Мастер-класс "Решение задач"
план-конспект занятия по математике (8 класс) на тему

Мастер-класс

«Решение текстовых задач на движение»

Подготовил учитель математики МБОУ «Ханинская СОШ» Кондратьева А.Г. в целях подготовки  к ГИА по математике

Ориентированно для учащихся 8-9 классов.

Цель:  выработка умений самостоятельного применения знаний в стандартных и нестандартных ситуациях;

воспитание воли и настойчивости для достижения поставленной задачи; развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений;

Ход мероприятия

Решать текстовые задачи вы учитесь ещё в начальной школе.        

Каждый ученик в начальной школе должен научиться кратко записывать условие задачи иллюстрируя его с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновывать каждый шаг в анализе задачи и в её решении, проверять правильность найденного решения.  

Однако не все ученики справляются с решениями текстовых задач, так как, не могут чётко представлять себе жизненную ситуацию, отраженную в её условии, не уяснили отношений между данными и искомыми, а поэтому иногда механически манипулируют числами. Одной из основных причин, по которой  учащиеся допускают ошибки в решении текстовых задач, заключается в неграмотной организации работы по первичному восприятию ими  условия задачи и её анализа, которая проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без её графического моделирования. Для каждого ученика главное - понять задачу, т.е. уяснить, о чём в ней идёт речь, что известно, что нужно узнать, как связаны между данными и искомыми величинами и т. п. Для этого следует применять метод моделирования ситуации, отраженной  в задаче. Что же понимается под моделированием задачи? В широком смысле слова моделирование – это замена действий с реальными предметами действиями с их образами, моделями, муляжами, макетами, а также чертежами, схемами и т. п.  

Стандартная схема решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов:

• Обозначение буквами x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче.
• Построение схем и составление таблиц.
• Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях – систем неравенств).
• Решение полученного уравнения или системы уравнений.
• Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Выбирая неизвестные и составляя уравнения, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).

Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:

• Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.
• Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.
• Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у).
  

При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

Необходимо помнить формулы для нахождения расстояния, скорости и времени при равномерном движении:
S = v*t, где S – расстояние, v – скорость, t – время;

v = S/t, где S – расстояние, v – скорость, t – время;

t = S/v, где S – расстояние, v – скорость, t – время;

При решении задач часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.

Отобразим все условия задачи на рисунке.

Заметим, что если время в условии задачи выражено как в часах, так и в минутах, то минуты надо перевести в часы. В нашем случае 4 мин=4/60 часа=1/15 часа.

Так как в задаче надо определить две величины, введем две переменные и составим два уравнения.

Пусть х км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта А; 

у км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта В.

Так как в задаче известно расстояние АC=20 км, выразим время через скорость и расстояние.
 – время, за которое поезд из А прошел 20 км.

 – время, затраченное поездом из А до встречи в пункте D.

СD= – расстояние, которое прошел поезд из А за 4 минуты после остановки.

Тогда поезд из А до встречи в пункте D прошел AD= км.

BD= км – расстояние, пройденное поездом из В до встречи.

 – время, пройденное поездом из В до встречи в пункте D.

Так как по условию в пункте D поезда встретились, они затратили на путь до встречи одинаковое время, поэтому получаем первое уравнение

.
С другой стороны, выразим время движения поездов после встречи в пункте D.
Так как , то  – время движения поезда из В после встречи.
Так как , то  – время движения поезда из А после встречи.
По условию .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений с двумя переменными.

Решим систему, для чего из первого уравнения выразим у и подставим это выражение вместо у во второе уравнение.

;
.
Решим полученное уравнение

;

;
;
х1=60;  х2= –600.
Так как х – скорость, то х2 не подходит по смыслу задачи. Подставим полученное значение х в выражение для у      .
Ответ: vA=60 км/ч, vB=40 км/ч.

№4.1.97. Непослушный ребенок находится на расстоянии26 своих шагов. В то время, как он делает своих 4 шага, отец успевает сделать 3 шага. Но отец проходит за 2 своих шага столько же, сколько ребенок за три. Через сколько своих шагов отец догонит ребенка, убегающего от отца? 
Схема решения:

1. выразить одни единицы измерения через другие, зная их соотношение.
2. определить скорость движения каждого
3. решить задачу на сближение по общей схеме

Решение:
Т.к. расстояние, пройденное отцом за 2 шага равно расстоянию, пройденному ребенком за 3 шага, то 1 шаг отца равен 1,5 шагам ребенка.
Поэтому скорость ребенка равна – 4ш. р. /ед.в,
скорость отца 3•1,5=4,5 (ш. р./ед.в), а скорость сближения равна 
4,5-4=0,5(ш.р.). Время, в течение которого отец догонит ребенка равно 26:0,5=52(ед.в) , а расстояние в шагах отца 3•52=156
Ответ: 156

Итоги мастер-класса

1. Повторили табличный способ систематизации данных задачи, при необходимости дополненный рисунком. 
2. Отработка навыков по созданию математической модели ситуации, описанной в условии задачи. 
3. Еще раз обратили внимание на то, что задача решается в единой системе измерений.
4. Отметили, что если уравнение, составленное к задаче, имеет два корня, то полученные решения требуют смысловой проверки.
5. Обратили внимание на то, что нельзя решать задачу «автоматически»; необходимо, прежде всего внимательно ее прочитать, оценить в каких единицах измеряется каждая величина, данная в задаче, как эти величины связаны между собой и той величиной, которую следует найти, и только после этого, выбрав способ решения, приступить к самому решению.

Дополнительные задачи.