Олимпиады по математике
олимпиадные задания по математике по теме

Задания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике

5 класс

2017 – 2018 г.

Вариант 1

      1. На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки?

      2. Квадрат состоит из 9 равных квадратов. Сколько всего квадратов?

3. Три одинаковых арбуза надо разделить поровну между 4 детьми. Как это сделать, выполнив наименьшее число разрезов?
4. Из города в деревню, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Из деревни в город одновременно с ним вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Кто из них будет дальше от города через 2 ч?

      5. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов.  Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

Вариант 2.

1. Запишите все натуральные числа, делящиеся на 2, лежащие на числовом луче между числами 1992 и 2007.
2. Разрежьте прямоугольник на 3 треугольника так, чтобы среди полученных треугольников лишь 1 был прямоугольный.
3. Как с помощью 7-литрового ведра и 3-литровой банки налить в кастрюлю ровно 5 литров воды?
4. Старший брат идет от дома до школы 30 мин, а младший – 40 мин. Через сколько минут старший брат догонит младшего, если тот вышел на 5 минут раньше?

      5. Коля заплатил 115 руб за четыре тетради, два карандаша и резинку, Саша – 140 руб за две тетради, семь карандашей и две резинки. Сколько заплатил Антон за две тетради, три карандаша и резинку? Объясните, как вы получили ответ.

Задания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике

6 класс

2017 – 2018 г.

1. У Пети есть картонная фигура, показанная на рисунке. Как ему разрезать эту фигуру по линиям клеток на четыре равные фигуры (то есть такие фигуры, из которых любые две можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали)?

2. Расставьте скобки и знаки арифметических операций так, чтобы

получились верные равенства:

5 5 5 5 5 = 1

5 5 5 5 5  = 2

5 5 5 5 5 = 3.

3. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2кг 400г. Сколько весит гусёнок?

4. Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за 0,5 секунды.
Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой.
Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров

5. Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее: 

• Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором. 

• Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника. 

• Стрелок хочет пригласить в гости Атоса. 

• Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией. 

Кто чем занимается?

Задания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике

7 класс

2017 – 2018 г.

1. Расставьте в записи  4 ⦁ 12 + 18 : 6 + 3  скобки так,  чтобы получилось  наименьшее возможное число.

2. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки

переложили во  вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое

больше тетрадей, чем во  второй.   Сколько тетрадей было в каждой

пачке?

3. Как от куска материи    метра отрезать полметра, не имея    

 под рукой метра?

4. Сумма двух чисел равна 180.  Частное от деления большего

числа на меньшее  равно 5.  Найти эти числа.

5. Морская вода содержит  5% соли (по весу).  Сколько  

килограммов пресной  воды нужно прибавить к 40 кг морской воды,

чтобы содержание соли в смеси  составляло 2% ?

Задания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике

8 класс

2017 – 2018 г.

1. У Васи в кошельке лежало немного денег. Вася положил в кошелек еще 49 рублей, и сумма денег в кошельке увеличилась в 99 раз. Сколь денег стало у Васи в кошельке?

2. Имеется 30 бревен длинами 3 и 4 м, суммарная длина которых равна 100 м. Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длиной 1 м? (Каждым распилом пилится ровно одно бревно.)

3. Число a таково, что прямые y = ax + 1, y = x + a и y = 3 различны и пересекаются в одной точке. Каким может быть a?

4. В треугольнике ABC проведена медиана AD. Найдите углы треугольника ABC, если ∠ADC = 120°, ∠DAB = 60°.

5. На смотре войска Острова лжецов и рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге – лжецы». (Воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге – лжец».) Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 2005 воинов?

Задания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике

9 класс

2017 – 2018 г.

1.Найдите значение выражения     .

2.Ужасный вирус  пожирает память компьютера. За первую секунду он управился с половиной памяти. За вторую секунду – с одной третью оставшейся части, за третью секунду с одной четвертью того, что ещё сохранилось, за четвёртую – с одной пятой остатка. Тут его настиг могучий Антивирус. Какая часть памяти уцелела?

3. Найдите корни многочлена     2х5 + х4 – 10х3 – 5х2 + 8х + 4.

4. Постройте график функции        и найдите все значения  а, при которых прямая  у = а  не имеет с графиком данной функции общих точек.

5. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Задания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике

10 класс

2017 – 2018 г.

1. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?
2. Число a является корнем уравнения x2 – x– 100 = 0.

Найдите значение a4 – 201a.

3. Решите в целых числах уравнение x²-3xy+2y²=7.  

4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка P – точка пересечения диагоналей, точки K, L, M и N – соответственно, центры описанных окружностей треугольников AOP, BOP, COP и DOP. Доказать, что KL = MN.

5.  На доске через запятую выписаны числа 1, 2, 3, … 99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак «+» или «×» (умножить). После того как запятых не останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечётным числом, то выигрывает первый, а если чётным – второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Задания

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике

11 класс

2017 – 2018 г.

1. Сколько различных корней на отрезке  имеет уравнение

2. Докажите, что:.
3. Лиса Алиса и кот Базилио украли у Буратино чемодан. Замок на чемодане должен открыться, если три колёсика на нём (каждое из которых может занимать одну из восьми допустимых позиций) установлены в определённой комбинации. Однако, в силу ветхости механизма, чемодан откроется, если любые два колёсика из трёх поставлены в правильное положение. Базилио утверждает, что сможет открыть чемодан не более чем за 32 попытки. Прав ли он? (Попыткой называется установка какой-либо комбинации колёсиков)
4. Внутри треугольника АВС, в котором ∠С = 70°, ∠В = 80° взята точка М так, что ∆ СМВ – равносторонний. Найдите ∠МАВ и ∠МАС.
5. Решить в целых числах уравнение: .