олимпиада по математике для 7 класса
олимпиадные задания по математике (7 класс) на тему

Задания школьного этапа ВОШ. 7 класс.

1. Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B - C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?
2. За круглым столом сидят Петя, Bова, Митя, Егор. У каждого из них есть по несколько яблок. Сначала Петя дал каждому из остальных по столько яблок, сколько тот уже имел (тем самым удвоив число яблок у всех, кроме себя). После этого Bова сделал то же самое, и так далее до Егора. После этого у всех оказалось по 32 яблока. Сколько у кого было яблок в начале?
3. Две свечи, каждая длиной 36 см, но разной толщины, зажгли одновременно. Тонкая свеча может гореть 12ч, а толстая — 18ч. Через какое время одна свеча стала в 2 раза короче другой?
4. Разрежьте квадрат 7x7 на пять частей и переложите их так, чтобы получились три квадрата: 2x2, 3x3, 6x6. Постарайтесь это сделать несколькими способами.
5. Докажите, что их любых трех целых чисел можно выбрать два, сумма которых четна.

Решения

1. Решение: Если A = 0, то либо B = 0, либо B - C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B. Отсюда следует, что B > 0. Значит, B - положительно, а A – отрицательно.
2. Задачу проще всего решить, проделав операции с яблоками в обратную сторону. Сначала у каждого по 32 яблока, затем Егор забирает у каждого половину его яблок. Эта операция действительно обратна к той, что описана в условии задачи, так как в результате операции из условия у всех, кроме D, количество яблок удваивается, а в результате этой операции Егор оно в два раза уменьшается. Потом то же самое делает Митя, затем Вова и, наконец, Петя:

Значит в начале количество яблок было таким:

3. Тонкая свеча за час становится короче на 3см, через х часов ее длина станет (36 — 3х) см. Толстая свеча за час сгорает на 2см, через х часов ее длина будет равна (36 - 2х) см. Получаем уравнение 36 - 2х = 2(36 - 3х), 2х = 18, х = 9. Ответ: через 9 часов.

4. См

5. Все целые числа можно разбить на два класса: четные и нечетные. Невозможно распределить три числа по двум классам так, чтобы ни в какой класс не попало более одного числа. Значит, среди любых трех целых чисел найдутся два числа одинаковой четности. Их сумма четна.

Критерии оценивания