Приёмы устного счёта
статья по математике на тему

Приёмы устного счёта

«Математику уже затем учить следует, что она ум  в порядок приводит».

М.В. Ломоносов

    Задача математики - обеспечение высокого развивающего эффекта обучения, интенсивного влияния на умственное развитие детей. Школа призвана готовить не носителей знания, а активных членов общества с развитым творческим мышлением. Математике принадлежит особая роль в развитии логики мышления.

     Навыки мыслительной деятельности, приобретаемые учащимися в процессе обучения математике, готовность к упорному труду, преодоление трудностей будут нужны им в жизни независимо от того, какую профессию изберет каждый из них после окончания школы.

     Одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у школьников сознательных и прочных вычислительных навыков. О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов. Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях их целенаправленного формирования. Поэтому большое внимание на уроках следует уделять устному счёту, различным приёмам устной работы и письменной с промежуточными устными вычислениями.        

       Устные упражнения развивают у учащихся внимательность,  наблюдательность, сообразительность, инициативу, укрепляют волю, повышают дисциплину и возбуждают интерес к работе.

      Основы обучения математике закладываются в 1-6 классах. Не научим детей считать в этот период, в дальнейшем они будут испытывать трудности. 

     Данная тема важна и актуальна, так как устные вычисления необходимы в жизни каждому человеку. Математика одна из важнейших наук, с ней человек встречается каждый день. Поэтому необходимо формировать у детей вычислительные навыки, для этого используются различные виды устных упражнений.

Приёмы упрощённых вычислений при сложении, вычитании, умножении, делении

1. Сложение.

а) Использование сочетательного закона. Слагаемые группируются так, чтобы в частичных суммах получались круглые или удобно складываемые числа. Складывают сначала высшие разряды.

419 + 92 + 108 = 419 + (92 + 108) = 419 + 200 = 619.

б) Использование переместительного и сочетательного законов. Слагаемые переставляются и группируются.

208 + 116 + 92+314 = (208 +92) +(116 + 314) = 300 + 430 = 730.

в) Округление слагаемых.

489+ 312 = (489+11)+ 300+1 = 500 +300+1 = 801,

1086+597 = 1086+(600–3) = 1686–3 = 1683.

г) Когда слагаемые близки к одному и тому же числу, то сложение заменяется умножением.

402 + 409 + 406 + 407 + 411=407·5 + (–5 + 2– 1+4) = 2035.

2. Вычитание.

а) Уменьшаемое – абсолютно  круглое число   100...0.

1000 – 725 = 275.

Цифра единиц разности есть дополнение цифры единиц вычитаемого до 10, остальные цифры разности – дополнения соответствующих цифр вычитаемого до 9:            6 = 10 – 4,              7 = 9 – 2,            2 = 9–7.

б) Округление   уменьшаемого.

1013 —638 = (1000–638)+ 13 = 375,

1013 —638 = (1013 –13) – (638 – 13) =1000 – 625 = 375

в)  Последовательное  вычитание.

530 – 56 = 530 – 50 – 6 = 480 –6 = 474.

г)  Вычитание суммы и разности.

523 – (123+ 50) = 523 – 123 – 50 =400 – 50 = 350

 221 – (116 –79) = 221– 116 + 79=221 + 79 – 116=184.

д)  Использование сочетательного закона.

613 –208 –392 =613– (208 + 392) = 613–600= 13.

е) Уравнивание цифр единиц уменьшаемого и вычитаемого.

489–276= (486 –276) +3=210+3=213.

563 – 328 = (568 – 328) –5=240–5=235.

 ж) Округление вычитаемого.

1860 – 997=1860–1000 + 3 = 863.

з) Округление    уменьшаемого    и    вычитаемого.

779 –  628 = 780 –  630 – 1 + 2 = 151.

3. Умножение и деление.

Всё разнообразие способов и приёмов умножения основано на законах умножения.

I. Переместительный закон: а · в = в · а.

II. Сочетательный закон: (а · в) · с = а · (в · с) = а · в · с.

III.   Распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания: (а ± в) · с = а · в ± в · с.

 а) Умножение на однозначное число

Чтобы устно умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки множимого затем единицы и оба результата складывают.

54 · 7 = 50 · 7+ 4 · 7 = 350 + 28 = 378

 Когда одно из умножаемых чисел разлагается   на   однозначные   множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. 

225 · 6 = 225 · 2  ·  3 = 450 ·  3= 1350

б) Умножение на двузначное число

Умножение   на   двузначное   число приводят к умножению на однозначное число.

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы.           42 · 16= 42 · 10+ 42 · 6 = 420+ 252 = 672

Разбивать на десятки и единицы удобнее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа, например, 14 = 2 · 7, то пользуются этим, чтобы уменьшить одни из множителей, увеличив другой во столько же раз.     45 · 14 = 90 · 7 = 630

в) Умножение на 4 и на 8

Чтобы устно умножить число на 4 его дважды удваивают. 

112 · 4 = 224 · 2 = 448.

 Чтобы умножить число на 8, его трижды удваивают. 

217 · 8 = 434 · 4 = 868 · 2 = 1736

г) Деление на 4 и на 8

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят пополам. 

76:4 = 38:2 = 19  ;              236:4=118:2 = 59

Чтобы разделить число на 8, его трижды делят пополам. 

464:8 = 232:4 = 116:2= 58     ;         516:8 = 258: 4 = 129 : 2 = 64,5.

д) Умножение на 5 и на 25

Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 10, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам.  

243 ·  5 = 2430 : 2 = 1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль.              474  ·  5 = 237 ·  10 = 2370

Чтобы устно умножить число на 25, его умножают на 100 и делят на 4 (или, если число кратно 4 — делят на 4 и к частному приписывают два ноля). 

72 ·  25 = 18 · 100= 1800

е)  Деление на 5 и на 25

Деление чисел на 5 сводится к делению его на 10 и умножению результата на 2 (или в обратном порядке).          

775 : 5 = 775 · 2 : 10 = 1550 : 10 =155

Деление на 25 сводится к делению его на 100 и умножению результата на 4 (или в обратном порядке).          

775 : 25 = 775 · 4 : 100 = 3100 : 10 = 31

ж) Умножение на 9 и на 11

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое.                      62 · 9 = 620—62= 614

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое.         87 · 11 = 870+87 = 957

 Существуют также частные искусственные приёмы вычислений, но для 5-6 классов они сложноваты.  

1. Умножение   на  11, 100..01,  аа и а0…0а     (а≠1)

          а) Умножение на 11 основано на равенстве: А · 11 = А  · 10 + А, согласно которому к множимому справа приписывают нуль и к полученному числу прибавляют множимое, напр., 17  ·  11 = 170 + 17 = 187. Можно множимое подписывать под множимым, отступя на одно место вправо или влево.

Например,   124 · 11     ( или 1396 · 11 )  выполняется так:

 124                                     1396

   124                                 1396

 1364                                 15356

 43· 11=430+43 = 473

Из последнего примера видно, что при умножении двузначного числа на 11 нужно в результате между цифрами множимого написать их сумму. Если эта сумма больше 10, то из 10 десятков получится лишняя сотня:   84 · 11 = 924.

Здесь 8+4 = 12, следовательно, сотен будет не 8, а 9.

б) Умножение на   числа 10...01.

Пусть  В = 10...01 = 10к+ 1 (к > 2),    А = аnаn-1… а2а1а0

Тогда аналогично п. а) будем иметь: А  · В = А  · 10к+ А == А 0...0 + А. Получаются правила, аналогичные правилам п. а)

21 304 · 101=2 130 400 + 21 304=2151704.

21 304 ·  101 =21304

          21304__

          2151704

Полезно запомнить, что если множимое А состоит из к цифр, то:

А · ( 10к +1) = АА, поэтому достаточно к множимому приписать множимое:

142 ·  1001 = 142142;    8173 · 10001 = 81738173   и   т. д.

Если же А содержит меньше цифр, то к нему слева мысленно приписывается соответствующее число нулей и умножение сводится к предыдущему случаю: 

24  ·  1001 = 24024;   176  ·  100001 = 00176  · 100001 = 17600176 и т. д. 

в) Умножение на числа  аа (а≠1) производится последовательно:

145 · 44=(145 · 4)  · 11 = 580 · 11 = 5800+580 = 6380.

          г) Умножение на числа вида а0...0а  (а≠1) можно производить последовательно:             А · а0...0а = (А · а)  ·10…01,

                                                     k                          k

875  · 8 008 = 875  · 8  · 1 001 = 7000  ·  1 001 = 7007000.

213 ·16 016 = (213 · 4) · 4 ·1 001 = (852 · 4) · 1 001 = 3408 · 1 001 = 3 411 408

д) Умножение на любое двузначное число можно свести к умножению на 11:

А · аЬ = А · (11 · с ± к) = (А · с) · 11 ± А · k, где с — частное от деления множителя на 11, k —остаток.

243 · 56 = 243 · 55+243 = 1215· 11+243= 13 365 + 243 = 13 608.

 2. Умножение   на   9, 99, 999 и т. д.

а) Умножение на 9.

Чтобы умножить  некоторое   число   А на 9, обычно поступают так: увеличивают данное число в десять раз и от полученного числа отнимают множимое. Это правило следует из равенства: А  · 9 = АО— А.

127 · 9 = 1 270 - 127 = 1 143.

б) Умножение  на 99,  999 и т. д.

На числа вида 99...9 можно умножать по правилам,

аналогичным    правилам   п.   а).

1187 · 99=118700 - 1187  = 1175 13.

Устный счёт рекомендуется проводить систематически, т.е. последовательно знакомить учащихся с новыми приёмами расширяя круг приложения приобретённых навыков к числам различной величины и к задачам.

При подборе упражнений для устного счета следует учитывать, что подготовительные упражнения и упражнения для закрепления, должны формироваться проще и прямолинейнее. Здесь не нужно стремиться к особенному разнообразию в формулировках и приемах работы. Упражнения для отработки знаний и навыков и, особенно, для применения их в различных условиях должны быть однообразными. Формулировки заданий по возможности должны быть рассчитаны на то, чтобы они легко воспринимались на слух. Для этого они должны быть четкими и лаконичными, сформулированы легко и определенно, не допускать различного толкования. В случаях, когда все же задания трудны для усвоения на слух, необходимо прибегать к записям или рисункам на доске.

Список литературы 

⦁ Бугулов Е.А. Приёмы быстрого счёта.  Пособие для учителя. – Орджоникидзе, Северо –осетинское книжное издательство, 1964.

⦁ Голубев В.А.   Устный счёт в средней школе. – «Математика в школе», 1946, №3.

⦁ Игнатьев В. А., Пономарёв С.А,  Обуховская Е.Н.   Сборник задач и упражнений для устных занятий по математике. Пособие для учителя. – М., Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1952.

⦁ Коликов А.Ф  Изобретательность в вычислениях. – М.: Дрофа,2003.

⦁ Кувыркин Н. Устные вычисления в старших классах. – «Математика в школе», 1937, № 1.

⦁ Нагибин Ф. Устные вычисления и преобразования на уроках математики в средней школе. – «Математика в школе», 1937, №4.

⦁ Перельман Я.И.  Быстрый счёт. Тридцать простых приёмов устного счёта. – Ленинград, 1941.