Методическая разработка. Самостоятельная работа по теме "Нахождение математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины. Находить моду, медиану, среднее арифметическое выборки, размах выборки"
методическая разработка по математике

Самостоятельная работа

Нахождение математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.

Находить   моду, медиану, среднее арифметическое выборки, размах выборки.

Цель работы: овладеть навыком вычисления математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.

Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, находить моду, среднее арифметическое выборки, размах выборки, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета.

Рекомендации по выполнению.

1. Прочитать  справочный материал.
2. Разобрать решение примера.
3. Выполнить задания самостоятельно.
4. Оформить решение задач  в тетради.

1.        Прочитать  справочный материал.

К числу важных числовых характеристик дискретной случайной величины относится математическое ожидание и дисперсия.

Определение: Математическим ожиданием М(Х)дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

М(Х)=∑ xiрi=x1р1 + x2р2+…+ xnрn

     Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С - постоянная величина;

2)М(С•Х)=С•М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С - постоянная величина;

     Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M(X-M(X))2.

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С - постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х - случайная величина;

3)D(C•X)=C2•D(X), где С - постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

       Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X) = M(X2)-(M(X))2,

       где  М(Х)=∑ xi2рi=x12р1 + x22р2+…+ xn2рn,         i=1

       Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Определение: Средним квадратичным отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Найдем среднее арифметическое для чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23.

a=5,24+6,97+8,56+7,32+6,235=6.864a¯=5,24+6,97+8,56+7,32+6,235=6.864

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда 5,24, 6,97, 8,56, 7,32, 6,23 равен 8,56-5,24=3.32

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.

Модой ряда 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26 является число 26, встречается 3 раза.

В ряду чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23 моды нет.

Ряд 1, 1, 2, 2, 3 содержит 2 моды: 1 и 2.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

2. Разберите решение примеров.

Пример 1.

Случайная величина Х задана рядом распределения:

Вычислить математическое ожидание случайной величины

Решение

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.

Математическое ожидание M(Х);

M(Х) = 0*0.5 + 1*0.3 + 2*0.15 + 3*0.03 + 4*0.02  = 0.77

Ответ:    0,77

Пример 2.

Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание М(Х):

М(Х) = 2*0,1 + 3*0,6+5*0,3= 3,5

Напишем закон распределения случайной величины Х2:

Найдем математические ожидания М(Х2):

М(Х2) =4*0,1 + 9 *0,6 + 25*0,3 = 13,3

Искомая дисперсия

D(X) = М(Х2)-(М(Х))2 = 13,3 – (3,5)2 = 1,05

3. Выполнить задания самостоятельно.

ЗАДАНИЯ:

Пример 1. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию.

Пример 2. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения.

Найти математическое ожидание и дисперсию.

Пример 3.

Задан закон распределения дискретной случайной величины X.

Найти неизвестную вероятность p, математическое ожидание M и дисперсию, построить многоугольник распределения.

*Пример 4.

Найти  р2 и р4,  если р4 в 6 раз больше р2, если задана дискретная случайная величина Х и имеется закон распределения.  Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины.

*Пример 5.

Выигрыши, которые приходятся на один билет в каждой из двух лотерей, имеют следующие законы распределения:

Пример 6. Находить   моду, медиану, среднее арифметическое  выборки, размах выборки.*

1. Найти моду: 1,3,5,1,4,3,2
2. Найти медиану выборки  4,1,8,9,13,10
3. Найти среднее арифметическое значение выборки и размах выборки  24, -5, 13, -8
4. Какой из лотерей вы отдадите предпочтение? Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.Оформить отчет.

По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме зачета.

Шкала оценки образовательных достижений