Задачи с окружностью на готовых чертежах
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9 класс)

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее (на рисунке это угол ВАС).

Центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают ее (на рисунке это угол ВОС)

Свойства

1. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
2. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90°.

1

Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

5

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 130∘. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

2

Точка О — центр окружности, ∠BOC=160° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

6

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=140∘. Длина меньшей дуги AB равна 98. Найдите длину большей дуги.

3

Точка О — центр окружности, ∠BAC=40° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

7

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=25∘. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

4

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=38∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

8

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 75°. Найдите величину угла ODC.

Касательная окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
2. Отрезки касательных проведенных из одной точки, равны

Вписанные и описанные четырехугольники

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда  и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 1800

Четырехугольник можно описать около  окружности тогда  и только тогда, когда суммы длин  его противоположных сторон раны

9

Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 84∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

13

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 820 и 580. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

10

В угол C величиной 40∘ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

14

В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 22, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

11

К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если

AB =12 , AO =13 .

15

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон

равна 6.

12

Отрезок AB=48 касается окружности радиуса 14 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

16

Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 130°.