Предел функции
методическая разработка по математике (11 класс)

Слайд 1

Предел функции Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году. Различают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности .

Слайд 2

Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все же изображают они три разные функции, отличающиеся друг от друга своим поведением в точке . Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

Слайд 3

Случай 1. А

Слайд 4

Случай 2. А

Слайд 5

Случай 3. А В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а

Слайд 6

A

Слайд 7

Предел функции в точке y 0 х х 0 А δ окрестность точки x 0 ε окрестность точки А Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

Слайд 8

Прежде чем перейти к разбору решений примеров заметим, что если предел функции при стремлении к равен значению функции в точке , то в таком случае функцию называют непрерывной . График такой функции представляет собой сплошную линию, без «проколов» и «скачков» .

Слайд 9

Функцию называют непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются : Функция непрерывна на луче функция непрерывна на промежутках

Слайд 10

Число b называется пределом функции в точке а , если для всех значений х , достаточно близких к а и отличных от а , значение функции f (x ) сколь угодно мало отличается от b . Если функция f (x) имеет предел в точке х, то этот предел единственный. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Слайд 11

х →0 11

Слайд 12

Вычисление предела : начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) . Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:

Слайд 13

Примеры . Вычислите:

Слайд 14

Теорема 1. Предел суммы (разности) 2-х функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

Слайд 15

Теорема 2. Предел константы равен самой этой константе.

Слайд 16

Теорема 3. Предел произведения 2-х функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

Слайд 17

Теорема 4. Предел отношения 2-х функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от 0 :

Слайд 18

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Слайд 19

Теорема 6. Предел степени переменного равен той же степени предела основания:

Слайд 20

Вычисление пределов Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности , а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности .

Слайд 21

. достаточно числитель и знаменатель дроби разделить на множители, и затем сократить на множитель, приводящий к неопределенности.

Слайд 22

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Слайд 23

Вычислите

Слайд 25

Односторонние пределы В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0 ), большим, чем x 0 (справа от x 0 ), или колеблясь около точки x 0 . Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0 , если для любого ε > 0 найдется такое δ >0 , что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:

Слайд 26

Односторонние пределы Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0 , если Предел справа записывают так: y 0 х А 1 х 0 А 2 Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами . Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2 y 0 х А 1 =А 2 =А х 0