РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ.
методическая разработка по математике на тему

Методическая разработка.

РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ.

        : Учитель математики

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.                                                                                                  3 стр.

 I. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ.                                   4 стр.

а) Нахождение процентов данного числа.

б) Нахождение числа по его процентам.

в) Нахождение процентного отношения чисел.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.                                                               6 стр.

II. ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КАЖДЫЙ ДЕНЬ.                               7 стр.

а) Задачи на применение базовых понятий экономики.

б) Задачи, связанные с банковскими расчетами.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.                                                              10 стр.

 III. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ.                                                       12 стр.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.                                                              15 стр.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.                                                                                             16 стр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.                                                                            17 стр.

ВВЕДЕНИЕ.

 Проценты - математическое понятие, с которым мы постоянно сталкиваемся в повседневной жизни. Так в рекламных роликах нам предлагают воспользоваться услугами какого-либо банка, так как процентная ставка по вкладам в нем самая высокая. Нас информируют,  каков уровень инфляции или сколько процентов избирателей проголосовало. Каждому человеку необходимо умение решать задачи на проценты. Впервые понятие – проценты, в школьном курсе, вводится в пятом классе, и потом задачи решаются на протяжении всего курса математики 5-9. В 10,11 классе к задачам на проценты  возвращаются при подготовке к ЕГЭ.

Цель данной методической разработки  рассмотреть основные типы задач на проценты  и методы их решения.

1. Основные типы задач на проценты.

а).Нахождение процентов данного числа.

Процентом называется сотая часть  какого-либо числа.     Чтобы найти  а% от в, надо  в .0,01а.

Пример 1. 30% от числа 60 составляет: 60 . 0,3= 18.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

        Ответ: 18.

Пример 2. Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько %  увеличится площадь  квадрата?

Решение:  Пусть а сторона квадрата, тогда 1,2а увеличенная сторона квадрата, значит, площадь первоначальная а2, а новая площадь 1,44а2, т.о. площадь увеличилась на 0,44а2, т.е. на 44%.

        Ответ: на 44%.

Пример 3. Произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70% от произведения. Найти эти числа.

 Решение: Пусть числа х и у, их произведение ху или 10, а сумма х+у или 10. 0,7=7.

Составим систему:

Решением системы будет пара 2; 5. Это и есть искомые числа.

        Ответ: 2 и 5.

б). Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что а% числа х равно в, то х=в:0,01а.

Пример 1. 3% числа х составляют 150. Найти число х.

     х=150: 0,03;

     х= 5000.

Ответ: 5000.

Пример 2. Определить какую массу сырого картофеля нужно взять для получения 120 кг полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20% массы сырья.

Решение:  1) 100- 20 = 80(%) - полуфабриката получится после холодной обработки сырья.

2) 120: 0,8= 150(кг)- сырого картофеля нужно взять.

Ответ: 150 кг.

Пример 3. Ученик прочитал в первый день 15% книги, что составило 60 страниц, во второй день он прочитал 200 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?

Решение:  1) 60: 0,15=400(стр.) – в книге всего.

2) 400-200-60=140 (стр.) – осталось прочитать.

Ответ: 140 страниц.

в) Нахождение процентного отношения чисел.

 Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%:

.

Пример 1. Сколько процентов составляет 140 от 560?        

 Решение: = 25%

 Ответ:  25%.

Пример 2. Месячный проездной билет для студентов стоит 150 рублей. Сколько процентов от стипендии составляет цена проездного билета, если стипендия – 600 рублей?

 Решение:  

Пример 3. На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?

 Решение: Пусть на р% надо увеличить число 90.

        120 = 90+ 90 0,01 р,

                   120 = 90 (1+ 0,01 р,)

   (1+ 0,01р) = ,

0,01 р=,

р  =  

  Итак,  на    надо увеличить число 90, чтобы получить 120.

 Ответ: на   .

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.

      1.   Выразить в виде дроби: а) 5%, б) 20%, в) 72%,  г)100%, д) 250%, е) 7,5%,     ж) 0,75% .

2.Выразить данные дроби в виде числа процентов: а)0,5, б) 2,15, в) 0,007, г) 0,025.

3. Найти процентное отношение чисел: а) 1 к 4, б) 3 к 5, в)5 к 2, г 3,2 к 1,28.

4. Найти: а) 4% от 75, б) 15% от 84 кг, в) 18% от 330 м, 160% от 82р.25к.

5. Найти число, если: а) 40% его равны 12, б) 1,25% его равны 55, в) 15% его равны 1р.35к., д)16% его равны 2ч.30 мин
6. На сколько увеличится объем куба , если его ребро увеличить на 10%?(33,1%).
7. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, что бы его площадь  не изменилась?(25%).
8. Завод выпускает 300 изделий в месяц. В связи с модернизацией производства завод стал выпускать на 20 % изделий в месяц больше. На сколько изделий в месяц увеличился выпуск продукции? (60 изделий).
9. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10% , а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 10 %, а затем уменьшили на 10 %. В какой бочке стало больше воды? ( воды в бочках осталось поровну).
10.  В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших во втором полугодии свою успеваемость, заключен в пределах от 2,9% до 3,1%. Определить минимально возможное число учеников в таком классе. (33 ученика).

II. ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ  КАЖДЫЙ ДЕНЬ.

а)Задачи на применение базовых понятий экономики (скидки, распродажа, тариф, штрафы, пеня).

Пример 1. (распродажа)  Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 руб. за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

 Решение:   1) 213. 0,19 = 40,47 (руб.) – на столько дешевле станет коробка красок.

        2) 40,47. 150 =6070,5 (руб.) – составит экономия.

           6070,5 (руб.) 6000 (руб.)

Ответ: примерно 6000 рублей.

Пример 2.( закупочная цена, прибыль)  Магазин выставил на продажу товар с наценкой 40% от закупочной цены. После продажи  0,75 всего товара магазин снизил назначенную цену на 80% и распродал оставшийся товар. Сколько процентов от закупочной цены товара составила прибыль магазина?

Решение:  Пусть х руб. закупочная цена товара. Магазин продавал товар по цене 1,4х руб. и  выручил от продажи 0,75 всего товара и получил  0,75 . 1,4 х =1,05 х (руб.). Затем снизил цену на  80% и распродал оставшиеся 0,25 товара.  1,4 х . 0,2= 0,28 х  (руб.) – новая цена. 0,28 х  . 0,25 = 0,07 х (руб.) – получил магазин от распродажи остатка товара. Всего магазин получил 1,05 х + 0,07 х = 1,12 х (руб.). Т.о. прибыль составила 0,12 закупочной цены т.е. 12 %.

Ответ: 12%.

Пример 3.(бюджет, зарплата) При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 15000 рублей. Какую сумму рабочий получит после удержания налога на доходы физических лиц, если у него на иждивении два ребенка?

Решение:  1) ( 15000-400-600) 0,13=1820 ( руб.) – налог.

        2) 15000-1820= 13180(руб.)

Ответ: 13180рублей.

Пример 4. (тарифы) По сообщениям СМИ с 15 мая согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 4руб.40коп. вместо 3руб. 85коп. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 11,5 %?

 Решение: 1) 4,40-3,85 = 0,55( руб. ) – разность тарифов.

        2) 0.55:3,85 . 100%- рост цен на услуги почтовой связи превысит рост цен на товары.

Ответ: не соответствует.

Пример 5. (штрафы и пени) Занятия ребенка в танцевальном кружке родители  оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 300руб. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 2% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение: 2% от 300 руб. составляют 6 руб. Если родители просрочат плату на неделю, им придется заплатить 300 + 6. 7= 342 (руб.)

 Ответ: 324 рубля.

б) Задачи, связанные с банковскими расчетами.

Рассмотрим схемы расчета банка с  вкладчиками. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

Увеличение вклада а по схеме простых процентов в течении всего срока хранения определяются  исходя только из первоначальной суммы вклада а независимо от срока хранения и количества начисления процентов. В  этом случае говорят о начислении простых процентов и применяется формула простых процентов:

        в= а(1+ 0,01рп),

        где  а – первоначальный вклад,

        в- сумма по прошествии п лет на вкладе по формуле простого процента,

        р- годовая процентная ставка.

Пример 1. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000руб. Какая сумма будет на его счете через 5 лет?

Решение: Используя формулу: в= а(1+ 0,01рп),

         в = 200000(1+0,08 . 5) = 280000(руб.)

 Ответ: 280000рублей.

 В банковском деле есть понятие – капитализация вклада, т.е. вычисление процентов на каждом следующем шаге исходя от величины, полученной на предыдущем шаге. Т.е., вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов и она присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк уже начисляет р% на новую увеличенную сумму. В этом случае говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты) и применяется формула сложных процентов:

        в=а(1+0,01р)n,

где а- первоначальное значение величины;

 в- новое значение величины;

р- количество процентов;

n-количество промежутков времени(количество увеличений)

Пример 2. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10 % годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000рублей, который не пополнялся, и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение: 1)  50000(1+0,1)3 = 66550 (рублей)- составит сумма вклада по истечении срока.

2. 66550- 50000=16550 (рублей)- доход по истечении срока.

Ответ: 16550 рублей.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.

1.Вкладчик положил в банк некоторую сумму. После начисления процентов он изъял 20 % исходной суммы, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1 % меньше исходного вклада. Каков процент по вкладу?

2. Вкладчик положил в банк деньги под 10%. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1% меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?

3. В банк помещен вклад в размере 3900рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725 %. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу? (210 рублей).

4. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором? (4,04 %).

5.После двух повышений зарплата увеличилась в 1,43 раза. При этом число процентов, на которое зарплата повысилась во второй раз, было в 3 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов повысилась зарплата во второй раз?

6. Магазин выставил на продажу товар с некоторой наценкой, составляющей несколько процентов от закупочной цены. После продажи 0,9 всего товара магазин снизил назначенную цену на 40% и распродал оставшийся товар. В результате прибыль магазина составила 20% от закупочной цены. Сколько процентов от закупочной цены составляла первоначальная наценка магазина?

7. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 25% больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 15%, а ботинки – на 40%. Во сколько раз два года назад лыжи были дороже ботинок?

 8. На рынке костюм, состоящий из пиджака и брюк, стоит на 29% дешевле, чем такой же костюм в магазине, причем брюки стоят на 35% дешевле, чем в магазине, а пиджак - на 10%. Сколько процентов стоимости этого костюма в магазине составляет стоимость пиджака?

 3. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ.

  При решении задач на концентрацию (смеси, сплавы, растворы) применяются следующие допущения:

а) Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»: если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав), то выполняются следующие равенства:

                V = V1 + V2 – сохраняется объем;

                                               M = m1 + m2 – сохраняется масса.

б) Данный закон выполняется и для отдельных частей (компонентов) раствора (сплава).

в) При соединении растворов(сплавов) не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.

      Говоря о сплавах, растворах, смесях будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида  (твердая, жидкая, газообразная сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Доля чистого вещества в смеси равна отношению количества чистого вещества в смеси к общему количеству смеси. Складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя. Процентным содержанием чистого вещества в смеси называют его долю выраженную в процентах.

Пример 1. Сколько г воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?

Решение: Пусть х г - количество воды, которое надо добавить. Новое количество раствора- (50+х) г. Количество соли в исходном растворе 50 . 0,08 г. Количество соли в новом растворе составляет  5% от (50+х)г, т.е.  0,05. (50+х)г.

Т.к. количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Получаем уравнение:

         0,05. (50+х) = 50 . 0,08,

        50+х = 80,

                       х = 30.

  Итак, нужно добавить 30 г воды.

 Ответ: 30 г.

Пример 2. Имеются два раствора серной кислоты в воде, первый – 40 %,  второй – 60 %.

Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды   и получили 20 % раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80 % раствора, то получился бы 70% раствор. Сколько было 40 % и 60 % растворов?

Решение:

Получается система уравнений с двумя неизвестными:

Итак, получили, что 40 % раствора было 1 кг, а 60 % раствора – 2 кг.

Ответ: 1кг, 2 кг.

Пример 3. Имеется три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди, второй _ 10% меди и 90% марганца, третий – 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее количество меди может быть в этом новом сплаве?

Решение: Пусть x,y иz –  процентное содержание соответственно первого, второго и третьего сплавов в новом сплаве. Тогда x+y +z=100 и согласно условию, 0,3х+0,15 z; 0,9у+0,6 z и 0,7х+0,1у+0,25 z – процентное содержание соответственно никеля марганца и меди в новом сплаве. Значит, условие задачи можно сформулировать следующим образом: «Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать выражение 0,7х+0,1у+0,25 z при условии, что 0,9у+0,6 z=40  и x+y +z=100 ?»   Пусть 0,7х+0,1у+0,25 z= t,     тогда 14х=20t-2у-5 z.

 Имеем: <=>     <=>  <=>

Из первого уравнения системы следует, что наименьшее возможное значение t

Достигается при  у=0 и равно 40. При этом z= 66, а х=33. С другой стороны, t максимально, когда максимально у. Но из второго уравнения системы вытекает, что у принимает наибольшее значение при  z=0 и у= 44.  При этом t=43 и х=55

Ответ:  40% и 43%.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.

 1. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие_20%. Сколько сухих     фруктов получится из 20 кг свежих фруктов?

2.  Если при смешивании первого раствора с концентрацией 40% и второго раствора с концентрацией 48% полечился раствор с концентрацией 42%, то как относится количество первого раствора к количеству второго раствора?

3. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе массой 500 кг, содержащей 70% меди, добавили некоторое количество меди и получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определите, сколько кг меди было добавлено.
4. Для изготовления лекарства потребовался 76%-ый спирт. Провизор налил в колбу 220г имеющегося у него 95%-го спирта. Затем он отлил из колбы некоторое количество этого спирта и добавил в нее столько же воды, чтобы получить 76%-ый спирт. Определить, сколько граммов воды добавил провизор.
5. В сплаве меди и серебра содержится меди на 27 кг меньше, чем серебра. Если к этому сплаву добавить 1кг серебра, то получим новый сплав, содержащий 85% серебра. Сколько кг серебра в новом сплаве?
6. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди и 25% магния; второй – 30% меди и 70 % магния; третий – 45% алюминия и 55% магния. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание алюминия может быть в этом сплаве?
7. Сплавляя два одинаковых по весу куска чугуна с разным содержанием хрома, получили сплав, в котором12 кг хрома. Если бы первый кусок был в два раза тяжелее, то в сплаве содержалось бы 16 кг хрома. Известно, что содержание хрома в первом куске на 5% меньше, чем во втором. Найти процентное содержание хрома в каждом из кусков.
8. Морская соль содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?.
9. Сколько кг воды надо выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием75% воды?
10.  Имеются два сосуда с раствором поваренной соли: в первом сосуде – 3 кг 10%-го раствора, а во втором- 2  кг8%-го раствора. Из первого сосуда выпаривают некоторое количество воды, а затем все содержимое второго сосуда переливают в первый. Какое количество воды нужно выпарить, чтобы после переливания в первом сосуде получился r %-ный раствор? Найти все r, при которых задача имеет решение.(5r –46)/r; 9,220).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

     Имея разнообразные по сложности и содержанию задачи можно предлагать ученикам дифференцированные задания. Наиболее сложные задания целесообразно вынести для рассмотрения на факультативных занятиях или на занятия спецкурса по подготовке к экзаменам. Выполнение всех заданий из ДИДАКТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА не обязательно  для всех учеников, так как есть довольно–таки сложные задания их можно рассмотреть на спецкурсах при подготовке к ЕГЭ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Егерев В. К.,  и др. под редакцией Сканави М. И. Сборник задач для поступающих во ВТУЗЫ. Москва: Высш. шк.,1990.
2. ЕГЭ-2003  МАТЕМАТИКА.  Экзаменационные  материалы  для  подготовки  к  единому  государственному  экзамену. М.:   ФГУ «Федеральный центр тестирования».
3. ЕГЭ-2004  МАТЕМАТИКА.  Экзаменационные  материалы  для  подготовки  к  единому  государственному  экзамену. М.:   ФГУ «Федеральный центр тестирования».
4. ЕГЭ-2005  МАТЕМАТИКА.  Экзаменационные  материалы  для  подготовки  к  единому  государственному  экзамену. М.:   ФГУ «Федеральный центр тестирования».
5. Корешков Т, А. и др. Математика. Типовые тестовые задания. М.: «Экзамен», 2005.
6. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М.: «Просвещение»,1990.
7. Садовничий Ю.В.  Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями.  М.: УНЦ ДО, 2004.
8. Студенецкая В. Н. Математика 8-9 классы. Сборник элективных курсов. Волгоград: «Учитель», 2007.
9. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. М.: МЦНМО, 1998.