Задачи для подготовки к ЕГЭ по математике
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс) на тему

Слайд 1

1 ЗАДАЧИ для подготовки к ЕГЭ по математике (раздел С2) .

Слайд 2

Раздел 1. Угол между прямыми Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью Раздел 3. Угол между двумя плоскостями Раздел 4. Расстояние от точки до прямой СОДЕРЖАНИЕ Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми

Слайд 3

Раздел 1 Угол между прямыми 3 СОДЕРЖАНИЕ

Слайд 4

Решение: Рассмотрим ортогональную проекцию AD 1 прямой BD 1 на плоскость ADD 1 . AD 1  DA 1. По теореме о трех перпендикулярах следует, что DA 1  BD 1, т.е. искомый угол между прямыми DA 1 и BD 1 равен 90 0 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми DA 1 и BD 1 . А А 1 B B 1 C C 1 D D 1 1 1 Раздел 1. Угол между прямыми ЗАДАЧА 1

Слайд 5

Поэтому искомый угол - это угол ОС 1 В. Из  ОС 1 В по теореме косинусов, получаем, что (Т.к. ОВ=1, ВС 1 = 2, ОС 1 = 2) 5 В правильной шестиугольной призме A...F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Раздел 1. Угол между прямыми ЗАДАЧА 2 Решение: Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. ОС 1 ||АВ 1, так как четырехугольник АВ 1 С 1 О является параллелограммом. Ответ: 0,75

Слайд 6

В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1 . Решение №1. Так как основание призмы – правильный шестиугольник, то Так как призма прямая, то Поэтому т.е. есть проекция наклонной на плоскость Диагонали в квадрате перпендикулярны между собой. Задача 3 По теореме о трех перпендикулярах наклонная и прямая , перпендикулярны между собой, т.е. искомый угол равен 90 о . Ответ. 90°.

Слайд 7

7 Раздел 2 Угол между прямой и плоскостью СОДЕРЖАНИЕ

Слайд 8

Решение: DH - проекция наклонной DC на плоскость ABD AB = ∆ВСН – египетский, СН = 4. Из ∆ BDC, DC=8 ∆ DHC – прямоугольный sin CDH = . Дано: АВ CD – треугольная пирамида, ∆АВС – прямоугольный , C=90° , АС=6 , ВС =5, В D= В D (АВС) . D А В C H ( D С ; ( АВ D)) = = 30° С DH Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью ЗАДАЧА 1 Найти: ( D С ; ( АВ D)) 5

Слайд 9

30 ° 120 ° А B C D F K А 1 B 1 C 1 D 1 F 1 K 1 Дано: АВС DFKA 1 B 1 C 1 D 1 F 1 K 1 – правильная призма, АВ=4, AA 1 = АА 1 (АВС) Найти: (В 1 F; (BB 1 C 1 )) Решение: B1C проекция наклонной B 1 F на плоскость BB 1 C 1 C DM = 2, CF= ∆CB 1 C 1 – прямоугольный B 1 C = ∆ B 1 CF – прямоугольный В 1 F; (BB 1 C 1 ))= - 30° Т FB 1 C А B C D F K 9 Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью ЗАДАЧА 2 M 4 4

Слайд 10

А А 1 В В 1 С С 1 D D 1 Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - прямоугольный параллелепипед, АВС D – квадрат, AD = 2 ,5, диагональ B 1 D = 5 Найти: (В 1 D; ( АВ C)) Решение: (В 1 D; ( АВ C)) = В 1 DB 2,5 Дан прямоугольный параллелепипед АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 , в основании которого лежит квадрат со стороной 2,5. Диагональ DB 1 равна 5. Найдите градусную меру угла между диагональю D В 1 и плоскостью основания АВС. 5 ? BD = AB 2 + AD 2 = 2 • AD 2 = 2 • 2,5 2 = 2,5 2 B 1 DB : B 1 В D = 9 0° гипотенуза B 1 D = 5 2,5 2 5 2 2 = COS В 1 DB BD B 1 D = = B 1 D В = 45 ° (В 1 D; ( АВ C)) = 45 ° Ответ: 45 ° ABD : Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью ЗАДАЧА 3

Слайд 11

Найти: (В 1 D; (DD 1 C 1 )) Решение: DH- проекция наклонной B1D на плоскость DCC1D1 (В 1 D; (DD 1 C 1 ))= - искомый А А 1 В В 1 С С 1 D D 1 H Т  B 1 DH Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью ЗАДАЧА 4 Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - параллелепипед, АВС D – параллелограмм, АА 1 (АВС) .

Слайд 12

12 Раздел 3 Угол между двумя плоскостями СОДЕРЖАНИЕ

Слайд 13

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C 1 . D 1 О ⊥ AC Решение. Ответ: O А А 1 B B 1 C C 1 D D 1 6 6 4 AD1 =D1C ,   ACD1 – равнобедренный плоскость A 1 B 1 C 1  пл. АBC АВС D – квадрат, DО ⊥ AC .  D 1 ОD — линейный угол искомого угла.  D 1 DО – прямоугольный  Раздел 3. Угол между двумя плоскостями ЗАДАЧА 1

Слайд 14

Решение D1C ⊥ пл. А B1C1D . D1С⊥C1D как диагонали квадрата По теореме о трех перпендикулярах D1С⊥AD  D1C ⊥ пл. АВ1С1. AD1 ⊥ пл. А1В1С. 14 Раздел 3. Угол между двумя плоскостями ЗАДАЧА 2 Дан куб АВСDA1B1C1D1. найдите угол между плоскостями АВ1С1 и А1В1С Поэтому D1C AD1= 60  Ответ: 60   AD1C - правильный, так как его сторонами являются диагонали граней куба

Слайд 15

АКЕ - искомый. По теореме Пифагора из  ADE  AE=10 Из прямоугольного  АКЕ. КЕ=5. Тогда tg∠АКЕ= 15 Раздел 3. Угол между двумя плоскостями ЗАДАЧА 3 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: АА1= 5, АВ = 12, AD = 8. Найдите тангенс угла между плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК, если К — середина ребра C1D1. Решение (ABC) (AKE) равен линейному углу между перпендикулярными им прямыми. КЕ||DD1, КЕ ⊥ ( ABC) Для второй плоскости такой прямой является АК. 5 12 8

Слайд 16

16 Раздел 4 Расстояние от точки до прямой СОДЕРЖАНИЕ

Слайд 17

К В А С М О Дано: АВС – правильный треугольник, АС=12 3 , т.О – центр АВС, ОМ  (АВС), (АМ ; ( АВС )) =6 0° Найти: АМ 6 0° 12 3 Решение: ЗАДАЧА 1 Раздел 4. Расстояние от точки до прямой AOM- прямоугольный MAO = 60   AMO = 30  AM = 2 AO Ответ: 24.

Слайд 18

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD 1 . Решение. Ответ: 1 А А 1 B B 1 C C 1 D D 1 1 1 BD1  ( A 1 D 1 С В ) СМ  BD1 М В прямоугольном  D 1 CB: D 1 B= , D 1 C= В прямоугольном  CMB: 18 ЗАДАЧА 2 Раздел 4. Расстояние от точки до прямой

Слайд 19

19 Раздел 5 Расстояние от точки до плоскости СОДЕРЖАНИЕ

Слайд 20

В правильном тетраэдре DABC н айдите расстояние от вершины D до плоскости ABC . Ответ: Решение. BE=CE. Искомое расстояние равно высоте DH треугольника ADE , для которого DE = HE = . Следовательно, DH = ЗАДАЧА 1 Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости

Слайд 21

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SCE . Ответ: Решение. Точка G пересечение AD и CE . Искомое расстояние равно высоте AH  SAG  SA = 2, SG = , AG = , SO = Откуда AH = 21 ЗАДАЧА 2 Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости

Слайд 22

22 Раздел 6 Расстояние между двумя прямыми СОДЕРЖАНИЕ

Слайд 23

Пусть АС и DC 1 – скрещивающиеся прямые, принадлежащие смежным граням АВС D и DD 1 C 1 C соответственно. Найдём расстояние между ними. 23 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D ЗАДАЧА 1 Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми

Слайд 24

A 1 B 1 C 1 D 1 A C D B A 1 B 1 C 1 D 1 A C D B Дополнительное построение: АВ 1 , СВ 1 и D В 1 . Но ( DD 1 С 1 )║(АА 1 В 1 ),т.к. дан куб D С 1 ∈ ( DD 1 С 1 ) D С 1 ║АВ 1 АВ 1 ∈ (АА 1 В 1 ), В результате дополнительных построений получли пирамиду DAB 1 C . В пирамиде DAB 1 C , высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB 1 C будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми АС и DC 1 . Доказательство: 24 ЗАДАЧА 1 (продолжение) Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми

Слайд 25

Высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB 1 C , перпендикулярна плоскости этого основания. Значит, она перпендикулярна любой прямой принадлежащей этой плоскости (по определению). Но АС ∈ ( AB 1 C ) AB 1 ∈ ( AB 1 C ) h | AB 1 h | ( AB 1 C ) h | АС Но, с другой стороны АВ 1 ║ D С 1 h | AB 1 Значит, h | D С 1 . Имеем: h | D С 1 h | АС Следовательно , h – общий перпендикуляр для скрещивающихся прямых АС и D С 1 . Что и требовалось доказать. Найдём эту высоту. A 1 D 1 B B 1 C 1 A C D ЗАДАЧА 1 (продолжение) Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми

Слайд 26

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Рассмотрим пирамиду B 1 А CD : V 1 = ⅓ ·h · S АС D . h = B 1 В = а S АС D = ½· С D· А D = ½· а 2 Вывод: V 1 = ⅓·½· а 3 а а а ЗАДАЧА 1 (продолжение) Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми

Слайд 27

Учитывая, что V 1 = V 2 , получим d= - искомое расстояние . 27 А 1 А В D C B 1 C 1 D 1 ЗАДАЧА 1 (продолжение) Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми Рассмотрим эту же пирамиду, но уже с вершиной в точке D :

Слайд 28

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 . Ответ: Решение : О- центр описанной окружности. ОВ=ОС=ВС=1 ОН  А D, ОН  BC . ОН – высота равнобедренного  ОВС. ОН - и скомое расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1 . О Н ЗАДАЧА 2 Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми

Слайд 29

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BC 1 . Ответ: Решение. Искомое р асстояние равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1 . Диагональ A 1 C перпендикулярна этим плоскостям и делится в точках пересечения на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно 29 ЗАДАЧА 3 Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми