5 (4 – 1 ) – 2 = 1  заем 7 8 1 5 заем

Слайд 59

Пример 6 3 4 8 - 2 7 5 8 3 0 5 , 4 8 - 2 4, 75 8

Слайд 60

Примеры 1 5 6 8 – 6 6 2 8 1 1 5 6 8 – 6 6 2 8

Слайд 61

Арифметические операции в восьмеричной системе счисления + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16

Слайд 62

Арифметические операции сложение A 5 B 16 + C 7 E 16  1 6 D 9 16 10 5 11 + 12 7 14 11+14=25= 16 +9 5+7+ 1 = 13 = D 16 10+12=22= 16 +6  1 в перенос 1 в перенос 13 9 6 1

Слайд 63

Пример: С В А 16 + A 5 9 16

Слайд 64

Арифметические операции вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 заем  1 D D 16 1 2 5 11 – 1 0 7 14  ( 11+ 16 ) – 14= 13 = D 16 (5 – 1 )+ 16 – 7= 13 = D 16 ( 12 – 1 ) – 10 = 1 заем 13 1 13

Слайд 65

Пример: 1 В А 16 – A 5 9 16