Уравнения и неравенства с двумя переменными и их геометрическое решение
методическая разработка по математике (11 класс)

Уравнения и неравенства  с двумя переменными

и их геометрическое решение

Оглавление

1. Введение.

2.    Уравнения с двумя переменными, их  геометрическое решение и применение.

2.1   Системы уравнений.

2.2 Примеры решения уравнений с двумя переменными.

2.3. Примеры решения систем уравнений с двумя переменными.

3. Неравенства и их  геометрическое решение.

3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными

3.2. Примеры решения систем неравенств.

4. Графический метод решения задач с параметрами.

5.Список использованной литературы.

1.Введение

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики, и свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда точные значения корней.

В технике и физике часто используются именно графическим способом задания функций. Ученый- сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследовавший больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно- важность самостоятельной работы над ним.

С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства.

2. Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.

Уравнение вида f(x;y)=0 называется уравнением с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя         переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо  у) в уравнении имеет смысл выражение f(α; β)=0

Например, для уравнения ((х+1))2+ у2=0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1))2+02 имеет смысл и равно нулю, но упорядоченная пара чисел (-1;0) не является решением, так как не определен  и поэтому выражение    ((-1+1))2+02 не имеет смысла.

Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.

Уравнения с двумя переменными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение х2+у2=0 имеет одно решение (0;0);

б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (‌‌│х│- 1)2+(│у│- 2)2  имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);

в) не иметь решений. Например уравнение х2+у2+1=0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений

Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f(x;y)=g(x;y). На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f(x;y)=g(x;y) есть уравнение этой линии, например:

1. уравнение Ах+Ву+С=0 (А2+В2 0) есть уравнение прямой (рис.1);
2.  уравнение х2+у2=R2 (R 0) есть уравнение окружности ( рис.2);
3.  уравнение ху=а (а0) есть уравнение гиперболы (рис.3,4);
4.  уравнение у=ах2+bх+с (а0) есть уравнение параболы (рис.5);
5.  уравнение х2+у2=0 задает одну точку (0;0) (рис.6)

                                  рис.1                                рис.2                              рис.3

рис.4                                рис.5                                        рис.6        

2.1        Системы уравнений

Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у

                                                 F1(x; y)=0        и        F2 (x; y)=0

Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г1, а второе  - линию Г2. Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде

Решением системы называется  такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.

Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.

В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.

Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений

Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R= c центром (0;0), а второе – параболу, вершина которой находится в той же точке. Теперь ясно, что  имеются две точки пересечения этих линий. Следовательно, система имеет два решения – это (1;1) и (-1;1)

2. Примеры решения уравнений с двумя переменными

Изобразите все точки  с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.

1. (х-1)(2у-3)=0    

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.

2.  (х-у)(х2-4)=0

Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений

На координатной плоскости решение будет выглядеть так

3. =х2                          

Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины  и заменим  данное уравнение равносильной совокупностью двух систем

                     у=х2+2х                                                      у = -х2+2х

                     х2+2х=0                                            хв=1 ув=1            

               х(х+2)=0        

            хв=-1 ув=1-2=-1  

3. Примеры решения систем.

Решить систему графическим способом:

1)                                                                    

В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций:

у =+1                                                                                                                             

а) построим график функции у=           

График функции  у =+1  получается из графика   у=  путем сдвига  на две единицы вправо и на одну единицу вверх :     

у = - 0,5х+2  - это линейная функция, графиком которой является прямая

 Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.  

Ответ  (2;1)

3.Неравенства и их геометрическое решение.

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f(x;y)>0, где Z = f(x;y) – функция двух аргументов х и у. Если мы рассмотрим уравнение f(x;y) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т.е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых  f(x;у ) >0.

Рассмотрим линейное неравенство ax+by+c>0. Если один из коэффициентов a или b отличен от  нуля, то уравнение  ax+by+c=0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax+by+c. Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции  z в этой точке.

Например:                        

3х – 2у +6>0.

f(x;у ) = 3х- 2у +6,

f(-3;0)  = -3 <0,

f(0;0) = 6>0.

Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости (закрашенной на рисунке 1)  

Рис. 1

Неравенству │y│+0,5 ≤  удовлетворяет множество точек плоскости (х;у), заштрихованной  на рисунке 2. Для построения данной области воспользуемся определением абсолютной величины и способами построения графика функции с помощью параллельного переноса графика функции по оси ОХ или ОУ

Рис.2

f(x;y) =

f (0;0) = -1,5<0

f(2;2)= 2,1>0

3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.

Изобразите множество решений неравенства

а)                     

        Рис. 3

                                             б)

3.2. Примеры решения систем неравенств.

Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости

4. Графический метод решения задач с параметрами

Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная  х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры

1. Определите, при каком значении а уравнение  имеет ровно три различных действительных корня.                                                                                      Решение: построим график функции у=. Уравнение у=а определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

По рисунку видно, что прямая у=4 пересекает график функции у= в    трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а=4.

2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение х2-6|х|+5=а имеет ровно три различных корня.

      Решение: Построим график функции у=х2-6х+5 для х≥0 и отражаем его зеркально           относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а=5

3. Найти все значения   а, при которых неравенство  имеет хотя бы одно положительное решение.

3. При каких значения параметра а, система имеет  четыре решения

Ответ: а=2

5. Список использованной литературы

1. Справочник «Математика», Москва «АСТ- ПРЕСС»  1997 г.
2. Р.Б. Райхмист «Графики функций».Задачи и упражнения»,Москва «Школа – пресс» 1997г.            
3. «Математика» 2001г. №11,12
4. И.Ф. Шарыгин «Факультативный курс по математике. Решение задач». Москва «Просвещение» 1989 г.
5. О.Черкасов, А.Якушев  «Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену» Москва «Айрис Пресс Рольф» 1999г.