Методические указания к практическим занятиям по учебной дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики» Специальность 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование»
методическая разработка по математике на тему

Департамент образования ЯНАО

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Ямало-Ненецкого автономного округа

«Ямальский многопрофильный колледж»

 СЕРИЯ

«Для студентов и преподавателей»

Методические указания

 к практическим занятиям по учебной дисциплине

«ЕН.01 Элементы высшей математики»

Специальность  09.02.06 «Сетевое и системное администрирование»

Салехард, 2017

Методические указания к практическим работам по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики» предназначены для студентов специальности 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование».

Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении практических работ по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики». Настоящие  методические указания содержат практические работы, которые позволят студентам закрепить теорию по наиболее сложным разделам курса, и направлены на формирование профессиональных компетенций.

Составитель: Атавова Р.Ш., преподаватель ГБПОУ ЯНАО «ЯМК»

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания к практическим работам по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики» предназначены для студентов специальности 09.02.06 Сетевое и системное администрирование.

Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении практических работ по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики».

1.2. Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы: ЕН.00. Математический и общий естественнонаучный цикл, обязательная часть ОПОП.

1.3. Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

В результате освоения дисциплины студент должен уметь:

- выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений,

- определять предел последовательности, предел функции,

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления,

- использовать методы дифференцирования и интегрирования для решения практических задач,

- решать дифференциальные уравнения,

- пользоваться понятиями теории комплексных чисел.

В результате освоения дисциплины студент должен знать:

- основные численные методы решения прикладных задач,

- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии,

- основы дифференциального и интегрального исчисления,

- основы теории комплексных чисел.

1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальной учебной нагрузки студента 72 часа, в том числе:

обязательной аудиторной учебной нагрузки студента 72 часа;

из них практических работ 28 часов.

Правила выполнения практических работ:

1. Студент должен выполнить практическую работу самостоятельно или в группе, если это предусмотрено заданием.
2. Каждый студент, после выполнения работы, должен предоставить отчёт о проделанной работе с анализом полученных результатов и выводом по работе в рабочей тетради.
3. Содержание отчёта указано в описании практической работы.
4. Таблицы и рисунки следует выполнять с помощью чертёжных инструментов (линейки, циркуля и т.д.) карандашом с соблюдением ЕСКД.
5. Если студент не выполнил практическую работу или часть работы, то он может выполнить работу или оставшуюся часть во внеурочное время, согласованное преподавателем.
6. Оценку по практической работе студент получает, с учётом срока выполнения работы, если:  

• работа выполнена правильно и в полном объёме;
• сделан анализ проделанной работы и выводы по результатам работы;
• студент может пояснить выполнение любого этапа работы;
• отчёт выполнен в соответствии с требованиями к выполнению работы.

7. Зачёт по практическим работам студент получает при условии выполнения всех предусмотренных программой работ, после сдачи отчетов по работам при удовлетворительных оценках за опросы и контрольные вопросы во время практических занятий.

ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Практическое занятие №1

ТЕМА: Предел последовательности, предел функции.

Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению пределов элементарных функций.

1. Основной теоретический материал

Основные теоремы о пределах

Пусть f(x) и ϕ(x) – функции, для которых существуют пределы при x→ (x→∞):

Сформулируем основные теоремы о пределах:

1. Функция не может иметь более одного предела.
2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, т.е.

 ,

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения. Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда х→∞, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.

Пример 1: Вычислить предел  

Решение: Сначала мы смотрим на числитель и находим х в старшей степени. Старшая степень в числителе равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим х в старшей степени. Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.

  =  = (Разделим числитель и знаменатель на х2) =  =   =  = .         Ответ:  .

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения. Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 2: Решить предел:  

Решение: Сначала попробуем подставить -1 в дробь:. В данном случае получена так называемая неопределенность . Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для её раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Итак, решаем наш предел   =  

Разложим числитель на множители:

2х2 – 3х – 5 = 0

D = (– 3)2 – 4·2· (– 5) = 9+40=49 (Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка)

 =  = 7
x1 = =  = – 1. х2 =  =  =
2х2 – 3х – 5 =2 (х + 1) (х– ) = (х + 1) (х– 5)
 =  = (2x – 5) = – 2 – 5 = – 7.         Ответ: – 7.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 3: Найти предел  

Решение: Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела. Это первое, что нужно выполнять для любого предела.

 =  = = . Получена неопределенность вида , которую нужно устранять. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Вспоминаем формулу разности квадратов: (а – b) (а + b) = а2 – b2. Умножаем числитель на сопряженное выражение:

 =  =  =

=  =  =  =  =  =  = . Ответ: -

2. Решение типовых заданий:

Пример 1. Вычислить предел .

Решение. .

Пример 2. Вычислить предел

Решение. = 1+1+1=3.

Пример 3. Вычислить предел

Решение.=.

3. Задания: Вычислите предел

4. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

5.  Контрольные вопросы

1. Дайте определение предела переменной величины. Перечислите свойства пределов.
2. Дайте определение предела функции в точке.
3. Сформулируйте и запишите первый и второй замечательные пределы.

6. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №2

ТЕМА: Полное исследование функции. Построение графиков.

Цель работы: Проверить на практике знание понятия производной функции, понимание геометрического смысла производной, умение применять их для решения задач, умение находить производные функций, умение находить промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы, промежутки выпуклости, точки перегиба, асимптоты функции, применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме.

1. Основной теоретический материал

При построении графиков функций с помощью производных полезно придерживаться такого плана:

1°. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.

2°. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют ее на периодичность.

3°. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4°. Находят критические точки функции.

5°. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции.

6°. Определяют промежутки вогнутости и выпуклости кривой и находят точки перегиба.

7°. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если выражение для второй производной окажется очень сложным, то можно ограничиться построением графика на основании результатов исследования первой производной; если функция - четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции, и т. п.

2. Решение типовых заданий:

Пример 1: Исследовать функции и построить их графики: f(x) = x2 + 2x– 3.

Решение.

1°. Функция определена на интервале (– ∞; ∞). Точек разрыва нет.

2°. Имеем f(–х) = (–х)2 + 2(–х) – 3 = х2 – 2х – 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (–х)≠ f (х) и f (–х) ≠ –f (х).

3°. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Если у=0, то х2+2х–3=0, Решая квадратное уравнение найдем корни: х1 =–3, х2= 1. Значит, кривая пересекает ось абсцисс в точках (–3; 0) и (1;0). Если х=0, то из равенства у=х2+2х–3 следует у= –3, т. е. кривая пересекает ось ординат в точке (0; –3).

4°. Найдем критические точки функции. Имеем у'=2х+2; 2х+2=0; 2(х+1)=0; х=–1.

5°. Область определения функции разделится на промежутки (–∞,–1) и (–1,∞). Знаки производной f'(х) в каждом промежутке можно найти непосредственной подстановкой точки из рассматриваемого промежутка. Так, f'(–2)=–2<0, f'(2)=2>0. Следовательно, в промежутке

(–∞,–1) функция убывает, а в промежутке (–1,∞)-возрастает. При х=–1 функция имеет минимум, равный f(–1)=fmin =(–l)2+2(–l) –3=l–2–3= –4.

Составим таблицу:

6°. Находим f"(х) = 2, т.е. f"(х)>0. Следовательно, кривая вогнута на всей области определения и не имеет точек перегиба.

7°. Построим все найденные точки в прямоугольной системе координат и соединим их плавной линией.

Пример 2. у=х3–12х + 4.

Решение:

1°. Функция определена на интервале (–∞;∞). Функция непрерывна во всей области определения.

2°. Имеем f(–х)=(–х)3+12(–х)+ 4=–х3–12х+4. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f(–х)≠ f(х) и f (–х) ≠ –f (х).

3° . Если х= 0, то у= 4, т. е. график функции пересекает ось ординат в точке (0, 4).

4°. Имеем у'=0, у'=3х2 –12, 3х2–12=0, 3(х+2)(х–2)=0; х1=-2, х2=–2 - критические точки функции.

5°. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Её область определения разделится на промежутки (–∞;–2), (–2; 2), (2; ∞).

Составим таблицу:

6°. Находим у"=(3х2 - 12)' = 6x; 6x=0; x=0. Определим знаки второй производной слева и справа от точки х=0: у''х=-1=- 6<0; y"х=1=6>0. Следовательно, в промежутке (-∞,0) кривая выпукла, а в промежутке (0, ∞) - вогнута. При х=0 имеем точку перегиба; ее ордината у=0-12∙0 + 4 = 4.

Составим таблицу:

7°. Кривая изображена на рисунке.

Пример 3.  у =  х4 –  х2.

Решение.

1°. Область определения функции - интервал (–∞,∞). Точек разрыва нет.

2°. Здесь f(–x)=f(x), так как х входит только в четных степенях. Следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси Оу.

3°. Чтобы определить точки пересечения графика с осью ординат, полагаем х = 0, тогда у = 0. Значит, кривая пересекает ось Оу в точке (0; 0).

Чтобы определить точки пересечения графика с осью абсцисс, полагаем у=0:

 х4 –х2 =0; х4–6х2=0; x2(x2–6)=0. Отсюда х2=0, x1,2=0, т.е. две точки пересечения слились в одну точку касания; кривая в точке (0; 0) касается оси Ох. Далее, имеем х2–6=0, т.е. х3,4=≈±2,45. Итак, в начале координат О(0; 0) кривая пересекает ось Оу и касается оси Ох, а в точках А (–2,45; 0) и В (2,45; 0) пересекает ось Ох.

4°. Найдем критические точки функции:

y'=x3–3x; x3–3x=0; х(х2–3)=0; х1=0; х2,3=± ≈±1,7. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (–∞; ), (, 0), (0, ), (, ∞).

5°. Исследуем критические точки с помощью второй производной.

Находим у" = 3х2 – 3. При х = 0 получим у"х=0=–3, т.е. уmax=0, и, значит, О(0; 0) - точка максимума. Далее при х= имеем = 6, т.е. ymin=()4– ()2= –2,25. Таким образом, D (; –2,25) - точка минимума, а вследствие симметрии минимум достигается также в точке С(-; -2,25). Составим таблицу:

6°. Имеем у"=3(x2–1) = 0, 3(х–1)(х+1) = 0, х1,2=±1. Точки х=–1 и х=1 разбивают область определения функции на интервалы (–∞,–1), (–1,1) и (1,∞). В интервалах (–∞,–1) и (1,∞) имеем у">0, т.е. здесь кривая вогнута, а в интервале (–1,1) имеем у"<0, т. е. здесь она выпукла. При х= –1 и х= 1 получаем точки перегиба Е и F, ординаты которых одинаковы: у(–1) = у(1)= –1,25.

Составим таблицу:

7°. График изображен на рисунке.

3. Задания: Исследовать функцию:

4. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

5.  Контрольные вопросы

1. Дайте определение функции и приведите примеры функциональной зависимости.
2. Что называется областью определения и областью значения функции?
3. Какие существуют способы задания функции? Дайте определение возрастающей и убывающей функции. Приведите примеры

6. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №3

ТЕМА: Вычисление определённых интегралов. Применение определенных интегралов.

Цель работы: проверить на практике знание понятия неопределённого и определённого интегралов, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять неопределённый интеграл методом введения новой переменной и интегрирования по частям.

1. Основной теоретический материал

Пусть f(x) - функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается ∫f(x)dx. Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции f(x) называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция f(x), записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.

Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции f(x) состоит из функций вида F(х)+С, где F(х)- какая-либо фиксированная первообразная для f(x), а С- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция f(x). Поэтому можно написать такую формулу: ∫f(x)dx= F(х)+С.

Итак, для того чтобы доказать равенство ∫f(x)dx= F(х)+С, достаточно проверить, что F(х)- первообразная для f(x), то есть что F′(х)= f(x).

Таблица интегралов

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Результат полезно проверить дифференцированием. Формула замены переменной:, где х=φ(t), причём должна существовать обратная функция t = φ′(x).

2. Решение типовых заданий:

Пример 1. .

Решение: Применим подстановки: t = x², dt = 2xdx и воспользуемся формулой замены переменной: = .

Пример 2. .

Решение: Сделаем замену переменной: x² = t. Тогда . Следовательно,

.

Интегрирование по частям. Формулу интегрирования по частям:

, полезно применять в случае, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение двух функций, одна из которых является многочленом, или если подынтегральная функция не имеет табличной первообразной (логарифм, обратные тригонометрические функции и т.п.).

Пример 3. .

Решение: Полагаем u = ln x, dv = dx. Тогда .  Используя формулу интегрирования по частям, находим: .

Кроме того, интегрирование по частям применяется для получения уравнений, из которых можно найти искомую первообразную. Такие возможности возникают, когда подынтегральное выражение содержит произведение множителей вида sin kx или cos kx и enx, и в некоторых других случаях.

Пример 4. I =.

Тогда  2I = ex (sin x – cos x), или I=

3. Задания: Вычислите интегралы:

4. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

5.  Контрольные вопросы

1. Что называется неопределённым интегралом?
2. Напишите основные формулы интегрирования.
3. Как проверить результат интегрирования?

6. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №4

ТЕМА: Методы дифференциального и интегрального исчисления.

Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению пределов.

1. Основной теоретический материал

Для вычисления определенных интегралов от непрерывных функций с конечными пределами необходимо, пользуясь известными методами интегрирования, получить первообразную от интегрируемой функции и, применяя формулу Ньютона-Лейбница , найти разность значений первообразной при подстановке вместо переменной верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле:и применим подстановку = t, т.е. x= t². Определим новый промежуток интегрирования: х = 4 при t = 2; х = 9 при t = 3. Следовательно,

  =  = 2 = 22ln2.

2. Задания: Вычислите определённый интеграл 

3. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

4.  Контрольные вопросы

1. Что называется определённым интегралом?
2. Напишите основные формулы интегрирования.
3. Как проверить результат интегрирования?

5. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №5

ТЕМА: Производные высших порядков и дифференциалы высших порядков.

Цель работы: Проверить на практике знание понятия производной функции, умение находить производные элементарных функций, сложных функций, обратных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, понятием сложная и обратная функция.

1. Основной теоретический материал

Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение, при ∆х стремящемся к нулю.

Правила дифференцирования

1. (f + g) ' = f '  + g ' 
2. (f − g) '  = f '  − g ' 
3. (f · g) ' = f' ·g + g'·f 

Формулы дифференцирования

2. Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти значение производной функции у = sin (4x – ) в точке х0 =

Решение: Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

у′ = (sin (4x – ))′ = (4x – )′·cos(4x – ) = 4 cos(4x – )

у′ () =  4 cos(4· – ) = 4 cos  = 4· = 2. Ответ: 2

Пример 2. y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найти значение производной функции при y '(–1).

Решение: Найдем производную данной функции: y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y'(–1) = 14.         Ответ:14

Пример 3. Найти производную данной функции y = ln x · cos x.

Решение:  Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:

y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x. 

Пример 4. Найти производную данной функции y = .

Решение:  Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:

y′ =  =

3. Задания:

1. Найдите производные функций:

2. Найдите значения производных функций f '(2); g'(1); h'(0), если f(х)=;

g(х)=; h(х) =.

3. Найдите значения производных функций  f '(2);  g'(1);  h'(0), если

f(х) = ;     g(х) =;      h(х) = .

4. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

5.  Контрольные вопросы

1. Дайте определение производной функции.
2. Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования.
3. Каков геометрический смысл производной?

6. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №6

ТЕМА: Методы дифференцирования и интегрирования для решения практических задач.  

Цель: рассмотреть методы дифференцирования и интегрирования для решения практических задач.  

1. Основной теоретический материал:

Вспоминаем общую запись двойного интеграла: . Снова посмотрим на общую запись двойного интеграла и заметим, что в нём притаилась функция двух переменных f(x;y). А когда речь заходит о функции двух переменных, то речь идёт о частных производных второго порядка.

В большинстве практических задач требуется формально вычислить двойной интеграл, но, помимо этого, он обладает отличным геометрическим смыслом – с помощью двойного интеграла помимо площади можно вычислить еще и объём.

Пример 1: Вычислить двойной интеграл, : у=, у=x. Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом.

Решение: Изобразим область интегрирования D на чертеже: Выполнение чертежа – необходимый начальный этап решения. Чертёж крайне важно выполнить правильно и точно.

Выберем следующий порядок обхода:

х≤у≤

0≤у≤1

Таким образом: == .

Обратите внимание на следующее действие: в данном случае можно вынести «икс» из внутреннего интеграла во внешний интеграл. Почему? Во внутреннем интеграле интегрирование проводится по «игрек», следовательно, «икс» считается константой. А любую константу можно вынести за знак интеграла, что благополучно и сделано.

С интегралами настоятельно рекомендуется разбираться по пунктам:

1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, найдём внутренний интеграл и вместо «игрека» подставляем функции:

2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл , при этом ни в коем случае не забываем про «икс», который там уже находится:

.

Выполняем вторую часть задания: изменим порядок обхода области и вычислим двойной интеграл вторым способом.

Перейдём к обратным функциям: у =→ x= у2; у =x→ x=у.

Второй способ обхода области:

Таким образом: = . Вот здесь уже «икс» является «родным» для внутреннего интеграла, поэтому его нельзя вынести во внешний интеграл.

1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим внутренний интеграл и вместо «икса» подставляются функции:

2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл и проведём окончательные вычисления:

Ответ:

Двойной интеграл как объем тела. Рассмотрим основной геометрический смысл двойного интеграла. Предполагаем, что функция z = f(x;y) существует в каждой точке (x;y) плоской области D и задаёт некоторую поверхность трехмерного пространства. Для определенности считаем, что f(x;y)>0, то есть поверхность располагается над плоскостью XOY.

Согласно общей концепции интегрирования, произведение  (высота×длина×ширина) равно бесконечно малому объёму dV элементарного кусочка тела. Двойной же интеграл объединяет эти бесконечно малые значения dV по всей области D, в результате чего мы получаем суммарный (интегральный) объём всего цилиндрического бруса

.

Пример 2: Вычислить двойной интеграл, , D: y = x; xy=1, y=2.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Согласно первому способу обхода, область придется разделить на две части, при этом необходимо будет вычислить следующие интегралы:

Перейдем к обратным функциям: y=x, следовательно x=y; y=, следовательно x=

Порядок обхода области:

≤ x≤ y

1≤ y≤2

Таким образом:

1) Найдём внутренний интеграл:.

2) Результат предыдущего пункта подставим во внешний интеграл, при этом не забываем про , который там уже находится:

.

Ответ:.

Пример 3: Вычислить двойной интеграл, D: =3, =0; =0.

Решение: Сначала рассмотрим свойства линейности кратного интеграла:

. Решение, как обычно, начинаем с построения области интегрирования:
В данном примере, как легко заметить, не имеет особого значения порядок интегрирования, поэтому выберем первый, более привычный вариант обхода области:

0≤ y ≤ 3 – x

0≤  x ≤3

Таким образом:

1) Сначала берём внутренний интеграл:
 =

2) Берём оставшийся внешний интеграл:

=

=  

= .

Ответ:

Пример 4: Вычислить двойной интеграл по области , D: =1, =х2; =0

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

0≤ y ≤ x2

0≤ x ≤1
Таким образом:  =
1)

= = .

2) = .

Перейдём к обратной функции y = x2, x=и изменим порядок обхода области:

≤ x ≤ 1

0≤ y ≤1

Таким образом:

1) Вычислим внутренний интеграл:

2)
Ответ:

Пример 5: Вычислить двойной интеграл по области: , D: =0, =; =x.

Решение: Выполним чертёж:

После выполнения чертежа нужно выяснить, какой порядок обхода области выгоднее применить.

Рассмотрим первый способ обхода:
x ≤ y ≤ 

0≤ x ≤

Тогда:.

Есть еще и второй способ обхода области:

0≤ x ≤ y

0≤ y ≤

Следовательно:

1) По формуле Ньютона-Лейбница разберемся с внутренним интегралом:

2) Полученный результат  перемещаем во внешний интеграл, не забывая, что там уже есть и константа 4:

= =

Ответ:.

2. Задания:

1. Вычислить двойной интеграл:, D: y= - x3; y=1; x=0.
2. Вычислить двойной интеграл , D: =2, =0; =0.
3. Вычислить двойной интеграл по области, D: 1, =;=. 
4. Вычислить двойной интеграл по области , D: 0, =; =. 

3. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

4.  Контрольные вопросы

1. Что такое интегральные кривые? Как они расположены относительно друг друга?
2. Как из семейства интегральных кривых выделить одну из них?

5. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №7

ТЕМА: Комплексные числа.

Цель работы: развитие умений и навыков по выполнению арифметических операций над комплексными числами.

1. Основной теоретический материал

Допустим, что существует такое число, квадрат которого = –1. Обозначим это число буквой i, тогда можно записать i2 = – 1.

Число i называется мнимой единицей, если i = .

Введение мнимой единицы позволяет нам извлекать квадратные корни из отрицательных чисел:

 =  = · = 6 i.  =  = · =  i. 

Степени мнимой единицы.

i;

i2 =  –  1;

i3 = i2 · i =  –  1 · i =  –  i;

i4 = i3 · i = - i · i = i2 = - (-1) = 1;

i5 = i4 · i = 1 · i = -i;

i6 = i5 · i = -i · i = i2 = -1;

i7= i6 · i = - 1 · i = -i;

i8= i7 · i = - i · i = - i2 = 1.

Значения степеней числа i повторяются с периодом равным 4. Таким образом:

• Если показатель степени числа i  делится на 4, то значение степени равно 1;
• Если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i.
• Если при делении показателя на 4 в остатке получается 2, то значение степени равно - 1.
• Если при делении показателя на 4 в остатке получается 3, то значение степени равно - i.

Пример 1:

Найти: а)  i28 = [28 = 7·4] =  1. б) i33 =[33 = 8·4 +1]  = i. в) i135 =[135= 33·4 +3]  = - i.

Числа вида а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными числами.

а + bi – алгебраическая форма комплексного числа.

Число а – действительная часть комплексного числа;

        bi – мнимая часть комплексного числа;

        b– коэффициент при мнимой части.

Два комплексных числа а + bi и с + di считаются равными тогда и только тогда, когда в отдельности, равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице,

т.е. а+bi = с+di, если а=с и b=d.

Пример 2: Найти х и у:

а) 3у + 5х i = 15 – 7 i. 

Решение: Согласно условию равенства комплексных чисел имеем:

3у = 15; 5х = - 7. Отсюда х= –  ; у = 5.

б) (2х+3у) + (х – у) i = 7+6 i.

Решение: Из условия равенства комплексных чисел следует  

Умножим второе уравнение на 3:  

Сложив первое и второе уравнения получим 5х = 25, т.е. х = 5.

Подставим это значение во второе уравнение: 5 – у = 6, откуда у = – 1.

Итак, получаем ответ: х=5; у= –1.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример3: Даны комплексные числа z1= 2+3i, z2=5 - 7i. Найти z1+ z2; z1- z2; z1·z2.

Решение:

z1+ z2 = (2+3i)+(5 - 7i) = 2+3i + 5 - 7i = (2+5)+(3i - 7i) = 7 – 4i.

z1- z2= (2+3i) – (5 - 7i) = 2+3i – 5 + 7i = (2–5)+(3i + 7i) = –3+10i.

z1·z2 = (2+3i)·(5–7i) = 10–14i+15i–21i2=10 – 14i + 15i + 21(здесь учтено, что i2= –1) = (10+21) + (–14i+15i)= 31+ i.

При выполнении умножения можно использовать формулы сокращенного умножения: (a±b)2=a2±2ab+b2; (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3.

Пример 4: Выполнить действие: а) (2+3i)2; б)(5 - 7i)2; в) (5+3i)3.

Решение: а) (2+3i)2=4+2·2·3i+9i2=4+12i–9 = –5+12i.

б)(3 – 5i)2= 9–2·3·5i+25i2=9–30i–25 = –16–30i. 

в) (5+3i)3=125+3·25·3i+3·5·9i2+27i3=–5+12i=(тк i2=–1, а i3=–i)=125+225i–135–27i =

= –10+198i.

Рассмотрим теперь применение формулы (a + b)(a-b) = a2-b2.

Пример 5: Выполнить действия: а) (5+3i)·(5 – 3i); б) (2 – 3i)·(2+3i); в) (1+i)·(1 – i).

Решение: а) (5+3i)·(5 – 3i)= 52 –(3i)2= 25 – 9i2=25+9=34.

б) (2 – 5i)·(2+5i)= 22 –(5i)2= 4 – 25i2= 4+25=29.

в)  (1+i)·(1 – i) = 12 – i2= 1+1=2.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Рассмотрим деление двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведём дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряжённое делителю.

Пример 6: Выполнить деление: а) ; б)

Решение: а)  =  =  = =  +  i.

б)  =  =  = =  –  i.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7: Решить уравнение: а) х2–6х+13=0; б) 9х2+12х+29=0.

Решение: а) х2–6х+13=0.

Найдём дискриминант по формуле: D = b2 –4ас.

Так как а = 1, b = –6, с = 13, то D = ( –6)2 – 4113=36–52= –16; === 4i. Корни уравнения находим по формулам х1= ; х2= :

х1= =  = 3–2i;  х2= =  = 3+2i.

б) 9х2+12х+29=0. Здесь, а=9, b=12, с=29.

Следовательно, D=b2–4ас=122–4129=144–1044=–900. ===30i.

х1= =  =  = ; 

х2= =  =  = .

2. Задания: Выполнить действия над комплексными числами

3. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

4.  Контрольные вопросы

1. Дайте определение комплексному числу.
2. Как вычисляют степени мнимой единицы?.
3. Какие комплексные числа называются сопряжёнными?

5. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №8

ТЕМА: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделёнными переменными.

Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению дифференциальных уравнений первого порядка с разделёнными переменными.

1. Основной теоретический материал

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы. Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения.

Уравнение вида f(x)dx+φ(y)dy=0,где f(x) и φ(у) - данные функции, называется уравнением с разделенными переменными. (2).

Это уравнение можно переписать в виде f(x)dx=– φ(y)dy и рассматривать как равенство двух дифференциалов. Каждая часть уравнения с разделенными переменными представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной.

Например, xdx+ydy=0, 2ydy=3x2dx, ds=(3t2–2)dt, 2ydy=(1–3x2)dx, exdx=уdy,  - уравнения с разделенными переменными. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

2. Решение типовых заданий:

Пример 1: Решить уравнение х dx+ у dy = 0.

Решение. Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим ∫xdx+∫ydy=C;

=С; х2+у2=2С. Так как С произвольно, то можно обозначить 2С через С2, учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид х2+у2=С2. Это и есть общее решение, или как говорят, общий интеграл данного дифференциального уравнения. С геометрической точки зрения мы получили семейство (совокупность) концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом, равным С (сравните полученное уравнение с известным уравнением окружности вида х2+у2=R2).

Пример 2: Решить уравнение 2ydy =3х2 dх.

Решение. Здесь φ(х)=2у, f(х)=3х2. Интегрируя обе части уравнения, имеем ∫2уdy=∫3x2dx, у2=х3+С. Получили общее решение дифференциального уравнения. Это решение можно записать в явной форме: у=.

Пример 3: Найти частное решение дифференциального уравнения dy = (х2–1)dx, если у= 4 при х = 1.

Решение. Имеем ∫dy=∫(х2–1)dx; у=; 4=, откуда С=. Итак, получаем ответ: у =.

Пример 4: Решить уравнение

Решение. Здесь переменные разделены. Интегрируя, имеем

∫;  ln(у+1)=ln(х–1)+С

Произвольную постоянную С можно обозначить через lnС; тогда ln(у+1)=ln(х–1)+lnС. Представив в правой части равенства сумму логарифмов в виде логарифма произведения, получим ln(у+1)=ln(х–1)С, откуда (у+1)=С(х–1). Это и есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Уравнение вида f(x)F(y)dx+φ(x)Ф(у)dy=0, где f(x), F(y), φ(х), Ф(у) - заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными. (3)

Например, x(y2–1)dx+y(x2+1)dy=0, 1+у–ху'=0, 2dx–3dy+xdx+y2dy=0, 1+у'+у+ху'=0 являются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Уравнение (3) можно привести к виду (2), если разделить все его члены на произведение φ(x)Ф(у).

Пример 5: Решить уравнение х(у2–1)dx+у(х2+1)dy=0.

Решение. Разделив все члены уравнения на (х2+1)(у2-1), получим = 0. Теперь переменные разделены; интегрируя, находим

=C1; ln(х2+1)+ln(у2–1)=С. Здесь произвольная постоянная С1 заменена на С (поскольку любое положительное или отрицательное число может быть представлено как натуральный логарифм другого, положительного числа |С|). Сокращая все члены равенства на 1/2, получим ln(х2+1)(у2–1)=С, откуда (х2+1)(у–1)=С. Это и есть общий интеграл или общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 6: Найти все решения дифференциального уравнения у'= ху2.

Решение. Очевидно, что у=0 является решением данного уравнения. Пусть теперь у≠0. Тогда = x dx и, следовательно +С. Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид у =, где С - произвольная постоянная. Заметим, что решение не получается из общего решения ни при каком значении постоянной С.

Пример 7: Проинтегрировать дифференциальное уравнение (1+x2)dy–2xydx=0.

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на произведение у(1+х2), получим уравнение с разделенными переменными:  =0. Интегрируя это уравнение, находим

ln|у|– ln(1+х2)=|С| или =|С| откуда получаем общее решение у=С(1+х2).

На основании решенных примеров очевиден алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

1. Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.

2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.

3. Разделяют переменные.

4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.

5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

В зависимости от вида уравнения некоторые пункты алгоритма решения могут быть опущены.

Пример 8: Найти общее решение уравнения 1+у'+у+ху'=0.

Решение. 1. Заменим у' на : 1 +  + у + х  = 0

2. Умножим все члены равенства на dx: dx+dy+ydx+xdy=0. Сгруппируем все члены, содержащие dy и dx, и запишем полученные выражения в разных частях равенства: (1+x)dy= -(1+y)dx.

3. Разделим обе части равенства на выражение (1+х) (1+у): 

4. Интегрируя обе части равенства, имеем

 ; ln|1+у|=; 1+у=; у= –1.

Пример 9: Найти частное решение уравнения 2уdx=(1+х)dy, если у=4 при х=1.

Решение. Разделяем переменные: . Интегрируя, получим ; 2(1+х)=у+С или 2(1+х)=у+С. (1+х)2=С∙у- общий интеграл данного дифференциального уравнения. Найдем теперь частное решение данного уравнения по заданным начальным условиям. Полагая в общем решении х=1, у=4 имеем 22=4С, С=1.

Следовательно у= (1+х)2.

Пример 10: Найти частное решение дифференциального уравнения у'=2+у, если у=3 при х=0.

Решение. Заменим у' на , а затем умножим на dx, получим dy=2dx+уdх, т.е. dy=(2+у)dх. Разделим обе части уравнения на 2+у и проинтегрируем: =dx; =∫dx; ln(2+у)=х+lnС. Выразим х через логарифм: х= ln ех.

Тогда получим: ln (2+у)= ln ех + ln С. Потенцируя, получим: 2+у = Сех, у= Сех – 2. Это общее решение данного уравнения. Чтобы найти частное решение, подставим в общее решение х=0 и у=3.

Получим: 3= С∙е0 – 2; е0 = 1; С=5. Итак, у=5 ех – 2.

3. Задания: Решить уравнения: 

1. xdy + 2ydx = 0. 
2. x2dy = y2dx.
3. у' =х. 
4. у'+2х2у'+2ху –2х=0.
5. Найти частное решение уравнения (1+y2)dx=xydy, если у =1 при х=2.
6. Найти частное решение уравнения (1+x3)dy=3x2ydx, если у=2 при х=0.
7. Проинтегрировать дифференциальное уравнение (1+х2)dy–2xydx=0. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у=4 при х = –1.

4. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

5.  Контрольные вопросы

1. Дайте определение производной функции.
2. Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования.
3. Каков геометрический смысл производной?

6. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №9.

ТЕМА: Решение дифференциальных уравнений второго порядка.

Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Основной теоретический материал

Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением.

Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно у′′, имеет вид у′′=f(х,у,у′). Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида у′′= f(х). Такое уравнение решается двукратным интегрированием: dy′=f(х)dx, откуда у′=∫f(х)dx. Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функцию от f(х), которую обозначим через F(х).

Таким образом у′=F(х)+С1; = F(х)+С1; dy=(F(х)+С1)dx.

Интегрируем ещё раз у=∫(F(х)+С1)dx==∫(F(х)+С1∫dx или у=Ф(х)+С1х+С2. Итак, получили общее решение уравнения, содержащее две произвольные постоянные С1 и С2.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y′′+py′+qy=f(x), где p и q–постоянные величины, а f(x)–непрерывная функция x. Если правая часть уравнения равна нулю, т.е. y′′+py′+qy=0, то оно называется однородным уравнением.

Для практического использования алгоритм решения таких уравнений удобно оформить в виде таблицы:

2. Решение типовых заданий

Пример 1: Найти общее решение уравнения у′′=4х.

Решение:          =4х; dy′=4х dx; у′=4∫х dx=2х2+ С1;

                =2х2+ С1; dy=(2х2+ С1) dx;

                у=∫(2х2+ С1) dx=2∫х2dx+С1∫dx=+ С1х+С2.

Пример 2: Найти общее решение уравнения у′′= sin 2x        .

Решение: Умножим обе части уравнения на dx и затем проинтегрируем: dy′=sin 2xdx; ∫dy′=∫sin 2xdx; у′=cos2x+С1. Обе части последнего уравнения умножим на dx и проинтегрируем: dy=cos2xdx+С1dx; ∫dy=∫cos2xdx+С1∫dx+С2.

Итак, у=dy= sin2xdx+С1х+С2- общее решение уравнения.

Пример 3: Решить уравнение  y′′ + 2y′ – 8y = 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение  k2 + 2k - 8 = 0.

D = p2 – 4q = 22 -4(-8) = 4 + 32 = 36 > 0.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Определим их: k1 = –4, k2 = 2. Находим частные решения данного дифференциального уравнения: .

Общее решение данного уравнения имеет вид:  .

3. Задания: Найти общее решение дифференциального уравнения:

4. Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Результаты выполнения задания.

5.  Контрольные вопросы

1. Приведите примеры дифференциальных уравнений.
2. Какая функция называется решением дифференциального уравнения?
3. Как решается уравнение с разделёнными и с разделяющими переменными?

6. Литература

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.

Практическое занятие №10

ТЕМА: Операции над матрицами системы линейных уравнений. 

Цель работы: развитие умений и навыков по выполнению действий с матрицами.

1. Основной теоретический материал

Матрицей размером m×n называется совокупность m·и n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В. В общем виде матрицу размером m×n записывают так

А=

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка А=(  …), называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

0=(0 0 … 0), 0=

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E.

E=

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

Суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу

А+В= + =

Сложение матриц на примере матриц

+=

- матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых местах)

!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов)

Пример 1: Найти сумму матриц:

1. + =.
2. + - нельзя, т.к. размеры матриц различны.
3. +=.
4. + =.

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если A= и B=, то A=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21 и a22=b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером).

A= B=

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Пример 2: Найти матрицу транспонированную данной.

1. A=,
2. B=, .

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу 

k·А =  = k·=

Пример 3:

1.  = .
2. Найти 4A – B, если А = ,В = .

4A= 4 · =

4A–B =  – = .

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). 

Произведением матрицы A на матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

 · =

• Чтобы найти элемент первой строки и первого столбца с11, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (а11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (b11 и b21) и полученные результаты сложить, т.е. с11 = а11 · b11 + а12 · b21
• Чтобы найти элемент первой строки и второго столбца с12, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (а11 и а12) умножить на соответствующий элемент второго столбца матрицы В (b12 и b22) и полученные результаты сложить, т.е. с12 = а11 · b12 + а12 · b22
• Аналогично находятся элементы с21 и с22.

Пример 4:

1. Пусть А= и В= С=А·В. Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

с12 = 0 – 2 + 3 = 1; с23 = 0 + 0 + 1 = 1; с21 = 0 – 3 + 1 =  – 2.

2. Найти произведение AB, если А= и В = .

с11= 3×1 +1×2 + 1×1 = 6      с21= 2×1 + 1×2 + 2×1 = 6      с31= 1× 1 + 2×2 + 3×1 = 8

с12= 3×1 + 1×(-1) + 1×0 = 2 с22=2×1 + 1×(-1) + 2×0 = 1    с32=2×(-1) + 1×1 + 2×1 = 1

с13= 3×(-1) + 1×1 + 1×1 = -1 с23= 2×(-1) + 1×1 + 2×1 = 1 с23= 1×(-1) + 2×1 + 3×1 =4

С=

!!! Матрицы  не перестановочны друг с другом, т.е.A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов:

А=.

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом:a11a22–a12a21. Определитель обозначается символом D или |А|или det A.

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры 5:  Вычислить определители второго порядка.

1. D = = 2·(–4) – 5·3 = – 8– 15 = –23
2. D = = 0·1– (–3) · 2 = 0+6=6
3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и А=, В=.

D =+=, = 0.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Пример 6: Вычислить определитель третьего порядка.

1. D==2–3+(–4)=

= 2·(0·1–(–2)·2) – 3(1·1– (–2)·(–2)) –4 (1·2–0·(–1))=8+3–8=3

2. D = =3·–2·+4·=3·(12–0) –2(4– 3) +1· (0–6) =

=3·12–2·1+1·(–6) =36 – 2 – 6 =28

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Пример 7: Найти определитель 3-го порядка:

=3· – 2·+1·=3·(12 – 0)–2·(4 – 3)+1·(0 – 6)=36–2–6=28.
Как запомнить формулу для определителя третьего порядка: 

• а11 умножается на определитель матрицы 2×2, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с а11,
• а21 умножается на определитель матрицы 2×2, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с а12,
• а31 умножается на определитель матрицы 2×2, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с а31,
• Знаки в формуле чередуются «+», «-», «+».

Минором Мij элемента аij определителя D называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, М12 соответствующий элементу а12 получается если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец.

Пример 8: Записать все миноры определителя  D =

М11==7·2–(–1)·4=18, М12==3·2–(–1)·5=11, М13==3·4–7·5=–23,

М21= = 2·2 – 0·4 = 4, М22= = –1·2 – 0·5 = – 2, М23==–1·4 – 2·5 = – 14,

М31==2·(–1)–0·7=–2, М32==–1·(–1) – 0·3=1, М23==–1·4–2·3= –10.

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя D называется минор Мij этого элемента, взятый со знаком (– 1) i+j. Обозначается Аij, таким образом Аij =(–1) i+j ·Мij

Пример 9: Найти алгебраические дополнения элементов  а13, а21, а31

А13= (–1) 1+3 = 2·5 – 3·3 = 4, А21= (–1) 2+1 = – (– 1·5 – 3·3) = 14,