Проект по математике "Число ПИ"
проект по математике (6 класс)

Выполнила ученица 6 Б класса

МБОУ «СОШ №1»

Зорина Ника

Руководитель: Миронова В.А.

2019 год

ОГЛАВЛЕНИЕ:

                                                                                                                                           Стр.

АКТУАЛЬНОСТЬ …………………………………………..…………..………. 2

1. Понятие «Число Пи»……………………………………...………………… 4

2. Из истории числа Пи ………………...……………………..……...…...…... 6

3. Мнемонические правила запоминания числа Пи ……………….….…….. 7

4.  Методы нахождения числа Пи опытным путем ……….…….………..…. 9

5. Интересные математические задачи ……………………..………………..10

     Выводы. Заключение…………………………………………………………12

ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………………….… 13

АКТУАЛЬНОСТЬ

Пожалуй, в мире нет загадочней и интересней числа, чем число «Пи» с его знаменитым, никогда не кончающимся числовым рядом. Это число не давало покоя всем ученым, особенно математикам.

Число «Пи» — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.

Я провела Анкетирование:

«Насколько хорошо вы знаете число π?»

Результаты следующие:

Знаете ли вы о существовании числа π - 96% -«да»

Назовите численное значение числа π -  92%

Что еще вы знаете о числе π?

Бесконечно - 50%

Встречаются в формулах - 28%

Выражается обыкновенной дробью - 14%

Ничего - 8%

Поэтому я решила узнать больше об этом числе и рассказать на конференции.

Кто разгадал загадку этого числа, к сожалению, не знает никто. Но многие математики пытались приоткрыть завесу тайны.

Я решила на историческом материале показать важность проблемы вычисления числа π, раскрыть необходимость точных вычислений значения π на современном этапе, а также показать огромное трудолюбие и работоспособность учёных, занимавшихся этим вопросом в течение многих столетий

Число Пи – буква греческого алфавита, которой в математике обозначается отношение длины окружности к диаметру. Пи – знаменитая математическая константа, появляющаяся в самых неожиданных местах.

Проблема: Некоторые данные достаточно трудно запоминаются.  Но с помощью открытия новых фактов, характеризующих число π, можно лучше запомнить это число и понять темы, связанные с числом π.

Цель работы:  исследовать  историю  и  значимость числа π на современном этапе развития математики. Провести собственный опыт исследования по вычислению числа π .

Задачи:

• Найти, изучить и проанализировать естественно научную и художественную литературу, информацию в сети Интернет, которая описывает понятие «число Пи».
• Провести практические работы по нахождению числа Пи.
• Познакомить с собранной информацией сверстников.
• Расширить свой кругозор, получить новые знания и умения.

Объект исследования: Число π

Предмет исследования: Интересные факты, связанные с числом π, практические вычисления.

Методы исследования

• Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
• Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

1. ПОНЯТИЕ «ЧИСЛО ПИ»

Пи – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности и есть число Пи.

Обозначается число Пи буквой греческого алфавита π (произносится «пи»).

Обозначение числа Пи происходит от греческого слова «perijerio», что означает «окружность». Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик Уильям Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически использовать Леонард Эйлер.

Старое название числа Пи – лудольфово число.

Если разложить на плоскости четыре диаметра любого круга, и поставить точку отсчета, а от нее раскрутить длину окружности, конечная точка остановится чуть меньше 3,5. А если быть точнее 3,14… - это и получается число Пи!

Пи – это число, значение которого не может быть точно выражено в виде дроби , где m и n – целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Такие числа называются иррациональными, т. е. число Пи – иррациональное число.

Первые тысяча знаков после запятой числа Пи:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

В школе обычно используют значение числа Пи до сотых, т. е. π ≈ 3,14. И в обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность.

Рациональные приближения числа Пи:

•  — Архимед,

•  — дана в книге индийского мыслителя и астронома Ариабхаты в V веке н. э.,

• — приписывается современнику Ариабхаты китайскому астроному Цзу Чунчжи.

Число π в науках:

• Алгебра:  π - иррациональное и трансцендентное число.
• Тригонометрия: радианное измерение углов.
• Планиметрия: длина окружности и её дуги; площадь круга и его частей.
• Стереометрия: объем шара и частей; объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы.
• Физика: теория относительности; квантовая механика; ядерная физика.
• Теория вероятностей: формула Стирлинга для вычисления факториала.
• Кроме этого, в астрономии, космонавтике, архитектуре, навигации, электронике и мн.др.

2. ИЗ ИСТОРИИ ЧИСЛА ПИ

Считается, что число Пи было впервые открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, история которой вошла в Библию. Однако, недостаточно точное исчисление привело к краху всего проекта.

Считается также, что число Пи лежало в основе строительства знаменитого Храма царя Соломона.

История Числа начинается с египетского папируса 2000 г. до нашей эры. В то время в Древнем Египте число Пи считали равным дроби , или , т.е. = 3,160... Постепенно древние ученые поняли бесплодность подобных попыток и стали искать другой подход к столь важной практической и теоретической проблеме. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед определил, что π = 3,1419... . Архимед, одними лишь рассуждениями, без измерений нашел для Пи значение  или . Дробь  теперь еще называют «Архимедовым числом».

В Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу Пи – . В V веке н.э. китайским математиком было найдено более точное значение =3,1416927... . Спустя полтора столетия в Европе нашли число Пи только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников, но при этом Ф.Виету принадлежит первенство в открывшейся возможности отыскания Пи. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять число Пи с какой угодно точностью. Вначале XVII в. голландский математик из Кельна (Кейлен) нашел 32 правильных знака. С тех пор (1615г.) значение числа Пи с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. В настоящее время число Пи вычислено с точностью до миллионов знаков.

С появлением компьютеров темпы возросли:

1949 год- 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC),

1958 год- 10000 десятичных знаков (Ф.Женюи, IBM-704),

1961 год- 100000 десятичных знаков (Д.Шенкс, IBM-7090),

1973 год- 10000000 десятичных знаков (Ж.Гийу, М.Буйе, CDC-7600),

1986 год- 29360000 десятичных знаков (Д.Бейли, Cray-2),

1987 год- 134217000 десятичных знаков (Т.Канада, NEC SX2),

1989 год- 1011196691 десятичных знаков (Д.Чудновски и Г.Чудновски, Cray-2+IBM-3040) Они же добились в 1991 году 2260000000 знаков, а в 1994 году - 4044000000 знаков.

Дальнейшие рекорды принадлежат японцу Тамуре Канада: в 1995 году 4294967286 знаков, в 1997 – 51539600000.

Число, которое мы знаем сейчас, открыли совсем недавно, В Японском  университете Цукобо в 2009 году, в нем более 7 триллионов цифр после запятой.

По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой. По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой.

3.  МНЕМОНИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА ЗАПОМИНАНИЯ ЧИСЛА ПИ

1. В практических расчетах редко бывает нужда знать более трех – пяти цифр числа Пи. Если со временем они забудутся и надо вспомнить, задайте себе вопрос:

«Что я знаю о кругах?»

             3,  1   4     1     6

В вопросе скрыто – по числу букв в каждом слове – содержится ответ: : π ≈ 3,1416.

2. Существуют стихи, в которых первые цифры числа Пи зашифрованы в виде количестве букв в словах:

       Это я знаю и помню прекрасно:

         3   1    4    1      5             9

       Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

       Доверимся звеньям громадным

       Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

3. Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу, примечать (3,14159265358)

4. Гимназистам дореволюционной России предлагалось двустишие (с твердым знаком):

     Кто и шутя и скоро пожелаетъ

                 3,  1    4    1     5              9

               Пи узнать – вмигъ уж знаетъ.

                 2       6            5        2      6

5.   Стихотворение для запоминания:

Раз у Коли и Арины

Разпороли мы перины

Белый пух летал, кружился,

Кружился,

Ублажился,

Нам не дал,

Головную боль старух

Ух, опасен пуха дух!

                        Георгий Александров

6.  Стихотворение для запоминания в памяти 8 – 11 знаков числа Пи:

Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».

6. Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять

Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь, восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

8. Не исключена пригодность и рифмованной шутки из учебника Магницкого для закрепления в памяти рационального выражения π – «числа Архимеда»- π ≈ 22/7.

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках.                                    

Двадцать две совы мечтали                                

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких,

В аккуратных белых шкурках.

Слюнки капали с усов

У огромных серых сов.

Английские стихи для запоминания числа "Пи"

Now I — even I — would celebrate
In rhymes unapt the great 
Immortal Syracusan rivaled nevermore, 
Who in his wondrous lore, 
Passed on before, 
Left men his guidance 
How to circles mensurate.

PIE
I wish I could determine pi
Eureka cried the great inventor
Christmas pudding
Christmas pie
Is the problem's very center.

Французы придумали значительно более эффектный стих. В нем в два с половиной раза больше знаков:

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages!

Immortel Archimède, sublime ingénieur,

Qui de ton jugement peut sonder la valeur?

Pour moi ton problème eut de pareils avantages.  

  4.   МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ЧИСЛА ПИ ОПЫТНЫМ ПУТЕМ

1. Практический опыт:

Т.к. Пи выражает отношение длины окружности к длине ее диаметра, то можно провести следующий опыт: взять несколько окружностей (кругов), измерить их диаметры и длины окружностей, найти отношение длины окружности к ее диаметру.

Я провела следующий опыт. Взяла 10 разных по величине кругов, сделала необходимые измерения:

Вывод: отношение длины к диаметру в любой окружности  ≈ 3,14.

Но определяя π указанным способом, можно получить результат, не совпадающий с 3,14,  и он будет зависеть от разных факторов. В связи с этим становится понятным, почему так долго не могли установить правильного отношения длины окружности к диаметру.

2. Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его.

Зная массы квадрата mкв =10 г и вписанного в него круга mкр =7,8 г., мы вычислим значения π, используя формулу:

Вывод: все данные числа  близки к числу 3.

3. Метод иглы Бюффона.

Самый оригинальный и неожиданный способ для приближенного вычисления числа Пи. На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна половине расстояния между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну.

Разлиновав лист бумаги так, чтобы параллельные линии отстояли друг от друга на расстоянии  в двое меньшем иглы, я 100 раз бросала иглу на лист. У меня получилось: .

Вывод: мой результат только до десятых совпал с числом Пи. Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить более-менее приличную точность приближения полученной дроби к Пи, а кроме того эксперимент надо выполнять очень аккуратно.

4. Проверка соотношений человеческого тела

Художники эпохи Возрождения заметили следующие соотношения в размере человеческого тела. Оказывается отношения размаха рук (h) к росту человека (H) всегда равно одному и тому же числу, связанному с числом Фидия (Ф) и числом π . Надо знать, что   ;          Ф=1,62

Этот факт подтвердили и мы.

Наши результаты:

1)  мои показатели  H = 144 см, h = 140 см, π = 3,15

2) показатели одноклассника  H = 162 см, h = 158 см, π = 3,16

3)  показатели одноклассницы H = 155 см, h = 151 см, π = 3,16

Вывод: число пи близко к 3,14.

Еще в интернете нашла следующую информацию:

5. Метод Гальперина или Пи-бильярд.

Этот метод придумал Г.А. Гальпериным, он основан на оригинальной модели: при столкновении двух шаров, меньший из которых находится между большим и стенкой, и больший движется к стенке, число соударений шаров позволяет вычислить Пи со сколь угодно большой наперед заданной точностью. Надо только запустить процесс и посчитать число ударов шаров.

6. Измерение с помощью  наблюдения и расчета

Вывод:   (Число дней в 2010 году) /(Число выходных дней в 2010 году) = 3.14

5.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

1. Какова должна быть длина этикетки для консервной банки, диаметр которой равен 16 см?

2. Спутник вращается по круговой орбите на высоте 100 км от поверхности Земли. Какова длина пути, проходимого спутником за 8 оборотов вокруг Земли?

3. Окружность арены во всех цирках мира имеет длину 40,8 м. Найдите диаметр и площадь арены.

4. Какова длина пути, пройденного туристом в результате кругосветного путешествия?

5. Диаметр циферблата Кремлевских курантов 6,12 м, длина минутной стрелки 2,54 м. Какова площадь циферблата? Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час?

6. Длина экватора Луны приближенна равна 10,9 тыс. км. Чему равен диаметр Луны?

7. Диаметр CD равен 12 см. Найдите длину окружности.

8. Диаметр колеса тепловоза равен 180 см. За 2,5 мин колесо сделало 500 оборотов. С какой скоростью идет тепловоз?

ВЫВОДЫ:

В своей работе я подробнее познакомилась с числом – одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков.

Узнала некоторые аспекты его богатейшей истории. Выяснила, почему древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру.

Посмотрела наглядно, какими способами можно получить число. На основе экспериментов вычислила приближенное значение числа различными способами.

Провела обработку и анализ результатов эксперимента.  

Любой школьник сегодня должен знать, что обозначает и чему приближенно равно число.

Я попробовала приподнять завесу богатейшей истории числа, которым человечество пользуется уже много веков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

В заключении хотелось бы отметить, что в результате выполнения работы данного вида я получила, новые научные знания «добытые самостоятельно»

В ходе выполнения работы я ознакомилась с историей и развитием одного из самых удивительных чисел. Об этом числе на протяжении многих веков не «забывают» не только математики и физики, но и обычные любители всего неизвестного. В этом удивительном числе скрыта информация о нашей истории.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Жуков А.В. Вездесущее число Пи. – Едиториал УРСС, 2004.

2. Жуков А. В. О числе π. – Едиториал УРСС, 2004.

3. Википедия: http://ru.wikipedia.org

4. Сайт: π-Club или Клуб фанатиков числа π: http://www.arbuz.uz/z_piclub.html

5. Я.И. Перельман «Занимательная геометрия». – М.: АСТ.Астрель, 2003.

6. Эмоциональная презентация детищей несоизмеримости. // Математика в школе – 1998 - № 1 – с. 76 – 77.

7. Число Пи – магический геометрический символ. // Математика – 1993 - № 27 – 28.

8. Математика 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /  [Н. Я. Виленкин и др]. – М.: Мнемозина, 2012.