Разработка урок по теме «Объем конуса»
методическая разработка по математике

I. Орг. момент.

Сегодня мы отправимся в увлекательный мир геометрии, который вам откроет некоторые тайны, связанные с телами вращения, ведь геометрия полна приключений, потому что за каждой задаче скрывается приключение мысли.

Выдающийся французский философ, ученый Блез паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя.

II. Постановка цели. Историческая справка

Разгадав ребус, вы определите тему нашего урока.

Тема урока «Объем конуса» и сегодня мы будем учиться применять теоретические знания для решения практических задач.  

Мне хочется, чтобы вы еще раз убедились, что математика интересная и увлекательная наука, тесно связанная с жизнью и окружающим миром.

Ведь недаром еще Аристотель говорил, что ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике.

Трудно нказвать чаще встречающиеся задачи на практике, чем задачи на вычисление объемов. О них задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. 

Археологические раскопки доказывают, что с конусами люди были знакомы с древних времен. Например, в Древней Греции время, отводимое для речей, измеряли с помощью водяных часов. Старинные египетские водяные часы (клепсидра) представляли собой сосуд, имеющий форму конуса, наполненный водой, которая вытекала через отверстие в нижней его части. Уровень воды показываел время, истекшее с момента наполнения сосуда. С тех времен дошли до нас выражения «Много воды утекло», «Как медленно течет время».

Перед вами два изображения. Установите связь между этими объектами.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «втулка», «сосновая шишка». 

- Как вы думает, нужны ли нам в жизни конусы? 

Конусы окружают нас повсюду: в быту, технике, на производстве, т.е. находят свое применение во всех сферах человеческой деятельности. Конические детали имеюся во многих машинах и механизмах: в автомобилях, танках. Носовая часть самолетов и ракет также имеют коническую форму. Чаще всего конусы используют в совокупности с другими телами или друг с другом.

- Подумайте, для чего важно уметь решать задачи на вычисление объемов конуса и других тел? 

 III. Актуализация опорных знаний

- Какое тело называется конусом?

- Почему конус называют телом вращения?

Тест «Конус»

1. Какая фигура является основанием конуса:

а) окружность;                          б) круг;                             в) круговой сектор.

2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется:

а) образующей;                        б) высотой;                        в) диаметром.

3. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, есть:

а) круг;               б) прямоугольный треугольник;                 в) равнобедренный треугольник.

4. Образующая конуса – это:

а) отрезок, который соединяет две любые точки основания;

б) отрезок, который соединяет вершину с центром круга;

в) отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания.

5. Назовите отрезок, который является радиусом:

а) АО;                    б) АС;                  в) SО.

6. Какая фигура является осью конуса:

а) отрезок SО;                б) прямая l;                   в) отрезок АС.

7. Назовите осевое сечение конуса:

а) АSО;                  б) SОВ;                      в) АSС.

8. В каких случаях при вращении заданных на рисунке плоских фигур вокруг оси l получится конус?

а) 3,4;                  б) 1,2,3;                     в) 1,2,3,4.

9. Укажите номера правильных выражений:

а) 1 см = 10 мм;                         б) 1м3 = 1000000 см3;                     в) 1 см3 = 0,000001 м3.

10. Объем конуса вычисляется по формуле:

а)               б)               в)

Ключ:

1. б

2. б

3. а

4. в

5. а,в

6. б

7. в

8. а

9. а, б, в

10. а,в

На экране вы видите ключ и критерии для самооценки своих знаний. 

«5»    9 – 10 правильных ответов
«4»    7 – 8 правильных ответов
«3»    5 – 6 правильных ответов  

Поставьте оценку, подпишите работу и сдайте.    

IV. Решение практических задач

Каково практическое применение приобретенным знаниям? 

Конус очень часто можно встретить в нашей повседневной жизни.

Вы уже знаете, как найти элементы конуса, его поверхность и объем, но сможете ли вы применить их на практике.

Ведь куча щебня по краям шоссейной дороги также представляет предмет, заслуживающий внимание. Посмотрев на нее, мы можем задать себе вопросы:

- Каков объем этой кучи щебня?

- Какую площадь занимает щебень?

Задача довольно сложная для человека, привыкшего преодолевать математические трудности только на бумаге. Ведь необходимо вычислить объем, высота и радиус которого не доступны для непосрдственного измерения. Вопросы:

- Как найти радиус? (измерить длину окружности основания и разделить на 6,28 = 2).

- Как найти образующую? (определить две образующие, перекинув метровую ленту через вершину).

- Как найти высоту? (по теореме Пифагора).

При взгляде на коническую кучу щебня или песка мне вспоминается старинная легенда восточных народов, рассказанная у А.С. Пушкина в "Скупом рыцаре". Послушайте ее:

«…Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу.

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли...»  

- Какой высоты мог быть этот холм?

- На сколько километров может увеличиться панорама для наблюдения поднявшегося с подножия холма к его вершине?

Докажем или опровергнем легенду о древнем владыке.

Перед нами встала проблема: "Прав ли был А.С. Пушкин, назвав получившийся холм "гордым".

Найдем высоту получившегося холма, а для этого переведем задачу на язык геометрии.

- Какие ассоциации вызывает у вас эти строки?

- Холм - это конус, но какого объема?

- Достаточно ли данных в задаче?

- Чтобы разобраться в поставленной задаче, надо составить ее математическую модель и наметить этапы решения. Армии в старину были не так многочисленны, как в наше время. Войско в 100 000 человек считалось внушительным.

Пусть 1 горсть ≈ литра = 0,2 дм3,    n = 100 000. 

Возьмем угол наклона образующей к плоскости основания равным 450. Взяв больший угол наклона, земля начнет осыпаться.

 Vк = 0,2 ∙ 100000 = 20000 дм3 = 20 м3.      

Т.к. h = r, V = πh3,    20 = h3

 h = 2,7 (м)

Используя знания из курса геометрии, мы доказали, что если бы какой-нибудь древний деспот, велевший "снести земли по горсти в кучу", осуществил бы такую затею, был бы разочарован незначительным результатом.

Легенда звучит правдоподобно, но А.С. Пушкин был неправ, назвав холм "гордым". Надо одладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м ( человеческих роста) назвать "гордым холмом". Вряд ли такая высота удовлетворила честолюбие царя.

Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.             

У Атиллы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек. Если бы все воины Атиллы участвовали в образовании холма получилась бы куча повыше вычисленной нами, но не очень. Дома вичислите высоту кургана и подумайте, удовлетворила бы такая высота честолюбие Атиллы или нет.  

Таким образом, математика помогает критически относится к художественным произведениям.

Как мы уже знаем, понятие объема и простейшие вычисления объемов возникли из практической деятельности людей:

- измерение объма строительных работ;

- определение вместимости различных емкостей;

- нахождение массы и плотности различных предметов и т.д.

Подобные задачи приходится решать и внашей повседневной жизни. Предлагается решить задачу на практическое применение формулы объема конуса (работа в парах).

   Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить восьмилитровое ведро? (32 воронки) 

V. Дополнительная информация о конусе.

Конусы имеют широкое распространение в окружающем нас мире. Большое значение они имеют в практической деятельности человека.

- Как вы думаете, для чего дамы в средневековье носили длинный конус-колпак на голове?

Если вы думаете, что мода такая была, то вы ошибетесь. Ответ прост: они считали, что под колпаком собирается энергия, которая в свою очередь сделает их сильнее и умнее. Водружаем на голову колпак и энергично отправляемся на поиск новой информации о конусе.

С дополниетельной информацией о конусе нас познакомит (Ф.И. учащегося).

     В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину. 

     В биологии верхушку побега и корня растений, состоящую из клеток образовательной  ткани, называют «конусом   нарастания». Деление клеток «конуса нарастания» обеспечивает рост стебля и корня в длину. Этот рост сопровождается ветвлением. 

     «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных, попавших в книгу рекордов Гиннеса. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры. В то же время, яд некоторых моллюсков используют в фармакологии для изготовления сильнодействующих обезболивающих препаратов, не вызывающих наркотической зависимости. 

     Гром, гроза, молния. Эти явления природы хорошо нам знакомы. Больше всего гроз бывает в Индонезии и Центральной Америке. Здесь число дней в году с грозами превосходит 200. И именно здесь чаще всего погибают от разрядов молний. Для предохранения зданий, промышленных сооружений от разрушительного действия молнии ставится молниеотвод, или, как его называют, громоотвод, в результате чего образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод,  тем больше объем такого конуса. 

     В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса. 

VI. Практическая работа

Для того, чтобы проверить, как вы усвоили данную тему выполните практическую работу. 

1. Из предложенного набора треугольников (равнобедренный, равносторонний, прямоугольный, произвольный) выберите треугольник, вращением которого вокруг одной из его сторон получается конус.                                                                           Измерьте радиус и высоту получившегося конуса и вычислите его объем.

2. На модели конуса выполните необходимые измерения и вычислите его объем (на столе у каждого учащегося модель конуса).

VII. Итог урока 

Вот и подошел к концу урок, посвященный вычислению объема конуса. Где бы вы ни очутились, всюду вы встретите круглые тела: кирпич с отверстиями, графитные стержни, резервуары нефтеперерабатывающих заводов, ведра и подшипники, вылканы и их кратеры, воронки для переливания жидкостей и смерчи. Словом, вам придется самостоятельно моделировать жизненые ситуации и вы безошибочно сможете выполнить любые расчеты.

     Эдгар Дейл в 1969 году выявл наиболее эффективные способы обучения. 

Он пришел к выводу, что:

- слушать лекции на тему или читать материалы по предмету - это наименее эффективный способ выучить что-либо;

- обучать других и использовать изучаемый материал в собственной жизни - это наиболее эффективный спаособ выучить что-либо.

     Результаты исследований он представил в виде схемы "Конус обучения".

VIII. Домашнее задание

Мы увидили, что конус применяется во всех сферах человеческой деятельности, научились решать задачи прикладного характера на вычисление объема данного тела вращения. И домашнее задание будет таким: составить задачу с практическим применением по теме «Объем конуса» 

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23