Высшая математика. Решение задач по теории вероятности
учебно-методический материал по математике

Задача 1
В урне10 белых и 25 черных шаров. Вынули подряд 2 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из 2 вынутых шаров окажется два белых?
Решение. 

Вероятность извлечения белого шара p=10/35=2/7 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=5/7.

Используя формулу Бернулли, получаем

P2(2) = C22·p2·q2=(2/1)·(2/7)2·(5/7)2 = 200/2401

Задача 2

Имеются 4 урны. В первой урне 1 белый и 3 черных шаров, во второй-3 белых и 5 черных шара, в третьей - 4 белых и 3 черных шара, и четвертой - 1 белый и 3 черных шаров. Событие Hi- выбор i-й урны (i=1,2,3,4). Известно, что вероятность выбора i-й урны равна i/10 Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. 

Введём полную группу гипотез:

Н1- вынут из первой урны

Н2- вынут из второй урны

Н3 и Н4 из третьей и четвертой урн соответственно

Пусть событие А- {выбран белый шар}                                                                   Применим формулу Байеса:

P(A)=P(A1)P(A1/H1)+...P(A4)*P(A4/H4)= =1/4*1/10+3/10*3/8+4/7*3/10+1/4*4/10=19/80+12/70=229/5600~0,04 Вероятность достать белый шар около 4%

Задача 3

Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,6. Сделано 30 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Решение. Здесь n=30, p=0,6, q=0,4. Следовательно,

30·0,6-0,4 ≤ m0 ≤ 30·0,6 + 0,6, т.е. 17,6 ≤ m0 ≤ 18,6.

Так как m - целое число, то m0=18. 

Задача 4

Случайная величина Х характеризуется рядом распределения

Определить:

• Числовые характеристики данной случайной величины;
• Её начальные и центральные моменты(до 4-го порядка     включительно);
• Асимметрию и эксцесс данной случайной величины;
• По результатам расчётов построить кривую заданного распределения.

Решение. 

Определение средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической:

Средняя по сгруппированным данным равна 2,1

Построим таблицу расчётных данных:

 Дальнейший расчёт производится обычным методом определения средней арифметической.

Средняя по сгруппированным данным равна 2,1

б) Определим моду.

Мода - это величина признака наиболее часто встречающегося в совокупности.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где

хМо – начальное значение интервала, содержащего моду;

iМо – величина модального интервала,

fМо – частота модального интервала,

fМо-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

fМо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода значение х с наибольшей частотой

f = 0,5.

  Мода равна 1. Медиана-2.

в) Найдём среднее квадратическое отклонение:

Дисперсия будет равна:

σ2 = 2,29

Среднее квадратическое отклонение примерно равно 1,5

Значения размера активов в ряду распределения могут отличаться от среднего значения на 1,5.

г) Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Коэффициент вариации равен 71%.

Совокупность неоднородна, так как коэффициент вариации превышает 33%.

д) Рассчитаем показатель асимметрии через отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, то есть

где μ3 - центральный момент третьего порядка, рассчитываемый по формуле:

μ3 = 5,5436/ 1 = 5,5436

As = 5,5436/ 1,53 = 1,35

Так как величина показателя асимметрии положительна, следовательно, речь идёт о правосторонней асимметрии.

Полученный результат свидетельствует о наличии несущественной по величине и положительной по своему характеру асимметрии.

Далее рассчитаем показатель эксцесса (Еk). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвёртого порядка:

μ4 = 14,8777/ 1 = 14,8777

σ4 = 4,9625

Ek = 14,8777/ 4,9625– 3 = 2,98 - 3 = -0,02

По результатам расчётов среднего и среднеквадратического отклонений строим кривую заданного распределения

Задача 5

По  статистическому распределению выборки

Установить:

• Объём этой выборки;
• Составить вариационный ряд данной выборки;
• Найти моду и медиану вариационного ряда.

1.Сумма всех частот равна объему выборки ∑ni=n=10.

2.Объем выборки: n=2+4+3+1=10. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки ni/n=wi: wi=2/10=0.2; w2=4/10=0.4; w3=0.3; w4=1/10=0.1. Напишем распределение относительных частот:

Контроль: 0,2+0,4+0,3+0,1=1.

3.Выборочная медиана – это середина вариационного ряда, значение, расположенное на одинаковом расстоянии от левой и правой границы выборки.

(3+5)/2=4

Выборочная мода – это наиболее вероятное с наибольшей частотой, то есть 3.