Методические указания для учителей математики
методическая разработка по алгебре по теме
Методические указания для учителей математики
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 98.79 КБ |
Предварительный просмотр:
Методические рекомендации учителю математики
по разделам математического анализа,
содержащимся в задачах ЕГЭ.
- Пределы. Производная и дифференциальная функции одной переменной.
- Формула Тейлора, формула Маклорена. Экстремум функции.
- Дифференцирование функции многих переменных.
- Применение производной в экономике.
- Неопределённый и определённый интеграл.
- Применение интеграла в экономике.
- Числовые, функциональные ряды.
- Степенные ряды. Радиус сходимости ряда. Ряд Тейлора.
- Дифференциальные уравнения.
- Производная и дифференциальная функции одной переменной.
Определение: Пусть функция определена в окрестности точки x.
Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
где – приращение аргумента в точке х,
– приращение функции в точке х.
Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции.
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, т.е.
.
Производная есть скорость изменения функции в точке х.
Таблица основных производных
;
- (arcsin x)’ =
- (arccos x)’ =
- (arctg x)’ =
- (arcctg x)’ =
- (sh x)’ =
- (ch x)’ =
- (th x)’ =
- (cth x)’ =
Основные правила дифференцирования
Пусть – дифференцируемые функции, С – вещественная константа.
Дифференцирование сложной функции
Если - дифференцируемые функции, то композиция функций
– дифференцируема в точке x.
– правило дифференцирования сложной функции.
Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточной переменной и производной промежуточного аргумента по независимой переменной.
Рассмотрим примеры.
Вычислить производные функции:
1)
2)
3)
4)
5)
Логарифмическая производная
Пусть на множестве Х,
– дифференцируемая функция.
Найдём производную логарифма этой функции:
Выразим отсюда
Формулу (I) удобно применять для дифференцирования показательно-степенной функции и функций, содержащих радикалы.
Найдём с помощью формулы (I) производную показательно-степенной функции:
.
Запишем
Найдём производную
.
Подставим найденную производную в формулу (I). Вычислим производную самой функции
.
Рассмотрим пример:
Вычислить производную функции .
- Запишем
:
- Найдём производную
:
.
- Подставим
в формулу для вычисления производной
:
.
Дифференцирование неявных функций
Пусть дана функция , неявно заданная с помощью уравнения
Левая часть этого уравнения
является дифференцируемой функцией. Продифференцируем левую часть уравнения
, считая
независимой переменной, а
– дифференцируемой функцией.
Затем выразим из полученного уравнения.
Пример:
Найти , если
– неявно задана с помощью уравнения:
.
Продифференцируем левую часть равенства, помня, что – независимая переменная,
– дифференцируемая функция:
.
Слагаемые, содержащие , оставим в левой части равенства. Остальные слагаемые в правую часть:
Сократим на 3 левую и правую часть равенства:
Разделим левую и правую часть равенства на Выразим искомую производную
.
Дифференцирование параметрически заданных функций
Пусть функция задана параметрически с помощью двух функций:
,
где t – параметр .
Производная функции равна:
Пример:
Найти , если
задана параметрически:
,
Производные высших порядков
Пусть – дифференцируемые функции в некоторой точке.
Определение: Производной второго порядка функции называется производная от её производной.
Вторая производная обозначается так: .
Если – закон прямолинейного движения точки, то вторая производная по времени
есть ускорение этого движения.
Аналогично определяется производная третьего порядка. – есть производная от производной второго порядка:
Производной n-ого порядка от функции называется производная от производной (n – 1)-ого порядка:
Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием функции.
Если функция задана параметрически , то производная
… вычисляются по формулам:
и т.д.
Пример: Найти .
,
,
Дифференциалы первого и высших порядков
Определение: Дифференциалом первого порядка функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента
.
Правило вычисления дифференциала первого порядка
Чтобы найти дифференциал первого порядка, нужно первую производную функции по переменной x умножить на дифференциал этой переменной.
Это правило остаётся справедливым и в случае, когда х – есть дифференцируемая функция некоторого аргумента. В этом состоит свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка.
Основные свойства дифференциала
Дифференциал функции может применяться для приближённых вычислений.
Определение: Если – дважды дифференцируемая функция, то дифференциалом второго порядка функции
называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
Определение: Если – n раз дифференцируемая функция, то дифференциалом n-ого порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка:
.
Правило вычисления дифференциалов высших порядков
Если x – независимая переменная, то дифференциал n-ого порядка равен произведению n-ой производной функции на дифференциал аргумента x в n-й степени:
Это правило несправедливо, если х – есть дифференцируемая функция, т.е. дифференциалы второго, третьего и т.д. порядков не обладают свойством инвариантности формы. В этом случае используется общее определение дифференциала n-ого порядка: т.к.
Примеры:
- Вычислить дифференциалы первого, второго, третьего порядков функции
- Вычислить приближённое значение
Воспользуемся приближённым равенством
Рассмотрим функцию
Пусть ,
Применяем формулу
Получим:.
- Сравнить приращение и дифференциал функции
Находим:
- Формула Тейлора. Формула Маклорена. Разложение основных элементарных функций.
Функция раз дифференцируемая в некотором интервале, содержащем точку
, может быть представлена в виде суммы многочлена
-й степени и остаточно члена
.
,
где – остаточный член формулы Тейлора (в форме Лагранжа).
где .
При получается формула Маклорена:
,
где – остаточный член формулы Тейлора.
Проведём разложение некоторых функций по формуле Маклорена:
,
;
,
;
,
;
,
.
Пример: Представить функцию в виде многочлена пятой степени относительно двучлена
по формуле Тейлора
.
Решение: Вычислим значение функции и её производных до пятого порядка включительно при
:
,
,
,
.
Следовательно, по формуле Тейлора получим:
,
где остаточный член формулы Тейлора равен:
, где
.
4. Применение производной в экономике
Законы теории производства и потребления, спроса и предложения являются прямыми следствиями теории математического анализа.
Теорема Ферма: Если дифференцируемая на промежутке X функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке
этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.
.
Геометрический смысл теоремы Ферма: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абцисс.
Рассмотрим экономическую интерпретацю теоремы Ферма.
Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.
То есть уровень выпуска является оптимальным для производителя, если
, где MS - предельные издержки, а MD - предельный доход.
Обозначим функцию прибыли за . Тогда
, т.е. прибыль равна разности между доходом и издержками. Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальная, т.е. такое значение выпуска
, при котором функция
имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке
. Но
, поэтому
, т.е.
.
Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономического производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.
Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.
Иными словами, величина , где
- приращение ресурса, а
- приращение выпуска продукции, уменьшится при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формируется так: функция
, выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.
Рассмотрим примеры двух предельных показаний в микроэкономике.
1. Первый из них связан с зависимостью собестоимости C произведенной продукции от ее объема Q: . Так называемая предельная собестоимость характеризует собестоимость
прироста продукции
:
Обычно в приложениях под предельной собестоимостью понимают величину .
Пример.
Пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой денежных единиц.
1) Найдем средние издержки на единицу продукции.
Средние издержки при объеме продукции денежных единиц:
денежных единиц
2) Предельные издержки .
При получим
денежных единиц.
Таким образом, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 денежных единиц дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 денежных единици и не превысят средних издержек.
2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса.
Пусть - функция спроса от цены товара P.
Эластичность спроса показывает, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены товара на 1%.
Эластичность .
Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения .
Функция спроса - убывающая, а функция предложения
- возрастающая, значит, эластичность предложения
.
Различают три вида спроса в зависимости от величины :
а) если , то спрос считается эластичным;
б) если , то спрос нейтрален;
в) если , то спрос неэластичный.
Пример. Пусть фунция спроса описывается формулой , где
и
- известные величины. Найти, при каких значениях цены P спрос будет эластичным.
Решение: Используем формулу для вычисления эластичности спроса.
;
;
.
Для того, чтобы спрос был эластичным, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
, т.е.
, откуда
.
Следовательно, .
Пример. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.
Решение. Выручка I равна произведению цены товара P на величину спроса D: .
Найдем производную этой функции: .
Проанализируем все варианты эластичности спроса:
1) ;
.
Таким образом, при эластичном спросе повышение цены P ведет к снижению выручки. Напротив, снижение цены P увеличивает выручку выручки.
2) .
Тогда , т.е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.
3) .
Тогда , т.е. при неэластичном спросе повышение цены P на товар приводит к росту выручки.
Понятие эластичности распространяется и на другие области экономики.
Пример. Пусть зависимость между собестоимостью продукции C и объемом Q ее производства выражается формулой: . Найти эластичность собестоимости при выпуске продукции
денежных единиц.
Решение. Эластичность собестоимости:
;
;
,
При объеме производства денежных единиц искомая эластичность составит около
, т.е. при данном объеме выпуска продукции увеличение объема на 1% приведет к снижению собестоимости приблизительно на 0,32%.
Пример. Найти максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:
,
.
Решение. Прибыль равна разности между доходом и издержками:
Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение:
Корни этого уравнения ,
.
Сравнивая значения прибыли и
, получим, что максимальная прибыль достигается при
.
.
5. Неопределённый интеграл
Определение 1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке E, т.е. на отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси. Функция
, определенная на E, называется первообразной функции
на E, если
для каждого
E.
Если – первообразная функция функции
на промежутке E, то функция
, где
– некоторая постоянная, также является первообразной функции
на E.
E.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции , определенных на некотором промежутке E, называется неопределенным интегралом от функции
на промежутке E и обозначается
.
.
Всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределенные интегралы, есть равенство между множествами.
Основные свойства неопределенного интеграла
;
;
;
.
Таблица основных неопределенных интегралов
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Интегрирование заменой переменной.
Интегрирование по частям
Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования. Он базируется на следующем утверждении.
Пусть функция определена и дифференцируема на множестве X, представляющем собой либо интервал, либо открытую полупрямую, либо бесконечную прямую, и пусть T обозначает множество всех значений этой функции.
Пусть далее для функции существует на множестве T первообразная функции
, т.е.
.
Тогда всюду на множестве {x} для функции существует первообразная функция, равная
, т.е.
.
Частный случай. если
.
Например: . Здесь делаем простейшую подстановку:
.
.
Этот интеграл вычисляется посредством замены .
К числу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по частям. В его основе лежит следующее утверждение.
Пусть каждая из функций и
дифференцируема на множестве X и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции
, причем справедлива формула
. (I)
Эта формула сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению интеграла
. В ряде конкретных случаев это легко осуществимо. Вычисление интеграла
посредством применения (I) называют интегрированием по частям.
Методом интегрирования по частям можно найти такие интегралы:
,
,
,
,
,
, где
– многочлены степени n; эти интегралы находятся путем n-кратного применения формулы (I), причем в качестве u(x) всякий раз следует брать
.
,
,
,
,…
Обозначая любой из интегралов этой группы через I и проводя двукратное интегрирование по частям, мы получим для I уравнения 1-го порядка, откуда определяется .
Вычислим интеграл . Он не входит ни в одну из упомянутых групп. Тем не менее, применяя формулу (I) и полагая в ней
,
, получим du=dx, v=-ctg x,
.
Аналогично вычисляется интеграл .
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Интегралы вида
, (1)
где , после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене сводятся к табличному интегралу
,если
.
Интегралы виды
(2)
после выделения в числителе производной квадратного трехчлена можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых сводится к интегралу вида
, а другой есть интеграл вида (1).
Интегралы вида
(k = 1,2) (3)
сводятся к рассмотренным интегралам с помощью подстановки .
Интегралы вида
(4)
после выделения полного квадрата применения линейной подстановки сводятся к интегралам, которые можно найти, применив формулу интегрирования по частям.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найти интеграл .
Этот интеграл относится к интегралам вида (3) и с помощью подстановки сводится к интегралу вида (1). Действительно, полагая
, находим
и получаем
.
Пример 2. Найти интеграл .
Имеем интеграл вида (4). Выделив полный квадрат в подкоренном выражении и применив подстановку
, от данного интеграла перейдем к другому интегралу:
,
.
Полагая в равенстве ,
и умножая его на
, находим полный интеграл:
.
Интегрирование рациональных функций
Функция, заданная в виде отношения двух многочленов
(1)
называется рациональной функцией (или рациональной дробью). В формуле (1) многочлены имеют действительные коэффициенты.
Если , рациональная дробь (1) называется правильной, в противном случае - неправильной.
Любая правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму конечного числа простейших рациональных дробей. Различают четыре типа таких дробей:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
, где
- действительные числа, k является натуральным числом, квадратный трехчлен
не имеет действительных корней
.
Если рациональная дробь (1) является правильной и знаменатель представлен в виде
, (2)
то ее разложение на простейшие дроби производится по формуле
, где
,
,
,
,
- действительные постоянные, которые подлежат определению,
. Для нахождения этих постоянных обе части равенства умножают на
, вследствие чего получают равенство двух многочленов. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в разных частях равенства, получают систему линейных алгебраических уравнений относительно m неизвестных постоянных
,
,
,
,
, которая всегда имеет единственное решение. Этот метод называется методом неопределенных коэффициентов. Часто он комбинируется с методом частных значений.
Рассмотрим интегралы от простейших рациональных дробей:
1) ;
2) ;
3) ;
4)
.
Для вычисления используем реккурентную формулу
,
.
Таким образом, чтобы проинтегрировать любую рациональную дробь, надо уметь интегрировать простейшие рациональные дроби.
Пример 3. Найти интеграл .
,
. (*)
Для нахождения неизвестных постоянных целесообразно применить одновременно способ частных значений и метод неопределенных коэффициентов. Подставляя в обе части равенства (*) поочередно значения и
, находим:
,
. Чтобы найти постоянные
и
, достаточно приравнять коэффициенты в обеих частях равенства (*) при
и
, учтя при этом значения
и
.
.
Интегрирование выражений, содержащих иррациональности
Интегралы вида
(1)
рационализируются подстановкой , k - общий знаменатель дробей
. Тогда
,
и интеграл (1) приводится к виду
, (2)
где ,
,
.
Подынтегральное выражение в (2) является рациональной функцией согласно известной теореме: если - рациональная функция от двух аргументов x и y, а
,
,
- три произвольные рациональные функции от одной переменной t, то выражение
представляет собой рациональную функцию от одной переменной.
Интегралы
,
,
(3)
с помощью тригонометрических подстановок ,
,
сводятся к интегралам от выражений вида
. С помощью таких же подстановок могут быть найдены интегралы вида
после предварительного выделения полного квадрата в квадратном трехчлене.
Интегралы от дифференциального бинома, т.е. интегралы вида
, (4)
где m, n, , рационализируются, если одно из чисел p,
или
является целым. Если p - целое, то интеграл (4) является частным случаем интеграла (1).
В первом случае применяется подстановка , где l - общий знаменатель чисел m и n; во втором и третьем случаях - соответственно подстановки
и
, где s - знаменатель числа p.
Пример 4. Найти интеграл .
Используем подстановка , тогда
,
,
,
. Получим
Интегрирование выражений, рационально зависящих от тригонометрических функций
Интегралы вида , где R - рациональная функция, аргументами которой являются
и
, в общем случае приводятся к интегралам от рациональных функций с аргументом t с помощью универсальной подстановки
. При этом
,
,
,
.
Универсальная подстановка часто ведет к слишком громоздким выкладкам, поэтому ее следует применять лишь в тех случаях, когда невозможно найти более легкий способ нахождения интеграла.
Если подыинтегральная функция обладает одним из следующих свойств: ;
;
, то для нахождения интеграла
целесообразно использовать одну из подстановок
,
,
соответственно.
Здесь мы основываемся на утверждении: каково бы ни было рациональное выражение , его всегда можно представить в виде суммы трех выражений:
.
Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака u, второе меняет знак при изменении знака v, а третье сохраняет значение при одновременном изменении знака u и v.
Выражение разбиваем на три слагаемых, составляющих утверждение.
Пример 5. Найти интеграл .
.
Пример 6. Найти интеграл .
Применим универсальную подстановку , тогда
,
,
. Получим
.
6. Применение интеграла в экономике
Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргументы).
Рассмотрим пример.
Найти дневную выработку P за рабочий день продолжительностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле:
,
где t - время в часах, - размерность производительности (объем продукции в час),
- размерность времени (час).
Эта формула реально отражает процесс работы: производительность сначала растет, достигая максимума в середине рабочего дня при часов, а затем падает.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2018/09/18/picture-56646-1537292976.jpg)
Методическая система работы учителя математики/физики в условиях личностно-ориентированного образования
Предпосылки и этапы становления методической системы моей работы...
![](/sites/default/files/pictures/2012/04/10/picture-76919.jpg)
Анализ методической деятельности РМО учителей математики( презентация)
Методическая разработка в помощь руководителю РМО...
![](/sites/default/files/pictures/2015/04/20/picture-454052-1429550696.jpg)
Методическое пособие для учителя математики по проведению тематических зачетов в 5 классе
Пособие для учителя математики по проведению тематических зачетов в 5 классе...
![](/sites/default/files/pictures/2015/03/29/picture-573873-1427635240.jpg)
Доклад по теме "Совершенствование методической подготовки современного учителя математики - необходимое условие эффективной реализации ФГОС ООО"
Доклад был предвтавлен на методической оперативке. Цель доклада-помоч педагогам поверить в свои силы и посмотреть на все новшества с позиции: "Я многое знаю и умею. А если не знаю, то научусь."...
![](/sites/default/files/pictures/2014/10/02/picture-491045-1412275174.jpg)
Методические указания для учителей технологии "Использование сетевых ресурсов при написании рабочих программ по технологии."
Автор делится собственным опытом написания рабочих программ по технологии...
Учебно-методическое пособие для учителей математики учителя математики ГБОУ школы № 519 Московского района Санкт-Петербурга Михалевой Наталии Георгиевны «Методические рекомендации учителю по разработке занятия-игры по математики для учащихся старших класс
В соответствии с Федеральными государственными стандартами образования производится обучение и осуществление внеклассной и внешкольной деятельности учащихся 5-9 классов; а ...
![](/sites/default/files/pictures/2012/12/09/picture-139289-1355058727.jpg)
ГАУ ДПО «Смоленский областной институт развития образования» РЕГИОНАЛЬНОЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ОМО учителей математики Смоленской области Учителю математики МБОУ СШ №2 г. Вязьмы Смоленской области, члену творческой группы «СПЕКТР» педагогов Вяз
ГАУ ДПО «Смоленский областной институт развития образования»РЕГИОНАЛЬНОЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕОМО учителей математики Смоленской областиУчителю математикиМБОУ СШ №2 г. Вязьмы Смо...