Методические рекомендации по решению и оформлению заданий с развёрнутым ответом по материалам ЕГЭ - 2020 ( математика).
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (10, 11 класс)

На протяжении уже нескольких лет, начиная с 2013 года, я являюсь членом экспертной группы по проверке заданий ЕГЭ и ОГЭ с развёрнутым ответом. Т.е. у меня имеется опыт и по решению и по оформлению таких заданий. К сожалению, во время проверки работ выпускников бывает так, что ребёнок теряет баллы из-за неверного обоснования или его отсутствия. Ещё обиднее, когда выпускник вёл цепочку решения верно, а в самом конце решения либо поставил не ту скобку при записи промежутка, либо пропустил точку из множества решений, либо неверно указал область допустимых значений уравнения (неравенства). Кроме этого, я практически ежегодно работаю в выпускных 9 и 11 классах, поэтому, как никто другой ,знаю, что всё прорешать невозможно ( да собственно говоря ,это и не нужно). Необходимо владеть теоретическим материалом в необходимой степени и иметь основные навыки решения различных видов уравнений, неравенств, задач. Для работы с наиболее подготовленными учащимися всегда времени недостаточно, поэтому часть заданий даю детям домой для самостоятельного решения. Естественно, возникают вопросы по оформлению и по решению. Чтобы сократить временные затраты предлагаю учащимся сверить их решение с уже готовым моим решением. В своей публикации я рассматриваю решение заданий ЕГЭ для наиболее подготовленных учащихся. Рассмотрим задачи, предлагаемые авторами сборника « ЕГЭ- 2020. Математика .Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко. Издательство  « Национальное образование».

Вариант 3,№ 15.

Решите неравенство

-0,6 *≤

Решение.

1.О.Д.З. х- любое действительное число.

Преобразуем неравенство к виду

* – 0,6**2 ≤

*- *≤

2.Обе части данного неравенства поделим на ˃ 0, это возможно, поскольку показательная функция у= имеет своим множеством значений множество положительных чисел.

Получим, *- *≤ 1.

Обе части неравенства домножим на 5 и введём новую переменную t = , где t > 0, поскольку показательная функция у= имеет своим множеством значений множество ≤положительных чисел.

Получим, t-   5

-5t -6 ≤0

D=49

t = 6 ; t= -1

*≤ 0

Используя метод интервалов, находим решение неравенства ,  -1≤ t≤ 6.

Т.к. t > 0, то 0˂ t≤ 6.

Вернёмся к переменной х.

˃ 0,

≤ 6.

Первое неравенство системы верно при любых действительных значениях переменной х.

Решим второе неравенство системы.

Поскольку показательная функция с основанием  ˃ 1 возрастает на всей области определения, то

 ≤

2 -  ≤ 0

*≤0.

Пользуясь методом интервалов, получаем,  ≤ х ≤

Ответ. ≤ х ≤ .

Используя рассмотренный алгоритм решения, можно предложить учащимся решить № 15 (вариант 4).

3* + ≤ 22*

Ответ.-  ≤ х≤ - 1

Рассмотрим решение логарифмических неравенств. При их решении надо учитывать , что ОДЗ определяется из условий :

                                    (1)

                                    (2)

При решении таких уравнений и неравенств надо учитывать, что их ОДЗ определяется из условий:

1) на ОДЗ все функции f(x), g(x), φ(x) и ψ(x) имеют смысл;

2) на ОДЗ основания логарифмов, т.е. функции φ(x) и ψ(x) должны удовлетворять условиям φ(x) > 0, ψ(x) > 0, φ(x) ≠ 1, ψ(x) ≠ 1;

3) на ОДЗ функции находящиеся под знаком логарифма, должны быть положительны, т.е. на ОДЗ должны выполняться неравенства f(x) > 0, f(x) > 0.

Вариант 5,№15.

Решить неравенство

 + 8 ≤ 32.

1.Найдём О.Д.З.

Поскольку логарифм существует для положительных чисел, то  ˃ 0 и   при х≠3.

Преобразуем данное неравенство к виду    8*4* ≤ 32.

Чтобы не произошло сужения области допустимых значений неравенств чётную  степень  разности (х-3) возьмём под знак модуля, т. к. множества значений выражений  

│х-3│равны.

Поделим обе части неравенства на 32.

    ≤ 1.

Пользуясь свойством логарифма, приведём логарифмы к одинаковому основанию.

 ≤ 1.

Сделаем замену переменной. Пусть t= ,тогда получим неравенство

 +  t ≤ 1

 +  t -1≤ 0

D=9,

 t =  , t= -1.

2 ≤ 0,

 ≤ 0.

Пользуясь методом интервалов, получаем решение неравенства относительно переменной  : -1≤  .

Вернёмся к переменной х.

≥ -1,

≤ .

В силу возрастания логарифмической функции с основанием 5 на всей области определения, имеем

                                                                  ,

  х ≥3,2,

  х≤ 2,8;

3-  ≤х ≤ 3+ .

С учётом О.Д.З. имеем, 3-  ≤х ≤ 2,8 и 3,2≤ х≤ 3+ .

Ответ. 3-  ≤х ≤ 2,8 и 3,2≤ х≤ 3+ .

Учащимся можно предложить выполнить № 15 из варианта 6,при решении которого используется тот же алгоритм решения.

 + 4 ≥ 72.

В35 №14 (2020 г.)

В правильной треугольной призме АВСстороны основания равны 5,боковые рёбра равны 2,точка D – середина ребра С

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB1.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB1.

Решение.

а) Построим прямую пересечения плоскостей АВС и ADB1.Для этого. Найдём  две общие точки этих плоскостей ,через которые будет проходить их общая прямая. Точка  А принадлежит обеим плоскостям, значит, прямая, по которой пересекаются эти плоскости проходит через точку А. Для нахождения второй общей точки этих плоскостей продлим прямую ВС, лежащую в плоскости АВС, до пересечения с прямой DB1, лежащей в плоскости ADB1. Точку пересечения прямых  назовём K.

А К– линия пересечения плоскостей АВС и ADB1.

б)Для нахождения угла между  плоскостями АВС и ADB1 надо построить линейный угол двугранного угла, который образуют плоскости АВС и ADB1.

 1) DCK = DC1B1 (прямоугольные треугольники с равными катетами DC и DC1 и равными вертикальными углами).

2) Из равенства этих треугольников следует равенство КС = С1В1  КС = 5.

Поэтому  КСА – равнобедренный , в котором КС =АС.

3) Рассмотрим  КСА. Из вершины С опустим перпендикуляр на сторону АК (СН  АК), тогда KH = HA и DH  KA (по теореме о трех перпендикулярах: DC )   DHC – линейный  угол  двугранного угла, образованного  плоскостями АВС и ADB1.

4) HCA = 60°, т.к. КСА = 180° - 30°*2 = 120° и СН – биссектриса , проведённая из вершины к основанию равнобедренного треугольника. Тогда НАС = 30°.

В АНC: СН = СА = .

5)Рассмотрим  DНC:  tg  =  =  =  и    = arctg .

Ответ. arctg .

Комментарий. В критериях оценивания задания 14 говорится об обоснованно полученном верном решении, т.е. решение необходимо подтверждать теоретическим обоснованием. Например, решение данной задачи обязательно должно содержать описание построения  прямой пересечения плоскостей АВС и ADB1.При решении необходимо показать применение теоремы о трёх перпендикулярах и описать построение линейного угла двугранного угла, образованного пересечением плоскостей АВС и ADB1.