Технологическая карта урока по геометрии в 11 классе "Решение задач на вычисление объёмов геометрических тел ( задания по ЕГЭ)"
план-конспект урока по математике (11 класс)

Раздел 1. ПОВТОРЕНИЕ КУРСА 10 КЛАССА (4 часа)

Объем освоения и уровень владения компетенциями раздела «Повторение курса 10 класса» ( в процентном соотношении)

Знание

%

Способ деятельности

%

репродуктивное с опорой

6

репродуктивно-несамостоятельный (усвоение внешней формы способа)

16

репродуктивно-алгоритмическое

90

94

репродуктивно-самостоятельный (освоение сущностного отношения в способе)

80

84

продуктивно-комбинаторное (эвристическое)

2

продуктивно-самостоятельный (самостоятельность применения в ситуации частичной неопределенности)

2

продуктивно-креативное (творческое)

2

творчески-самостоятельный (эмансипация способа)

2

Ценностное отношение

%

Личностный смысл

%

нейтральное

14

предметно-содержательный

40

ситуативно-заинтересованное

26

86

личностно-групповой

40

60

устойчивая актуальность

60

индивидуально-личностный/жизненно-практический

20

Цели ученика:

∙ повторение понятий: параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, призмы, пирамиды, формулы вычисления  площади поверхности изученных многогранников, вектор и  его свойства;

∙ обобщение единичных знаний в систему:

– описывание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;
– распознавание на чертежах и моделях пространственных форм;

– соотнесение трехмерных объектов с их описаниями, изображениями;

– применение векторного метода  для решения задач.

Показать владение теоретическими и практическими знаниями по теме раздела  «Повторение курса 10 класса» на контрольном уроке

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для обобщения и систематизации сведений о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, о классе многогранников и векторах;

∙ расширения и совершенствования геометрического аппарата, сформированного в курсе геометрии 10 класса;

∙ формирования умения логически обосновывать суждения, выдвигать гипотезы и понимать необходимость их проверки;

∙ формирования умения ясно, точно и грамотно выражать свои мысли
в устной и письменной речи, использовать различные языки математики
(словесный, символический, графический) и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета сделанных ошибок.

Познавательные: проводить сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям.

Коммуникативные: учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

№

п/п

Тема
и тип
урока

Вид
педагогической деятельности.
Дидактическая
модель педагогического процесса

Педагогические

средства

Ведущая деятельность,
осваиваемая  
в системе  занятости
(на уроке)

Формы
организации
совзаимодействия

на уроке

Планируемые образовательные результаты

Информационно-методическое обеспечение педагогической системы урочной и внеурочной занятости учащихся
(ЦОР)

Внеурочная деятельность

Самостоятельная
работа

Календарные
сроки

объем освоения
и уровень владения компетенциями

компоненты
культурно-компетентностного опыта /

приобретенная

компетентность

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей

(комбинированный)

Проблемное изложение

Проблемные задания

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Умеют описывать взаимное расположение прямых и плоскостей
в пространстве.

Могут аргументировать свои суждения о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве

Осуществляют проверку выводов, положений, закономерностей, теорем; предметная компетенция

ЦОР [3]*
(см. Примечание).

Демонстрационные плакаты 1, 2

– Поиск ин-
формации
с использованием интернет-ресурсов:

http://
lyceum8.com;

– дистанционный курс

Гл. 1 и 2 (10 кл.); самообразование:
http://
uztest.ru

2

Многогранники

(комбинированный)

Проблемное изложение

Проблемные задания

Учебная, познавательная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают определения призмы, пирамиды; формулы вычисления площади поверхности изученных многогранников.

Умеют изображать на чертеже призмы и пирамиды; распознавать на чертежах и моделях простран-

Могут аргументированно отвечать на поставленные вопросы, осмыслить ошибки

ЦОР [8].

Демонстрационные плакаты 3, 4

Гл. 3
(10 кл.); творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

ственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями

и устранить их; целостная компетенция

«Геометрия. 10–11»;

– обучение
в мультимедийном кабинете;
– представление результатов индивидуальной или групповой познавательной деятельности
в форме сочинения, резюме, исследовательского проекта, публичной презентации

3

Векторы
в пространстве

(комбинированный)

Учебный практикум

Упражнения, практикум

Познавательная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают определение вектора и умеют применять векторный метод для решения задач.

Могут самостоятельно искать
и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию

Умеют проводить сравнительный анализ, сопоставлять, рассуждать; предметная компетенция

ЦОР [11].

Демонстрационные плакаты 5

Гл. 4
(10 кл.);  индивидуальное творческое задание

4

Вводная
контрольная
работа

(контроль, оценка и коррекция знаний)

Урок проверки знаний

Самостоятельное планирование и проведение исследования решения

Освоение практического навыка решения контрольных заданий

Индивидуальная

Учащиеся демонстрируют знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей,
о классе многогранников и векторах.

Учащиеся могут свободно описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве; распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты
с их описаниями, изображениями; применять векторный метод для решения задач

Могут оформлять решения, выполнять перенос ранее усвоенных способов действий; предметная компетенция

Интернет-ресурс

http://
uztest.ru

Тестовые задания
в форме ЕГЭ типа B и C

Гл. 1–4
(10 кл.); самообразование:
http:/
uztest.ru

Раздел 2. Метод координат в пространстве (18 часов)

Объем освоения и уровень владения компетенциями раздела «Метод координат в пространстве» (в процентном соотношении)

Знание

%

Способ деятельности

%

репродуктивное с опорой

5

репродуктивно-несамостоятельный (усвоение внешней формы способа)

12

репродуктивно-алгоритмическое

89

95

репродуктивно-самостоятельный (освоение сущностного отношения в способе)

81

88

продуктивно-комбинаторное (эвристическое)

3

продуктивно-самостоятельный (самостоятельность применения в ситуации частичной неопределенности)

4

продуктивно-креативное (творческое)

3

творчески-самостоятельный (эмансипация способа)

3

Ценностное отношение

%

Личностный смысл

%

нейтральное

12

предметно-содержательный

35

ситуативно-заинтересованное

25

88

личностно-групповой

42

65

устойчивая актуальность

63

индивидуально-личностный/жизненно-практический

23

Модуль 1. Координаты вектора (6 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Координаты вектора» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙иметь представление о прямоугольной системе координат в пространстве, координатном и векторном методах решения простейших задач, связи между координатами векторов и координатами точек;

∙овладеть умением:

– решать задачи на нахождение координат точек;

– применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве;

– применять формулы для решения несложных задач

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений о прямоугольной системе координат в пространстве, координатном и векторном методах решения простейших задач, связи между координатами векторов и координатами точек;

∙ формирования умений решать задачи на нахождение координат точек;

∙ овладения умением применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве;

∙ овладения навыками применять формулы для решения несложных задач;

∙ овладения умением проводить доказательные рассуждения в ходе решения стереометрических задач

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: различать способ и результат действия.

Познавательные: использовать поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы.

Коммуникативные: контролировать действие партнера.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

5

Прямоугольная система координат в пространстве

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа
с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают составляющие прямоугольной системы координат в пространстве.

Умеют строить точку по координатам и определять координаты точки; находить и использовать информацию

Осуществляют проверку выводов, положений, закономерностей, теорем; предметная компетенция

ЦОР [3].

Демонстрационные плакаты 1, 2

– Дистанционный курс «Геометрия. 7–11»
http://
lyceum8.com;

– факультативное занятие;

– дистанционный курс

Гл. 5,
§ 1,
п. 46; самообразование:
http://
uztest.ru

6

Прямоугольная система координат в пространстве

(применение и совершенствование знаний)

Репродуктивная

Упражнения, практикум, работа
с книгой

Познавательная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знакомы с прямоугольной системой координат в пространстве.

Умеют строить точку по координатам и находить координаты точки

Могут аргументированно отвечать на поставленные вопросы,  осмыслить ошибки
и устранить их; целостная компетенция

ЦОР [8].

Демонстрационные плакаты 3, 4

Гл. 5,
§ 1,
п. 46; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

7

Координаты вектора

(изучение нового материала)

Проблемное изложение

Проблемные задания

Учебная, познавательная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают определение координат вектора. Умеют решать простейшие задачи, осуществлять проверку выводов, положений, закономерностей, теорем

Умеют проводить сравнительный анализ, сопоставлять, рассуждать; предметная компетенция

ЦОР [11].

Демонстрационные плакаты 5

«Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;
– обучение
в мультимедийном кабинете;

– учебное исследование
по теме модуля, поиск информации
с использованием интернет-ресурсов;

– элективное занятие;

Гл. 5,  
§ 1,
п. 47; индивидуальное творческое задание

8

Координаты вектора

(применение и совершенствование знаний)

Поисковая

Организация совместной учебной деятельности

Познавательная, рефлексивная

Групповая
по психофизическим особенностям:
координатор,исполнитель, скептик, рационализатор

Знают определение координат вектора. Умеют решать несложные задачи.

Могут дать оценку информации, фактам, процессам, определять их актуальность

Умеют определять понятия, приводить доказательства; целостная компетенция

Слайд-лекция «Координаты вектора»

Гл. 5,  
§ 1,
п. 47; самообразование:
http://
uztest.ru

9

Связь между координатами векторов и координатами точек

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа
с книгой, демонстрация плакатов.

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают о связи между координатами векторов и координатами точек.

Умеют применять формулы для решения задач.

Могут выделить и записать главное, привести примеры

Умеют вступать в речевое общение, участвовать в диалоге; предметная компетенция

ЦОР [14].

Демонстрационные плакаты 7

Гл. 5,  
§ 1,
п. 48; самообразование:
http://
uztest.ru

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

10

Связь между координатами векторов и координатами точек

(применение и совершенствование знаний)

Проблемное изложение

Проблемные задания

Учебная, познавательная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают о связи между координатами векторов и координатами точек.

Умеют применять формулы для решения задач разной сложности

Интернет-ресурс
http://
uztest.ru

Тестовые задания

в форме ЕГЭ типа B и C

представление результатов индивидуальной или групповой познавательной деятельности

Гл. 5,
§ 1,
п. 48; индивидуальное творческое задание

Модуль 2. Простейшие задачи в координатах (6 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Простейшие задачи в координатах» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙ иметь представление о прямоугольной системе координат в пространстве, координатах вектора, связи между координатами векторов и координатами точек;

∙ овладеть умением:

– решать задачи на нахождение скалярного произведения векторов;

– вычислять угол между векторами в пространстве;

– решать несложные задачи в координатах.

Показать владение теоретическими и практическими знаниями по теме раздела  «Простейшие задачи в координатах» на контрольном уроке

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений о прямоугольной системе координат в пространстве, координатах вектора, связи между координатами векторов и координатами точек;

∙ формирования умений решать задачи на нахождение скалярного произведения векторов;

∙ овладения умением вычислять угол между векторами в пространстве;

∙ овладения навыками решать несложные задачи в координатах

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.

Познавательные: проводить сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям.

Коммуникативные: контролировать действие партнера.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

11

Простейшие задачи в координатах  

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа

с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Имеют представление о 3 простейших задачах в координатах.

Умеют решать задачи.

Могут участвовать в диалоге, понимают точку зрения собеседника, подбирают аргументы для ответа на поставленный вопрос, приводят примеры

Могут аргументированно отвечать
на поставленные вопросы, осмыслить ошибки
и устранить их; целостная компетенция

ЦОР [5].

Демонстрационные плакаты 6

– Дистанционный курс «Геометрия. 7–11» http://
lyceum8.com;

факультативное занятие;

Гл. 5,  
§ 1,
п. 49; самообразование:
http://
uztest.ru

12

Простейшие задачи в координатах

(применение и совершенствование знаний)

Репродуктивная

Упражнения, практикум, работа
с книгой

Познавательная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают о 3 простейших задачах в координатах.

Умеют решать задачи, используя эти простейшие задачи в координатах задачи.

Воспринимают устную речь, составляют конспект, могут разобрать примеры

Умеют развернуто обосновывать суждения, приводить доказательства,
в том числе
от противного; предметная компетенция

Слайд-лекция «Простейшие задачи в координатах»

дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;

– обучение
в мультимедийном кабинете;

– учебное исследование
по теме модуля, поиск информации
с использованием

Гл. 5,  
§ 1,
п. 49; творческое задание группам

12

Простейшие задачи в координатах

(применение и совершенствование знаний)

Репродуктивная

Упражнения, практикум, работа
с книгой

Познавательная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают о 3 простейших задачах в координатах.

Умеют решать задачи, используя эти простейшие задачи в координатах задачи.

Воспринимают устную речь, составляют конспект, могут разобрать примеры

Умеют развернуто обосновывать суждения, приводить доказательства,
в том числе
от противного; предметная компетенция

Слайд-лекция «Простейшие задачи в координатах»

– дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;

– обучение
в мультимедийном кабинете;

– учебное исследование
по теме модуля, поиск информации
с использованием

Гл. 5,  
§ 1,
п. 49; творческое задание группам

13

Простейшие задачи в координатах  

(комбинированный)

Проблемное изложение

Проблемные задания

Учебная, познавательная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают о 3 простейших задачах в координатах.

Умеют решать простейшие задачи в координатах.

Могут рассуждать, обобщать, видеть несколько решений одной задачи

Могут оформлять решения или сокращать решения, в зависимости от ситуации

ЦОР [11].

Демонстрационные плакаты 6

Гл. 5,
§ 1,
п. 49; индивидуальное творческое задание

14

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа

с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают об угле между векторами и скалярном произведении векторов.

Умеют вычислять угол между векторами в пространстве, находить скалярное произведение векторов

Могут работать по заданному алгоритму, доказывать правильность решения с помощью аргументов; предметная компетенция

Слайд-лекция «Скалярное произведение векторов»

Гл. 5,  
§ 2,
п. 50; самообразование:
http://
uztest.ru

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

(применение и совершенствование знаний)

Репродуктивная

Упражнения, практикум

Познавательная.

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают об угле между векторами и скалярном произведении векторов.

Умеют применять векторно-координатный метод к решению несложных задач

Умеют объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах; целостная компетенция

ЦОР [5].

Демонстрационные плакаты 6

интернет-ресурсов;

– элективное занятие;
– представление результатов познавательной деятельности

Гл. 5,
§ 2,
п. 51; тестирование по теме модуля

на сайте

http://lyce-um8.com

16

Контрольная работа 1

(контроль, оценка и коррекция знаний)

Урок проверки знаний

Самостоятельное планирование

и проведение исследования решения

Освоение практического навыка решения контрольных заданий

Индивидуальная

Учащихся демонстрируют: знания о прямоугольной системе координат в пространстве, координатах вектора, связи между координатами векторов и координатами точек.

Учащиеся могут свободно  пользоваться этими понятиями при решении простейших задач в координатах

Могут оформлять решения, выполнять перенос ранее усвоенных способов действий; предметная компетенция

Интернет-ресурс

http://
uztest.ru

Тестовые задания
в форме ЕГЭ типа

B и C

Гл. 5,  
§ 1–2; разно- уровневые задания

Модуль 3. Движение (6 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Движение» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙ иметь представление о формуле для вычисления углов между прямыми и плоскостями  в пространстве, различных видах симметрии, угле между векторами, скалярном произведении векторов, центральной симметрии, осевой симметрии, зеркальной симметрии, параллельном переносе;

∙ овладеть умением:

– применять формулу к решению несложных задач;

– решать несложные задачи на различные виды движения;

– свободно вычислить угол между прямыми;

– осуществлять преобразования симметрии в пространстве и решать задачи.

Показать владение теоретическими и практическими знаниями по теме раздела  «Движение» на контрольном уроке

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений о формуле для вычисления углов между прямыми и плоскостями в пространстве, различных видах симметрии, угле между векторами, скалярном произведении векторов, центральной симметрии, осевой симметрии, зеркальной симметрии, параллельном переносе;

∙ формирования умений применять  формулу к решению несложных задач;

∙ овладения умением решать  несложные задачи на различные виды движения;

∙ овладения навыками свободно  вычислить угол между прямыми; 

∙ формирование умения осуществлять преобразования симметрии в пространстве и решать задачи

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: различать способ и результат действия.

Познавательные: владеть общим приемом решения задач.

Коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

17

Вычисление углов между прямыми
и плоскостями

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа
с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают формулу для вычисления углов между прямыми и плоскостями в пространстве.

Умеют применять формулу для вычисления углов между прямыми и плоскостями в пространстве к решению несложных задач.

Могут рассуждать, обобщать, видеть несколько решений одной задачи

Могут объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах; целостная компетенция

ЦОР [13].

Демонстрационные плакаты 7

– Дистанционный курс «Геометрия. 7–11» http://
lyceum8.com;

– факультативное занятие;

– дистанционный курс

Гл. 5,  
§ 3,
п. 52; самообразование:
http://
uztest.ru

18

Вычисление углов между прямыми и плоскостями

(применение и совершенствование знаний)

Репродуктивная

Упражнения, практикум, работа
с книгой

Познавательная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают формулу для вычисления углов между прямыми и плоскостями в пространстве.

Умеют применять формулу к решению задач

Умеют участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение; предметная компетенция

Слайд-лекция «Скалярное произведение векторов»

Гл. 5,  
§ 3,
п. 52; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

19

Вычисление углов между прямыми
и плоскостями

(комбинированный)

Проблемное изложение

Изучение материала быстрым темпом

Учебная, познавательная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают формулу для вычисления углов между прямыми и плоскостями в пространстве.

Умеют применять эту формулу к решению задач.

Могут рассуждать и обобщать, подбирать аргументы, соответствующие решению, участвуют в диалоге

Могут свободно работать
с текстами научного стиля. Используют компьютерные технологии для создания базы данных

ЦОР [9].

Демонстрационные плакаты 7

«Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;
– обучение
в мультимедийном кабинете;

– учебное исследование
по теме модуля, поиск информации
с использованием интернет-ресурсов;

– элективное занятие;

Гл. 5,  
§ 3,
п. 52;  индивидуальное творческое задание

20

Центральная симметрия. Осевая симметрия. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос (изучение нового материала)

Репродуктивная

Упражнения, практикум

Познавательная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знакомы с различными видами симметрии.

Умеют решать простейшие задачи.

Могут подобрать аргументы, соответствующие решению, участвовать в диалоге, проводить сравнительный анализ

Могут привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы; предметная компетенция

Слайд-лекция «Симметрия»

Гл. 5,  
§ 3,
п. 54–57; самообразование:
http://
uztest.ru

21

Центральная симметрия. Осевая симметрия. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос (комбинированный)

Поисковый

Проблемные задания, фронтальный опрос, упражнения

Учебная, познавательная

Групповая
по психофизическим особенностям: координатор, исполнитель, скептик, рационализатор

Знают виды движения и их свойства.

Умеют осуществлять преобразования симметрии в пространстве и решать задачи.

Могут отразить в письменной форме свои решения, аргументированно отвечать на вопросы собеседников

Умеют обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства, примеры; целостная компетенция

ЦОР [15]. Демонстрационные плакаты 7

Гл. 5,
§ 3,
п. 54–57; разно-уровневые задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

22

Контрольная работа 2

(контроль, оценка и коррекция знаний)

Урок проверки знаний

Самостоятельное планирование и проведение исследования решения

Освоение практического навыка решения контрольных заданий

Индивидуальная

Демонстрируют знания об угле между векторами, скалярном произведении векторов, центральной симметрии, осевой симметрии, зеркальной симметрии, параллельном переносе.

Могут свободно вычислить угол между прямыми и плоскостями и решать сложные задачи на движение

Могут оформлять решения, выполнять перенос ранее усвоенных способов действий; предметная компетенция

Интернет-ресурс

http://
uztest.ru

Тестовые задания
в форме ЕГЭ типа

B и C

представление результатов познавательной деятельности

Гл. 5, § 1–3; тестирование по теме модуля на сайте

http://
lyceum8.com

Раздел 3. ЦИЛИНДР, КОНУС, ШАР (20 часов)

Объем освоения и уровень владения компетенциями раздела «Метод координат в пространстве» (в процентном соотношении)

Знание

%

Способ деятельности

%

репродуктивное с опорой

4

репродуктивно-несамостоятельный (усвоение внешней формы способа)

8

репродуктивно-алгоритмическое

86

96

репродуктивно-самостоятельный (освоение сущностного отношения в способе)

82

92

продуктивно-комбинаторное (эвристическое)

6

продуктивно-самостоятельный (самостоятельность применения в ситуации частичной неопределенности)

5

продуктивно-креативное (творческое)

4

творчески-самостоятельный (эмансипация способа)

5

Ценностное отношение

%

Личностный смысл

%

нейтральное

12

предметно-содержательный

30

ситуативно-заинтересованное

23

88

личностно-групповой

45

70

устойчивая актуальность

65

индивидуально-личностный/жизненно-практический

25

Модуль 1. Цилиндр и конус (6 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Цилиндр и конус» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙ иметь представление о телах вращения (цилиндре, конусе), формулах вычисления площади поверхности цилиндра и площади поверхности конуса;

∙ овладеть умением

– применять формулы площади полной поверхности цилиндра и конуса
к решению задач на доказательство;

– находить площади поверхностей тел вращения;

– применять формулы площади полной поверхности цилиндра к решению задач на вычисление

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений о телах вращения (цилиндре, конусе), формулах вычисления площади поверхности цилиндра и площади поверхности конуса;

∙ формирования умений применять формулы площади полной поверхности цилиндра и конуса к решению задач на доказательство;

∙ овладения умением находить площади поверхностей тел вращения;

∙ овладения навыками применять формулы площади полной поверхности цилиндра к  решению задач на вычисление

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения.

Познавательные: строить речевое высказывание в устной и письменной форме.

Коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

23

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра (изучение нового материала)

Комбинированная

Фронтальный опрос. Работа
с демонстрационным материалом

Информационно-  коммуникационная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают определение цилиндра.

Умеют применять формулы площади полной поверхности цилиндра к решению задач на вычисление.

Могут рассуждать и обобщать, вести диалог, выступать с решением проблемы

Могут оформлять решения или сокращать их, в зависимости от ситуации

ЦОР [4].

Демонстрационные плакаты 7

Дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
lyceum8.com;

Гл. 6,  
§ 1,
п. 59–60; самообразование:
http://
uztest.ru

24

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра (применение и совершенствование знаний)

Учебный практикум

Построение алгоритма действия, решение упражнений

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают определение цилиндра.

Умеют применять формулы площади полной поверхности цилиндра к решению задач на вычисление, выполнять и оформлять тестовые задания, сопоставлять предмет и окружающий мир

Могут аргументированно отвечать на вопросы собеседников; предметная компетенция

Слайд-лекция «Цилиндр»

факультативное занятие;
дистанционный курс

Гл. 6,  
§ 1,
п. 59–60; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

25

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра (применение и совершенствование знаний)

Проблемное изложение

Обучение на высоком уровне трудности

Учебная, познавательная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают определение цилиндра.

Умеют применять формулы площади полной поверхности цилиндра к решению задач на вычисление и доказательство.

Могут аргументированно отвечать на вопросы собеседников

Могут оформлять решения, выполнять перенос ранее усвоенных способов действий

ЦОР [12].

Демонстрационные плакаты 7

«Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;
обучение
в мультимедийном кабинете; учебное исследование

по теме модуля, поиск информации с использованием интернет-ресурсов;

элективное занятие;

Гл. 6,  
§ 1,
п. 60; индивидуальное творческое задание

26

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра (комбинированный)

Урок- зачет

Организация совместной учебной деятельности

Учебная

Групповая
по психофизическим особенностям:
координатор, исполнитель, скептик, рационализатор

Знают определение цилиндра.

Умеют применять формулы площади полной поверхности цилиндра к решению задач на вычисление и доказательство. 

Умеют работать по заданному алгоритму, выполнять и оформлять тестовые задания

Умеют аргументированно отвечать на поставленные вопросы, могут осмыслить ошибки
и устранить их; целостная компетенция

Интернет-ресурс

http://
uztest.ru

Тестовые задания
в форме ЕГЭ типа

B и C

Гл .6;
§ 1,
п. 60; самообразование:
http://
uztest.ru

27

Понятие конуса. Площадь поверхности конуса

(изучение нового материала)

Поисковая

Проблемные задания

Информационно-коммуникационная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают определение конуса.

Умеют применять формулы площади полной поверхности конуса к решению простейших задач на вычисление, проводить информационно-смысловой анализ прочитанного текста, составлять конспект и участвовать в диалоге

Могут воспроизвести теорию с заданной степенью свернутости; целостная компетенция

ЦОР [9].

Демонстрационные плакаты 7

Гл 6; § 2,
п. 61–62; тестирование
по теме модуля на сайте

http://
lyceum8.com

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

28

Понятие конуса. Площадь поверхности конуса

(применение и совершенствование знаний)

Урок-семинар

Усвоение знаний

в системе.

Обобщение единичных

знаний

в систему

Рефлексивная

Индивидуальная

Знают определение конуса.

Умеют применять формулы площади полной поверхности конуса к решению задач на вычисление.

Могут собрать материал для сообщения по заданной теме

Могут на основе комбинирования ранее изученных алгоритмов и способов действия решать нетиповые задачи, выполняя продуктивные действия эвристического типа

Слайд-лекция «Конус»

представление результатов индивидуальной или групповой познавательной деятельности в форме сочинения, резюме, исследовательского проекта, публичной презентации

Гл. 6;
§ 2,
п. 62; самообразование:
http://
uztest.ru

Модуль 2. Сфера и шар (6 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Сфера и шар» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙ иметь представление об усеченном конусе, формуле вычисления поверхности усеченного конуса, сфере и шаре, уравнении сферы, взаимном расположении сферы и плоскости, касательной плоскости к сфере, формуле вычисления поверхности сферы;

∙ овладеть умением:

– применять формулы площади полной поверхности  усеченного конуса к  решению задач на доказательство;

– применять формулы площади полной поверхности усеченного конуса к  решению задач на вычисление;

– применять формулы для решения простейших задач на составление уравнения сферы

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений об усеченном конусе, формуле вычисления поверхности усеченного конуса, сфере и шаре, уравнении сферы, взаимном расположении сферы и плоскости, касательной плоскости к сфере, формуле вычисления поверхности сферы;

∙ формирования умений применять формулы площади полной поверхности усеченного конуса к решению задач на доказательство;

∙ овладения умением применять формулы площади полной поверхности усеченного конуса к решению задач на вычисление;

∙ овладения навыками применять формулы для решения простейших задач на составление уравнения сферы

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.

Познавательные: использовать поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы.

Коммуникативные: учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

29

Понятие усеченного конуса. Площадь поверхности усеченного конуса

(изучение нового материала)

Комбинированная

Фронтальный опрос. Работа
с демонстрационным материалом

Информационно-коммуникационная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают определение полного
и усеченного конусов.

Умеют применять формулы площади полной поверхности усеченного конуса к решению задач на вычисление, определять понятия, приводить доказательства.

Могут применять формулы к решению задач на доказательство

Могут воспроизвести теорию с заданной степенью свернутости; целостная компетенция

ЦОР [8].

Демонстрационные плакаты 8

Дистанционный курс «Геометрия. 7–11» http://
lyceum8.
com;

факультативное занятие;

дистанционный   курс «Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;

– обучение
в мультимедийном кабинете;

– учебное исследование
по теме модуля, поиск информации

Гл. 6,  
§ 2,
п. 63; самообразование:
http://
uztest.ru

30

Понятие усеченного конуса. Площадь поверхности усеченного конуса

(применение и совершенствование знаний)

Учебный практикум

Построение алгоритма действия,

  решение упражнений

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают определение полного
и усеченного конусов.

Умеют применять формулы площади полной поверхности усеченного конуса к решению задач на вычисление.

Могут привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы

Могут работать

с чертежными инструментами; предметная компетенция

Слайд-лекция «Усеченный конус»

Гл. 6,  
§ 2,
п. 63; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

31

Сфера и шар. Уравнение сферы

(комбинированный)

Проблемное изложение

Обучение на высоком уровне трудности

Учебная, познавательная

Коллективная. Пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают определение сферы и шара, уравнение сферы.

Умеют применять формулы для  решения простейших задач на составление уравнения сферы

Могут решать нетиповые задачи, выполняя продуктивные действия эвристического типа

ЦОР [16]. Демонстрационные плакаты 8

с использованием интернет-ресурсов;

элективное

Гл. 6,  
§ 3,
п. 64–65;  индивидуальное творческое задание

32

Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере

(комбинированный)

Учебный практикум

Построение алгоритма действия, решение упражнений

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают определение сферы и шара, взаимного расположения сферы и плоскости, касательной плоскости к сфере.

Умеют применять формулы для  решения задач

Могут правильно оформлять работу, выступать с решением проблемы; предметная компетенция

Слайд-лекция «Сфера и шар»

Гл. 6;
§ 3,
п. 66–67; самообразование:
http://
uztest.ru

33

Сфера и шар. Площадь сферы

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа

с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают определение сферы и шара, площади сферы.

Умеют применять формулы для  решения простейших задач.

Могут самостоятельно готовить обзоры, конспекты, проекты, обобщая данные, полученные из различных источников

Могут уверенно действовать в нетиповой, незнакомой ситуации, самостоятельно исправляя допустимые при этом ошибки или неточности; целостная компетенция

ЦОР [15]. Демонстрационные плакаты 8

Гл 6;
§ 3,
п. 68; тестирование
по теме модуля на сайте http://
lyceum8.com

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

34

Сфера и шар. Площадь
сферы

(применение и совершенствование знаний)

Поисковая

Проблемные задания

Информационно-коммуникационная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают определение сферы и шара, площади сферы.

Умеют применять  формулы для  решения простейших задач

Умеют принять участие в диалоге, подобрать аргументы для объяснения ошибки; предметная компетенция

Слайд-лекция «Сфера и шар»

занятие;
представление результатов познавательной деятельности

Гл. 6;
§ 3,
п. 68; разноуровневые задания

Модуль 3. Решение задач на объемные тела (8 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Решение задач на объемные тела» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙ иметь представление об основных многогранниках, чертеже по условию задачи, теоремах планиметрии и стереометрии;

∙ овладеть умением:

– изображать основные многогранники; выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи;

– изображать основные тела вращения; выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи;

– применять теоремы планиметрии к решению задач по стереометрии.

Показать владение теоретическими и практическими знаниями по теме раздела «Цилиндр, конус, шар» на контрольном уроке

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений об основных многогранниках, чертежах по условию задачи, теоремах планиметрии и стереометрии;

∙ формирования умений изображать основные многогранники; выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи;

∙ овладения умением изображать основные тела вращения; выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи;

∙ овладения навыками применять теоремы планиметрии к решению задач по стереометрии.

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения.

Познавательные: ориентироваться на разнообразие способов решения задач.

Коммуникативные: учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

35

Решение задач на многогранники

(комбинированный)

Комбинированная

Фронтальный опрос. Работа
с демонстрационным материалом

Информационно-  коммуникационная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают основные многогранники.

Умеют изображать основные многогранники; извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов; выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи.

Могут отделить основную информацию от второстепенной

Могут воспроизвести теорию с заданной степенью свернутости; целостная компетенция

ЦОР [8].

Демонстрационные плакаты 8

Дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
lyceum8.com;

факультативное занятие;

дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;

обучение
в мультимедийном кабинете;

учебное исследование
по теме модуля, поиск информации

Гл. 3,  
§ 1–3; самообразование: http://
uztest.ru

36

Решение задач по теме «Многогранники»

(применение и совершенствование знаний)

Учебный практикум

Построение алгоритма действия, решение упражнений

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают основные многогранники.

Умеют изображать многогранники, выполнять чертежи по условиям задач и решать задачи.

Используют для решения познавательных задач справочную литературу.

Могут найти и устранить причины возникших трудностей

Могут работать с чертежными инструментами; предметная компетенция

Слайд-лекция «Многогранники»

Гл. 3,
§ 1–3; творческое задание группам

37

Решение задач по теме «Многогранники»

(комбинированный)

Проблемное изложение

Обучение на высоком уровне трудности

Учебная, познавательная

Коллективная. Пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают, как изображать основные многогранники; выполнять чертежи по условиям задач и решать задачи. Могут самостоятельно создать алгоритм познавательной деятельности для решения задач творческого и поискового характера

Могут решать нетиповые задачи, выполняя продуктивные действия эвристического типа

ЦОР [16]. Демонстрационные плакаты 8

Гл. 3,  
§ 1–3;  индивидуальное творческое задание

38

Решение задач по теме «Тела вращения»

(применение и совершенствование знаний)

Учебный практикум

Построение алгоритма действия, решение упражнений

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают основные тела вращения.

Умеют изображать тела вращения, выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи.

Могут воспринимать устную речь, проводить информационно-смысловой анализ лекции, работать с чертежными инструментами

Могут правильно оформлять работу, выступать с решением проблемы; предметная компетенция

Слайд-лекция «Тела вращения»

Гл. 6,  
§ 1–3; самообразование: http://
uztest.ru

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

39

Решение задач по теме «Тела вращения»

(комбинированный)

Проблемное изложение

Обучение на высоком уровне трудности

Учебная, познавательная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Умеют изображать основные тела вращения; выполнять чертежи по условиям задач и решать задачи.

Могут рассуждать, обобщать, аргументировать решение и ошибки; участвовать в диалоге; оформлять решения или сокращать их, в зависимости от ситуации; рассуждать, обобщать, аргументированно отвечать на вопросы собеседников, вести диалог

Могут уверенно действовать в нетиповой, незнакомой ситуации, самостоятельно исправляя допустимые при этом ошибки или неточности

ЦОР [15]. Демонстрационные плакаты 8

с использованием интернет-ресурсов;

– элективное занятие;
– представление результатов индивидуальной или групповой познавательной деятельности
в форме  сочинения, резюме, исследовательского

Гл. 6,  
§ 1–3; разно-уровневые задания

40

Решение задач по теме «Тела вращения»

(комбинированный)

Поисковая

Проблемные задания

Информационно-коммуникационная

Индивидуальная, пары сменного состава

Знают основные многогранники и тела вращения.

Умеют изображать основные многогранники и тела вращения, выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи.

Могут рассуждать, обобщать, аргументированно отвечать на вопросы собеседников, вести диалог

Умеют принять участие в диалоге, подобрать аргументы для объяснения ошибки; предметная компетенция

Слайд-лекция «Тела вращения»

Гл. 6,  
§ 1–3;  индивидуальное творческое задание

41

Решение задач по теме «Тела вращения»

(комбинированный)

Комбинированная

Фронтальный опрос. Работа
с демон-

Информационно-коммуникационная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Знают основные многогранники и тела вращения.

Умеют изображать основные многогранники и тела вращения, выполнять чертежи по условиям задач и решать задачи на комбинацию тел.

ЦОР [16]. Демонстрационные плакаты 8

Гл. 6,  
§ 1–3; самообразование: http://
uztest.ru

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

страционным материалом

Могут вести диалог, аргументированно отвечать на поставленные вопросы

проекта, публичной презентации

42

Контрольная работа 3

(контроль, оценка и коррекция знаний)

Урок проверки знаний

Самостоятельное планирование и проведение исследования решения

Освоение практического навыка решения контрольных заданий

Индивидуальная

Учащиеся демонстрируют знания понятий: цилиндр, площадь поверхности цилиндра, конус, площадь поверхности конуса, усеченный конус, площадь поверхности усеченного конуса, сфера и шар, уравнение сферы и площадь сферы.

Могут свободно пользоваться формулами площади поверхности цилиндра, конуса, усеченного конуса, сферы при решении сложных задач

Могут оформлять решения, выполнять перенос ранее усвоенных способов действий; предметная компетенция

Интернет-ресурс

http://
uztest.ru

Тестовые задания
в форме ЕГЭ типа

B и C

Гл. 3 и 6,
§ 1–3; тестирование
по теме модуля на сайте

http://
lyceum8.com

Раздел 4. ОБЪЕМЫ ТЕЛ (19 часов)

Объем освоения и уровень владения компетенциями раздела «Объемы тел» (в процентном соотношении)

Знание

%

Способ деятельности

%

репродуктивное с опорой

1

репродуктивно-несамостоятельный (усвоение внешней формы способа)

2

репродуктивно-алгоритмическое

85

99

репродуктивно-самостоятельный (освоение сущностного отношения в способе)

85

98

продуктивно-комбинаторное (эвристическое)

7

продуктивно-самостоятельный (самостоятельность применения в ситуации частичной неопределенности)

7

продуктивно-креативное (творческое)

7

творчески-самостоятельный (эмансипация способа)

6

Ценностное отношение

%

Личностный смысл

%

нейтральное

4

предметно-содержательный

15

ситуативно-заинтересованное

18

96

личностно-групповой

53

85

устойчивая актуальность

78

индивидуально-личностный/жизненно-практический

32

Модуль 1. Объемы призмы и цилиндра (6 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Объемы призмы и цилиндра» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙ иметь представление о понятии объема многогранника и тела вращения, формулах вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, объема прямой призмы и объема цилиндра;

∙ овладеть умением:

– применять формулы объема прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы  и цилиндра к решению задач на вычисление;

– проводить доказательные рассуждения в ходе решения стереометрических задач;

– применять формулы объема прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра к решению задач на доказательство

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений о понятии объема многогранника и тела вращения, формулах вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, объема прямой призмы и объема цилиндра;

∙ формирования умений применять формулы объема прямоугольного параллелепипеда,  прямой призмы и цилиндра к решению задач на вычисление;

∙ овладения умением проводить доказательные рассуждения в ходе решения стереометрических задач;

∙ овладения навыками применять формулы объема прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра к решению задач на доказательство

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета сделанных ошибок.

Познавательные: строить речевое высказывание в устной и письменной форме.

Коммуникативные: контролировать действие партнера.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

43

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда (изучение нового материала)

Комбинированная

Фронтальный опрос. Работа
с демонстрационным материалом

Информационно-  коммуникационная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.

Умеют применять формулы для решения простейших задач; воспроизвести правила и примеры.

Могут работать по заданному алгоритму

Могут привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы; целостная компетенция

ЦОР [5].

Демонстрационные плакаты 9

– Дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
lyceum8.com;

– факультативное занятие;

– дистанционный курс

Гл. 7,  
§ 1,
п. 74–75; самообразование:
http://
uztest.ru

44

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда (изучение нового материала)

Учебный практикум

Построение алгоритма действия, решение

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.

Умеют применять изученные формулы к решению различных

Могут работать

с чертежными инструментами; предметная компетенция, целостная компетенция

Слайд-лекция «Объемы»

Гл. 7,  
§ 1,
п. 74–75; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

упражнений

задач на доказательство и вычисление

«Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;

– обучение
в мультимедийном кабинете; – учебное исследование
по теме

модуля, поиск информации
с использованием интернет-ресурсов;

– элективное занятие;

45

Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник

(применение и совершенствование знаний)

Проблемное изложение

Обучение на высоком уровне трудности

Учебная, познавательная

Взаимопроверка в парах. Работа с текстом

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании.

Умеют применять формулы для решения простейших задач; работать по заданному алгоритму; аргументировать ответ или ошибку

Умеют формировать вопросы, задачи, создавать проблемную ситуацию; предметная компетенция

ЦОР [11]. Демонстрационные плакаты 9

Гл. 7,  
§ 2,
п. 76; индивидуальное творческое задание

46

Теоремы

об объеме прямой призмы и цилиндра (изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа с книгой, демонстрация плакатов.

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема прямой призмы и цилиндра.

Умеют применять формулы для решения простейших задач; пользоваться энциклопедией, математическим справочником, записанными правилами

Умеют аргументированно отвечать на поставленные вопросы, могут осмыслить ошибки
и их устранить; целостная компетенция

Слайд-лекция «Объемы»

Гл. 7,
§ 2; самообразование:
http://
uztest.ru

47

Теоремы

об объеме прямой призмы и цилиндра

Поисковая

Проблемные задания

Информационно-коммуникационная

Индивидуальная, пары сменного состава

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема прямой призмы и цилиндра.

Умеют принять участие в диалоге, подбирать аргументы для объяснения

ЦОР [15]. Демонстрационные плакаты 9

Гл. 7,  

§ 2; творческое

(применение и совершенствование знаний)

Умеют применять формулы
для решения задач; выполнять
и оформлять задания программированного контроля

ошибки; предметная компетенция

– представление результатов индивидуальной или групповой познавательной деятельности
в форме сочинения, резюме, исследовательского проекта, публичной презентации

задание группам

48

Теоремы

об объеме прямой призмы и цилиндра (комбинированный)

Поисковая

Организация совместной учебной деятельности

Рефлексивная

Групповая
по психофизическим особенностям:
координатор, исполнитель, скептик, рационализатор

Знают, как находить объёмы тел в задачах по теме «Комбинация тел».

Могут собрать материал для сообщения по заданной теме.

Умеют передавать, информацию сжато, полно, выборочно

Могут работать

по заданному алгоритму, доказывать правильность решения с помощью аргументов; предметная компетенция

Слайд-лекция «Объемы»

Гл. 7,
§ 2; тестирование по теме модуля на сайте

http://
lyceum8.com

Модуль 2. Объемы конуса и пирамиды (6 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Объемы конуса и пирамиды» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙ иметь представление о формулах вычисления объемов всех изученных тел, вычисления объема наклонной призмы, вычисления объема пирамиды и конуса;

∙ овладеть умением:

– применять формулы объема наклонной призмы к решению задач на доказательство;

– применять формулы объема наклонной призмы, пирамиды и конуса к решению задач на вычисление и доказательство;

– находить объем тел с использованием определенного интеграла в несложных случаях

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений о формулах вычисления объемов всех изученных тел, вычисления объема наклонной призмы, вычисления объема пирамиды и конуса;

∙ формирования умений применять формулы объема наклонной призмы к  решению задач на доказательство;

∙ овладения умением применять формулы объема наклонной призмы, пирамиды и конуса к решению задач на вычисление и доказательство;

∙ овладения навыками находить объем тел с использованием определенного интеграла в несложных случаях

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: различать способ и результат действия.

Познавательные: владеть общим приемом решения задач.

Коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

49

Вычисление объемов тел
с помощью
определенного интеграла

(изучение нового материала)

Проблемное изложение

Обучение на высоком уровне трудности

Учебная, познавательная

Взаимопроверка в парах. Работа
с текстом

Знают формулы вычисления объемов изученных тел.

Умеют находить объем тел
с использованием определенного интеграла в несложных случаях; добывать информацию по заданной теме в источниках различного типа

Умеют вступать в речевое общение, участвовать в диалоге; целостная компетенция

ЦОР [2].

Демонстрационные плакаты 10

– Дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
lyceum8.com;

– факультативное занятие;

– дистанционный курс

Гл. 7,  

§ 3,
п. 78; самообразование:
http://uztest.ru

50

Вычисление объемов тел
с помощью
определенного интеграла

(применение и совершенствование знаний)

Поисковая

Проблемные задания

Информационно-коммуникационная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Знают формулы вычисления  объемов изученных тел.

Умеют находить объем тел
с использованием определенного интеграла несложных случаях; воспринимать устную речь, участвовать в диалоге

Могут воспроизводить изученные правила и понятия, подбирать аргументы, соответствующие решению; предметная компетенция

Слайд-лекция «Объемы»

Гл. 7,  

§ 3,
п. 78; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

51

Объем наклонной призмы

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа

с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема наклонной призмы.

Умеют применять формулы для решения простейших задач.

Могут самостоятельно искать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию

Умеют определять понятия, приводить доказательства

ЦОР [9]. Демонстрационные плакаты 10

«Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;

– обучение
в мультимедийном кабинете;

– учебное исследование
по теме модуля, поиск информации
с использованием интернет-ресурсов;

– элективное занятие;

Гл. 7,  

§ 3,
п. 79; индивидуальное творческое задание

52

Объем наклонной призмы

(комбинированный)

Комбинированная

Фронтальный опрос. Работа
с демонстрационным материалом

Информационно-коммуникационная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления  объема наклонной призмы.

Умеют применять формулы для решения простейших задач.

Могут аргументированно отвечать на поставленные вопросы, осмыслить ошибки и устранить их

Умеют принять участие в диалоге, подбирать аргументы для объяснения ошибки; предметная компетенция

Слайд-лекция «Объемы»

Гл. 7,  

§ 3,
п. 79;
самообразование:
http://uztest.ru

53

Объем пирамиды. Объем конуса

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа
с книгой, демонстрация плакатов

Учебная

Взаимопроверка в парах. Работа
с текстом

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления  объема пирамиды и конуса.

Умеют применять формулы для решения простейших задач

Объясняют изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах; предметная компетенция

Слайд-лекция «Объемы»

Гл. 7,  

§ 3,
п. 80–81; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

54

Объем пирамиды. Объем конуса

(применение и совершенствование знаний)

Учебный практикум

Построение алгоритма действия, решение упражнений

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Умеют находить объёмы тел
в задачах на комбинацию тел.

Воспроизводят изученную информацию с заданной степенью свернутости.

Умеют подбирать аргументы, соответствующие решению.

Могут правильно оформлять работу

Могут составлять конспект, проводить сравнительный анализ, сопоставлять, рассуждать; предметная компетенция

ЦОР [12]. Демонстрационные плакаты 10

– представление результатов индивидуальной или групповой познавательной деятельности
в форме сочинения, резюме, исследовательского проекта, публичной презентации

Гл. 7,  

§ 3,
п. 80–81; тестирование по теме модуля на сайте

http://

lyceum8.com

Модуль 3. Объем шара (7 часов)

Цели ученика: изучить модуль «Объемы шара» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

Для этого необходимо:

∙ иметь представление о формулах вычисления объема шара, объема шарового сегмента, слоя и сектора, площади сферы;

∙ овладеть умением:

– применять формулы площади сферы к  решению задач на доказательство;

– применять формулы объема шара, объема шарового сегмента, слоя и сектора к решению задач на вычисление;

– применять формулы объема шара, объема шарового сегмента, слоя и сектора к решению задач на доказательство

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для формирования представлений о формуле вычисления  объема шара, объема шарового сегмента, слоя и сектора, площади сферы;

∙ формирования умений применять формулы площади сферы
к решению задач на доказательство;

∙ овладения умением применять формулы объема шара, объема шарового сегмента, слоя и сектора к решению задач на вычисление;

∙ овладения навыками применять формулы объема шара, объема шарового сегмента, слоя и сектора к решению задач на доказательство

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.

Познавательные: владеть общим приемом решения задач.

Коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

55

Объем шара

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа
с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема шара.

Умеют применять формулы для решения задач; рассуждать.

Могут отразить в письменной форме свои решения

Умеют вступать в речевое общение, участвовать в диалоге; целостная компетенция

ЦОР [2]. Демонстрационные плакаты 10

– Дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
lyceum8.com;

– факультативное занятие;

– дистанционный курс

Гл. 7,  
§ 4,
п. 82; самообразование:
http://
uztest.ru

56

Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

(применение и совершенствование знаний)

Поисковая

Проблемные задания

Информационно-коммуникационная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема шарового сегмента, слоя и сектора.

Умеют применять формулы для решения задач

Могут воспроизводить изученные правила и понятия, подбирать аргументы, соответствующие решению; предметная компетенция

Слайд-лекция «Объем шара»

Гл. 7,  
§ 4,
п. 83; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

57

Площадь сферы

(комбинированный)

Комбинированная

Фронтальный опрос. Работа

с демонстрационным материалом

Информационно-коммуникационная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулу площади сферы.

Умеют применять формулы для решения задач

Умеют определять понятия, приводить доказательства

ЦОР [9].

Демонстрационные плакаты 10

«Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;

– обучение
в мультимедийном кабинете;
– учебное исследование по теме модуля, поиск информации
с использованием интернет-ресурсов;

– элективное занятие;

Гл. 7,  
§ 4,
п. 84;  индивидуальное творческое задание

58

Решение задач на объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

(изучение нового материала)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа

с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Имеют представление о понятии объема.

Знают формулы вычисления объема пирамиды и конуса.

Умеют применять формулы для решения простейших задач; проводить сравнительный анализ, сопоставлять, рассуждать

Умеют принять участие в диалоге, подбирать аргументы для объяснения ошибки; предметная компетенция

Слайд-лекция «Объем шара»

Гл. 7,
§ 4; самообразование: http://
uztest.ru

59

Решение задач на объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Учебный практикум

Построение алгоритма действия, решение

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Умеют решать задачи на нахождение объемов в комбинации тел; развернуто обосновывать суждения.

Могут собрать материал для сообщения по заданной теме

Объясняют изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах; предметная

Слайд-лекция «Объем шара»

Гл. 7,  
§ 4; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

(применение и совершенствование знаний)

упражнений

компетенция

– представление результатов индивидуальной или групповой познавательной деятельности
в форме сочинения, резюме, исследовательского проекта, публичной презентации

60–
61

Контрольные работы 4–5

(применение и совершенствование знаний)

Урок проверки знаний

Самостоятельное планирование и проведение исследования решения

Освоение практического навыка решения контрольных заданий

Индивидуальная

Демонстрируют знания по темам: «Объем прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара, шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора».

Могут свободно пользоваться понятием «объем пространственной фигуры» при решении сложных задач на объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора и вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла

Могут оформлять решения, выполнять перенос ранее усвоенных способов действий; предметная компетенция

Интернет-ресурс

http:/
/uztest.ru

Тестовые задания
в форме ЕГЭ типа

B и C

Гл. 7,
§ 4; тестирование по теме модуля на сайте

http://
lyceum8.com

Раздел 5. ОБОБЩАЮЩЕЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 10–11 КЛАССА (7 часов)

Объем освоения и уровень владения компетенциями раздела «Обобщающее повторение курса геометрии 10–11 классов»

(в процентном соотношении)

Знание

%

Способ деятельности

%

репродуктивное с опорой

0

репродуктивно-несамостоятельный (усвоение внешней формы способа)

0

репродуктивно-алгоритмическое

83

100

репродуктивно-самостоятельный (освоение сущностного отношения в способе)

86

100

продуктивно-комбинаторное (эвристическое)

9

продуктивно-самостоятельный (самостоятельность применения в ситуации частичной неопределенности)

8

продуктивно-креативное (творческое)

8

творчески-самостоятельный (эмансипация способа)

6

Ценностное отношение

%

Личностный смысл

%

нейтральное

2

предметно-содержательный

10

ситуативно-заинтересованное

15

98

личностно-групповой

55

90

устойчивая актуальность

83

индивидуально-личностный/жизненно-практический

35

Цели ученика: провести самоанализ знаний, умений и навыков, полученных и приобретенных в курсе геометрии за 10–11 классы при обобщающем повторении тем: «Метод координат в пространстве», «Тела вращения», «Объемы тел».

Для этого необходимо:

∙ овладеть умением использовать приобретенные знания и умения
в практической деятельности и повседневной жизни для  исследования несложных практических ситуаций на основе изученных формул
и свойств тел; вычисления площадей поверхностей пространственных тел при  решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Показать владение теоретическими и практическими знаниями по теме раздела «Обобщающее повторение курса геометрии за 10–11 классы» на контрольном уроке

Цели педагога: создать условия учащимся:

∙ для обобщения и систематизации курса геометрии за 10–11 классы при решении заданий повышенной сложности по всему курсу геометрии;

∙ формирования понимания возможности использования приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни;

∙ формирования умений для интегрирования в личный опыт новой,
в том числе самостоятельно полученной информации

Универсальные учебные действия (УУД)

Регулятивные: различать способ и результат действия.

Познавательные: проводить сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям.

Коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

62

Многогранники: параллелепипед, призма, пирамида, площади их поверхностей, объемы

(комбинированный)

Объяснительно-иллюстративная

Беседа, работа

с книгой, демонстрация плакатов

Учебная, познавательная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Умеют решать простейшие геометрические задачи курса геометрии по теме «Многогранники».

Владеют умением предвидеть возможные последствия своих действий.

Осуществляют проверку выводов, положений, закономерностей, теорем

Свободная работа с текстами научного стиля; целостная компетенция

ЦОР [1]. Демонстрационные плакаты 11

– Дистанционный курс «Геометрия. 7–11»

http://
lyceum8.com;

– факультативное занятие;

– дистанционный курс

Гл. 3; самообразование: http://

uztest.ru

63

Многогранники: параллелепипед, призма, пирамида, площади их поверхностей, объемы

Учебный практикум

Построение алгоритма действия, решение

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Умеют решать геометрические задачи ЕГЭ с кратким и развернутым ответом; проводить самооценку собственных действий

Умеют участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение

Слайд-лекция «Многогранники»

Гл. 3; творческое задание группам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

(применение и совершенствование знаний)

упражнений

«Геометрия. 7–11»

http://
uztest.ru;

– обучение
в мультимедийном кабинете;
– учебное исследование

по теме модуля, поиск информации
с использованием интернет-ресурсов;

– элективное занятие;

64

Векторы
в пространстве. Действия над векторами. Скалярное произведение векторов  

(комбинированный)

Комбинированная

Фронтальный опрос. Работа
с демонстрационным материалом

Информационно-коммуникационная

Индивидуальная по уровню развития интеллекта

Умеют решать простейшие геометрические задачи курса геометрии на векторы в пространстве; геометрические задачи ЕГЭ с кратким и развернутым ответом; проводить самооценку собственных действий.

Владеют умением предвидеть возможные последствия своих действий.

Осуществляют проверку выводов, положений, закономерностей, теорем

Умеют аргументированно отвечать на поставленные вопросы, участвуют в диалоге

ЦОР [3]. Демонстрационные плакаты 12

Гл. 4;  индивидуальное творческое задание

65

Цилиндр, конус и шар, площади их поверхностей, объемы

(комбинированный)

Проблемное изложение

Обучение
на высоком уровне трудности

Учебная, познавательная

Взаимопроверка в парах.

Работа
с текстом

Умеют решать простейшие геометрические задачи курса геометрии на тела вращения.

Владеют умением предвидеть возможные последствия своих действий.

Осуществляют проверку выводов, положений, закономерностей, теорем

Осуществляют проверку выводов, положений, закономерностей, теорем; предметная компетенция

Слайд-лекция «Тела вращения»

Гл. 6; самообразование: http://
uztest.ru

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

66

Цилиндр, конус и шар, площади их поверхностей, объемы

(применение и совершенствование знаний)

Поисковая

Проблемные задания, работа
с раздаточными  материалами

Учебная, познавательная

Коллективная, пары смешанного состава
(сильный учит слабого)

Умеют решать геометрические задачи ЕГЭ с кратким и развернутым ответом; проводить самооценку собственных действий

Умеют проводить сравнительный анализ, сопоставлять, рассуждать; целостная компетенция

ЦОР [18]. Демонстрационные плакаты 12

– представление результатов индивидуальной или групповой познавательной деятельности
в форме сочинения, резюме, исследовательского проекта, публичной презентации

Гл. 6; самообразование: http://

uztest.ru

67–
68

Итоговая контрольная
работа

(обобщение
и систематизация знаний)

Письменная контрольная работа

Упражнения, практикум

Учебная

Индивидуальная, пары сменного состава

Демонстрируют умение расширять и обобщать знания по темам «Метод координат в пространстве», «Тела вращения», «Объемы тел». 

Могут самостоятельно выбрать рациональный способ решения задач повышенной сложности по всему курсу геометрии

Могут оформлять решения, выполнять перенос ранее усвоенных способов действий; предметная компетенция

Дифференцированные контрольно-измерительные материалы

Тестирование по теме модуля на сайте   http://
lyceum8.com

Класс, школа:

11 класс, МБОУ СОШ № 20, с. Хатыстыр, Алданский район

Учитель:

Енохова Роза Фёдоровна

Предмет :

Геометрия

Тема урока:

Решение задач на вычисление объёмов геометрических тел ( задания по ЕГЭ)

УМК:

1. Л.С.Атанасян и др. Геометрия 10-11 кл., учебник для общеобр. учреж./ - М.: Просвещение, 2017
2. А.В.Семёнов и др. Математика (базовый уровень)-М.: Интеллект-Центр, 2018.

Тип урока:

Урок открытия нового способа действия

Цель учителя:

Создание условий для открытия учащимися зависимости объёмов геометрических тел (конуса и цилиндра, призмы и пирамиды)  и решение задач на вычисление объёмов геометрических тел.

Учебная задача:  

Как вычислить объём пирамиды, зная объём призмы и наоборот? Как вычислить объём конуса, зная объём цилиндра и наоборот?

Планируемые результаты урока

Предметный результат урока

-знать зависимость объёмов геометрических тел (призмы и пирамиды, конуса и цилиндра).

-уметь вычислить объём пирамиды, зная объём призмы и наоборот и объём конуса, зная объём цилиндра и наоборот вычислять объёмы геометрических тел.

- уметь решать  задачи на вычисление объёмов геометрических тел

Метапредметные результаты урока:

• Регулятивные УУД:

-уметь определять задачу урока и определять  цель своих действий,

- уметь планировать свои действия при проведении опыта работы,

-уметь прогнозировать результат действия,

-уметь осуществлять поиск информации в учебной литературе,

Познавательные УУД: 

-уметь классифицировать геометрические тела: многогранники и тела вращения;

- уметь анализировать результат опыта для выхода на способ действия,

-уметь сравнивать полученный результат с эталоном,

- уметь оформлять результат опыта и применять при решении задач на вычисление объёмов геометрических тел

• Коммуникативные УУД: 

-уметь работать в группах и  вступать в диалог,

-уметь задавать вопросы, аргументировать свой ответ,

- уметь строить свой ответ на поставленный вопрос, услышать ответы других.

Личностный результат урока:

- понимание и осмысление зависимости объёмов объёмов геометрических тел (конуса и цилиндра, призмы и пирамиды), применять свои знания для решение задач на вычисление объёмов геометрических тел ( задания по ЕГЭ)

Этапы

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Результат

Орг.этап

1.Постановка учебной задачи

1.1.Создание «ситуации успеха»

Задание

• Организация выполнения задания

•  Организация самооценки учащихся

Приводят примеры тел: призмы, пирамиды, цилиндр, конус, шар

1 гр- многогранники и

2 гр- тела вращения .

Многогранник это...

Тела вращения-…

Уметь классифицировать геометрические тела: многогранники и тела вращения

1.2.Создание ситуации «разрыва»

Задание

Возьмем одно из заданий ЕГЭ

-Чтение и осмысление условия задачи.

- Надо найти объем конуса, если объем цилиндра равен 48

- Ищут способ решения задачи

Пытаются найти решение задачи

1.3. Совместная формулировка учебной задачи

-  Как вычислить объём конуса, зная объём цилиндра и наоборот?

-Как вычислить объём пирамиды, зная объём призмы и наоборот?

-

Находят решение задачи

2.Решение учебной за-дачи

2.1.Поиск решения учебной задачи

- Как  установить зависимость объёма конуса от объёма цилиндра.

Проведем практическое задание и определим зависимость объёма конуса от объёма цилиндра

• Организация обсуждения

Задание. Работа с справочником.

- обратимся к нашему справочнику , что говорят источники

Проводят опыт: берут два сосуда, цилиндрической и конической формы, одинакового радиуса и высоты. Наливают воду в конический сосуд и переливают в цилиндрический.

- определяют зависимость объёма конуса от объёма цилиндра

Вывод: Формулируют учебную задачу: чтобы вычислить объём конуса, нужно узнать во сколько раз объём цилиндра больше объёма конуса

Убеждаются, что объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса.

2.2.Моделирование и словесная формулировка нового понятия

-  Как математически записать эту зависимость в виде формулы?

- Ваши предположения , обсудите в парах

Записывают результат опыта в виде формулы

1.  Vцилиндр= 3Vконус

2. Vпризма= 3Vпирамида

Vцилиндр= 3Vконус

2.3.Применение  открытого понятия (способа действия)

Проверим работает ли наше предположение, достоверность наших формул

• Организация выполнения задания

• Организация проверки задания

Решают предложенные задачи.

Самопроверка по данным ответам

3.Рефлексия

1.Организация самооценки понимания

2. Организация самооценка деятельности

Найти зависимость объёма конуса и цилиндра (призмы и пирамиды).