Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа №169»

Автозаводского района г.Н.Новгорода

Научное общество учащихся  

Оригами и математика.

Выполнил: Понетайкин Никита,

 ученик 5А класса МБОУ «Школа №169»

Научный руководитель:

Апанасенко С.В., учитель

Нижний Новгород

 2017

Оглавление

Введение        …..3

Глава 1. Понятие об оригами        5

1.1. История оригами        5

1.2. Виды и техники оригами        9

Простое оригами         9

Модульное оригами         10

Складывание по развёртке        ....10

Мокрое оригами……………………………………………………………………..10

Киригами……………………………………………………………………………..10

Наноригами………………………………………………………………………….10

1.3. Базовые формы оригами        ……..11

Глава 2. Оригами – это математика!        12

2.1. Некоторые примеры связи математики и оригами        13

2.2. Оригаметрия в математике…………………………………………………....15

2.3. Доказательство теорем с помощью оригами…………………………………18

2.4. Решение задач …………………………………………………………………..20

2.5. Области применения……………………………………………………………24

Заключение        ..26

Список используемых источников и литературы ………………………………..28

Приложение        29

Введение

Искусство оригами увлекло меня еще в раннем детстве. Мы вместе с бабушкой складывали простые фигурки из бумаги, когда мне было всего три года! Конечно, это было не обучение, а игра – волшебное превращение простого листочка в игрушку! Оригами – это идеальный конструктор, который состоит из одной детали (листа), с помощью которой создается бесконечное разнообразие форм, складываются тысячи и тысячи разных фигурок.

Я обратил внимание, что искусство оригами сочетает в себе красивые формы и удивительно правильные линии. А на уроках в школе мне всегда больше всего нравилась математика…  Может быть, именно из-за этого мастера оригами говорят, что при складывании фигурок «голова работает руками» и очень успешно.

Оригами - удивительное искусство бумажной пластики. Оригами - это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Сегодня множество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Я заметил, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, насколько тесно связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги и давно интересующая меня математика. 

Актуальность исследования состоит в том, что в последнее время учащиеся всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Своей работой я хотел показать, что математика интересная, творческая наука и при помощи оригами из листа обычной бумаги можно не только творить самые невероятные вещи, но и делать различные геометрические построения без циркуля и линейки.

Цели работы:

- изучить происхождение оригами

- изучить связь этого искусства с математикой

- исследовать применение математики в создании и построении оригами.

Задачи:

• Определить, что называют оригами
• Рассмотреть базовые формы и приемы оригами
• Изучить понятие, виды, историю происхождения оригами.
• Проанализировать связь оригами и математики на примере основных элементов азбуки оригами.

   Методы исследования:

• Изучение литературы.
• Построение оригами.
• Анализ проведённой работы.

          Предмет: оригами    

Гипотеза: Искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для ее изучения.

Глава 1. Понятие оригами

Многие удивляются, услышав слово «оригами». «А что это такое?» — спрашивают они. Между тем каждый человек наверняка хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги – кораблик  или тюльпанчик. А в те времена, когда в магазинах не было соломенных шляп и панам, люди летом нередко сооружали себе «пилотку» из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу «оригами».

В наше время оригами перестало быть только игрушкой. Этим искусством заинтересовались ученые и конструкторы. Проходят научные симпозиумы по оригами.

Но детей, конечно, больше всего интересует оригами как возможность создать новую игрушку. А можно создать новые, свои собственные объемные фигурки из бумаги.

Итак, оригами – это искусство складывания из бумаги.

1. История оригами

Родина оригами - Япония. Искусство складывания бумаги зародилось в Стране Восходящего солнца много веков назад. В далекой древности оригами имело религиозное предназначение, было храмовым искусством. Изготовление красочных фигурок являлось священным ритуальным действием. Ими украшали статую "многоликой" и "тысячерукой" богини милосердия Каннон, чтобы задобрить ее и попросить покровительства. Японцы видели мистическую связь между религиозными ритуалами и изделиями из сложенной бумаги. Ведь "ори" означает "сложенный", а "ками"-"бумага" и "бог" одновременно. Родиной оригами является Япония. Объясняется это тем, что в этой стране процесс складывания удачно иллюстрировал некоторые мировоззренческие идеи философии Дзен. Немаловажным оказалось также сходство звучания японских слов "бумага" и "Бог" - "ками". Таким образом, у японцев возникала связь между религиозным ритуалом и складыванием фигурок из бумаги. Один из ритуалов с их использованием состоял в изготовлении небольших бумажных коробочек Санбо. В них помещали кусочки рыбы и овощей, которые предназначались в дар богам.

В периоды Камакура (1185-1333) и Муромати (1333-1573) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократия и придворные должны были обладать определенными навыками и в искусстве складывания. В зажиточных семьях родители нанимали учителей оригамистов для преподавания искусства бумажной пластики. Записки, сложенные в форме бабочки, журавля, цветка или абстрактной геометрической фигуры, были символом дружбы или доброго пожелания для любимого человека. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать. В период Адзути Момояма (1573-1603) и Эдо (1603-1867) оригами из церемониального искусства превратилось в популярный способ времяпровождения.

Сам термин оригами возник и закрепился только в 1880 году, когда данное искусство стало частью аристократического общества и вошло в число обязательных для японских семей. Япония, создавшая оригамную «азбуку», официально стала родиной оригами. Она задала классическую основу, от которой отталкивались остальные покорители искусства создания бумажных шедевров. Появление авторских моделей и начало развития оригами, как направления современного искусства, связывают с именем знаменитого японского мастера Акиры Йошизавы. Во второй половине двадцатого века он уже активно пользуется придуманной им системой записи процесса складывания и извлекает из хорошо известных базовых форм множество новых моделей.

Но нельзя сказать, что искусство оригами развивалось только в Японии. Например, в Испании под руководством Мигуеля Уманумо, образовалась «испанская школа», в которой были разработаны доселе фигурки. В 1937 году в Лондоне выходит в свет книга Маргарет Кембелл "Изготовление бумажных игрушек", в которой впервые упоминаются три традиционные на Востоке базовые формы - "водяная бомбочка", "птица" и "лягушка". В 1946 году схема складывания классического японского журавлика публикуется в одном из английских детских ежегодных журналов.

Фокусник Роберт Харбин (1909-1978) всерьез увлекается оригами и собирает любую информацию на эту тему. Он знакомится не только со всеми классическими работами, но и с изобретениями Акиры Йошизавы, который к этому времени уже стал известным японским оригамистом. В результате в 1955 году на телевизионном канале "Jigsaw" Харбин делает регулярную программу по оригами "Мистеры Левая и Правая Рука", а в 1956 г. он выпускает в свет книгу, полностью посвященную оригами. В июне 1965 г. в Англии в свет начинает выходить "Оригамский листок", а 22 апреля 1967 г. создается общественная организация - Английское Общество Оригами (British Origami Society - BOS), в этом году BOS исполнилось 43 года. В конце шестидесятых годов образовываются центры оригами в США, в Англии, в Турине и Флоренции, во Франции, в Нидерландах и Бельгии, Испанского центра оригами в Барселоне.

Не обошло стороной оригами и Россию, но сначала этот вид искусства был освоен детьми. Первым об оригами узнал юный наследник престола Николая II от учителя английского языка Чарльза Сиднея Гиббса, филолога из Кембриджа. Любовью к технике оригами отличался и великий русский писатель Лев Николаевич Толстой. Министерство иностранных дел Японии отправляет известного мастера-оригамиста Акиру Йошизаву, который к тому времени создал учебное пособие по оригами, в Европу, возложив на него почетную миссию: посредством оригами добиваться мира и дружбы со всеми странами. И вот в 1978 Йошизава с целой серией знаков передавал свои наработки россиянинам, он повсюду пропагандировал искусство оригами и его неограниченные возможности. Мощный толчок развитию отечественного оригами дает создание в 1989 и 1991 гг. двух общественных организаций - Московского и Петербургского центров оригами. В октябре 1995 года выходит в свет, одобренное Министерством образования Российской Федерации, первое издание учебника для начальной школы: "Уроки оригами в школе и дома". В марте 1996 г. в Петербурге проходит Первая Всероссийская конференция "Оригами и педагогика", материалы которой издаются отдельным сборником. Число отечественных изобретений, зарегистрированных в базе данных Петербургского центра оригами в 1998 г. превышает первую тысячу. Многие из этих работ вызывают должное восхищение у зарубежных оригамистов. В 1998 году в США издательство St. Martin Press выпускает книгу "Russian Origami", в которой представлены лучшие работы в технике складывания, изобретенные в России. В настоящее время организуются и олимпиады по оригами, что еще раз подтверждает значимость занятия оригами.

Таким образом, хотя на протяжении веков искусство делать фигурки из бумажного листа развивалось у каждого народа по-своему, но Япония навсегда остается неоспоримым лидером в области оригами. Ведь именно она подарила миру это искусство.

Новое возрождение оригами так же тесно связано со страшной трагедией, произошедшей      6 августа 1945 года, когда "люди" решили испытать атомную бомбу на человеке, подписав, смертный приговор городу Хиросима. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны: из 420 тысяч жителей города погибло 80 тысяч. В течение следующих 20 лет от последствий облучения умерло еще 200 тысяч человек. Среди погибших было много детей. Именно тогда среди детей, обреченных на гибель, возникла легенда о свободной птице, символе жизни - журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся и останутся живы.

В память о жертвах атомной бомбардировки в Хиросиме заложили парк Мира. В мае 1958 года там был открыт монумент, посвященный погибшим детям. Памятник изображает бомбу, на вершине и по бокам которой размещены фигуры детей с поднятыми к небу руками. Двенадцатилетняя девочка, чья смерть послужила поводом для сооружения памятника, успела сделать только 644 журавлика. Но волна удивительной детской солидарности прокатилась по всем странам мира.

Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов нашей планеты с бесценным грузом - бумажными журавликами, собранными в гирлянды по 1000 штук. Эти гирлянды и сегодня украшают памятник и являются символом протеста против войны.

Оригами играет большую роль для формирования предпонятий, свойств как плоских, так и пространственных геометрических фигур Искусство оригами - это не только построение фигур журавликов или цветов из квадратного листа бумаги, оно позволяет на основе квадратного листа бумаги построить модель евклидовой геометрии. Образную, наглядную модель евклидовой геометрии позволяет создать оригами. И чем дальше погружаешься в эту необычную геометрию, тем все больше приходишь в восхищение от разнообразия забавных и серьезных задач, которые удается решить. С помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а имеет свою красоту и гармонию.  

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Практически во всем мире это искусство развивается в соответствии с традициями народа. Появились новые направления оригами и области его применения. Например, математики благодаря оригами открыли множество возможностей для решения геометрических задач. Архитекторы и строители увидели в конструировании оригами возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Даже возник новый термин - оригамика. Для педагогов оригами - это уникальная возможность развития тонкой моторики ребенка, что напрямую связано с развитием интеллекта. Для психологов оригами - это одно из направлений арт-терапии, возможность оказать больному психологическую помощь посредством искусства.

В России оригами попало на благодатную почву, стало серьезным занятием для множества педагогов. Сегодня в России тысячи людей занимаются этим искусством. Во многих городах возникли клубы и центры оригами, ежегодно проходят встречи и конференции, посвященные проблеме использования оригами в педагогике, математике, архитектуре.                                                                                                                            

1.2. Виды и техники оригами

Простое оригами

Простое оригами — стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом, и который ограничен использованием только складок горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками. Данное выше ограничение означает невозможность многих (но не всех) сложных приёмов, привычных для обычного оригами, что вынуждает к разработке новых методов, дающих сходные эффекты.

Модульное оригами

Одной из популярных разновидностей оригами является модульное оригами, в котором целая фигура собирается из многих одинаковых частей (модулей). Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путём вкладывания их друг в друга, появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться. Одним из наиболее часто встречающихся объектов модульного оригами является кусудама, объёмное тело шарообразной формы. (Приложение № 1)

Складывание по развёртке

Развёртка (англ. crease pattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придуман.

Мокрое оригами

   Бумага смачивается водой, от этого она становится более пластичной. В результате работы со смоченной бумагой получаются плавные формы. Изделия похожи на папье-маше.

Киригами

   Вид работы с бумагой при помощи ножниц. Ножницы дают большую свободу действий и более чёткие формы.

Наноригами

   Сложная разновидность оригами. Это трёхмерный конструктор с малюсенькими элементами. Принципы наноригами используются в нанотехнологиях.

    Фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур: квадрата, треугольника, прямоугольника, пяти-, шести-, восьмиугольников, и даже круга.

   То есть все фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур, значит это одна из точек прикосновения оригами с математикой.

1.3. Базовые формы оригами.

С древних времён в японском оригами существуют некоторые формы, которые принято считать базовыми. Это стандартные, легко распознаваемые заготовки, из которых впоследствии можно получить сотни вариаций. Все эти базовые модели должны стать хорошо вам знакомыми, и делать каждую базовую заготовку вы должны автоматически, зная каждую её складку и последовательность операций. Освоив базовые формы, вы с успехом сможете складывать не только классические модели, но и свои собственные.

На самых первых этапах работы квадратный лист можно сложить несколькими способами. Их немного — одиннадцать, и у каждой своё имя. (Приложение № 2)

Глава 2. Оригами – это математика!

Как связано искусство оригами и точная наука математика. Этот вопрос я решила изучить.

Я проанализировал базовые формы оригами и заметил, что уже при первом знакомстве с этим искусством мы узнаем о таких простых формах, как прямоугольник и треугольник. Когда складываем простую форму, то знакомимся с квадратом, согнув углы которого к центру можно увидеть, что квадрат может состоять из четырёх одинаковых треугольников. Складывая форму «Воздушный змей», знакомимся с ромбом. Азбука оригами включает в себя такие геометрические понятия, как точка и линия. (Приложение №3)

Таким образом, оригами и математика (а именно геометрия) неразрывно связаны. Множество понятий из математики, такие как точка, линия, квадрат, прямоугольник, треугольник используем мы при изготовлении оригами.

К сожалению, складывание из бумаги, пока еще редко воспринимается как настоящее искусство. Чудесные превращения бумажного листа в шляпу или кораблик восхищают людей, но мало кто из них догадывается о том, что большинство упаковочных коробок для современных товаров и даже целые конструкции зданий сделаны по тем же правилам, что и бумажные кораблики.

Не будучи инженером, математиком и художником, одновременно, нельзя понять всей гениальной простоты метода, благодаря которому плоская поверхность в руках мастера оригами может превратиться в сложнейшую пространственную конструкцию. Учитывая превосходные свойства бумаги, позволяющие легко складывать, резать и склеивать этот материал, его издавна использовали для архитектурного макетирования и декоративного моделирования. В самом деле, прежде чем изготавливать даже опытный образец изделия или сооружения, гораздо легче сначала сделать его макет из бумаги. По этой же причине бумагу применяют при изготовлении шаблонов, выкроек и трафаретов. И тем более трудно себе представить без этого материала вырезание силуэтов, составление коллажей и аппликаций.

Искусство оригами, напротив, полностью исключает вырезание, склеивание и, уж тем более, вытягивание поверхности. Из всех возможных способов в классическом оригами допускается только изгибание и складывание. Это ограничение бесконечно усложняет задачу моделирования формы, но, с другой стороны, заставляет мастера неожиданно для самого себя раскрывать такие возможности материала, которые во всех иных способах работы с ним оставались невостребованными.

Но, к сожалению, даже знатоки оригами не всегда задумываются над этим. Обычно, складывание рассматривается, прежде всего, как тонкое рукоделие, повторение по схемам уже известных конструкций фигурок или придумывание новых.

Стало очевидным, что математическое понимание оригами допускает абстрагирование поверхности от материала, а топологические складчатые трансформации листа могут быть дополнены введением конструкционно-оправданных сечений поверхности и расширением ее понимания из плоской, в криволинейную, в оболочку замкнутого объема, в трехмерную конструкцию и т.д.

В России Михаил Максимович Литвинов первым не только сформулировал понятие "оригамики", но и показал, научил и создал в России новое движение единомышленников, объединив их вокруг учебно-художественного Центра Оригами, впоследствии преобразованного в Московский Клуб Оригами.

Таким образом, оригами из невинной игры и ремесла превратилось в интеллектуальное занятие, чья энергия массового увлечения направилась в сторону научного и художественного творчества. Оригами стало постепенно сливаться с современной культурой и технологиями третьего тысячелетия.

2.1. Некоторые примеры связи математики и оригами.

Согласно классическому оригами, объектом складывания является
неразмеченный квадратный лист бумаги, без разрезов.

С точки зрения математики, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам:

• Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.
• Точки определяются пересечениями линий.
• Все складки определяются единственным образом путем совмещения
  различных элементов листа — линий или точек.
• Сгиб формируется единственной складкой, причем в результате
  складывания фигура остается плоской.

Последний пункт сильно ограничивает возможности складывания, разрешая только одну складку за один раз. На практике даже простейшие модели оригами подразумевают создание нескольких складок за одно действие.

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, трапецией и т.д., учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Американский педагог Ф. Фребель^[1] уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе.

Например, основы геометрии он предлагал изучать не с помощью циркуля, линейки и некоторых понятий, а на примере фигур складывающейся бумаги. Он активно внедрял оригами в педагогический процесс. К сожалению, тогда Фребель не владел такой, как в настоящее время, техникой складывания фигур.

Но система его детских садов выжила, уже в 1892 году в Англии был основан специальный Фребелевский колледж, были они и в Америке, Японии, во многих странах Азии.

Идеи Фребеля и сегодня очень интересны. Не удивительно поэтому, что в наши дни оригами продолжает играть определённую роль в развитии и воспитании. Оригами способствует активности, как левого, так и правого полушарий мозга, так как требует одновременного контроля за движениями обеих рук

В теории оригами существуют правила, закономерности, которые доказываются с помощью математики, а общие свойства объёмных тел изучает специальная математическая наука - топология.

2.2. Оригаметрия в математике

Оригаметрия - это новая наука на стыке двух: оригами и геометрии. Геометрия - это и метод познания мира, и образ мышления, и язык, широко применяемый в жизни, и в частности в строительстве. Оригами - это вид творчества, вид искусства, столь же древний, как и геометрия. И их взаимосвязь дает новый простор в развитии этих наук. Оригаметрия - это оригинальный подход к решению геометрических задач.

Основные понятия оригаметрии: точка; линия сгиба; квадратный лист бумаги. Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба. В основе оригаметрии, как и любой науки лежат аксиомы, которые предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита. Их шесть:

 Аксиома 1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.

Аксиома 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

Аксиома 3. Существует сгиб, совмещающий две данные прямые.

Аксиома 4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.

Аксиома 5. Существует сгиб, проходящий через данную точку и   помещающий другую данную точку на данную прямую.

Аксиома 6. Существует сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных   пересекающихся.        

Данная система аксиом удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к системам аксиом, а именно, она является независимой, непротиворечивой и полной. Система аксиом А1 – А5 эквивалентна системе аксиом конструктивной геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки. Аксиома А6 не может быть решена методами конструктивной геометрии, так как построения, проводимые в этой аксиоме, сводятся к решению кубического уравнения, не имеющего рациональных корней. Возможности построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги намного больше, чем при использовании классических чертёжных инструментов. В оригаметрии считается:

1.        Роль прямых будут играть края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании.

2.        Роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов

А сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой! Из чего же состоит любая оригамская задача?

1.        Из постановки задачи.

2.        Из оригамского решения, проверки или способа построения.

3.        Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Оригаметрия - область очень молодая, и, наверное, поэтому мы пока не видели ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы материал с помощью оригаметрии. Поэтому нашей задачей является изучение органического включения оригами в курс математики, в частности использование приемов сгибания бумаги для решения геометрической задачи.

    В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются только методом складывания.

В наше время оригами с математической точностью шагает по планете семимильными шагами. Ученые придумали использовать приёмы оригами в космосе, а именно  Миура-ори — схема жесткого складывания, которая использовалась для развертывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках.

    Математика - это одна из сторон оригами и наоборот оригами является одной из направляющих математики.

    Большинство классических моделей в оригами выполняются из квадрата. В процессе изготовления простых моделей мы знакомимся с очень нужными понятиями.

Деление на части является основами раздела математики – геометрии!!!

 Посмотрим на обычный лист бумаги, как на средство обучения одному из сложных предметов – геометрии.

Проведем исследование листа бумаги.

- Какую он имеет форму -  прямоугольник, квадрат

- Каждая вершина угла этого листа - вершина прямоугольника

- Край листа -сторона, отрезок.

Проведем небольшую очень простую практическую работу:

Возьмите желтый треугольник, давайте попробуем сгибанием его построить биссектрису одного из углов. Постройте биссектрисы двух других углов. Разверните лист бумаги. Внимательно посмотрите на следы сгибов. Все три сгиба прошли через одну точку - биссектрисы пересеклись в одной точке.

Возьмите красный треугольник. Проделаем аналогичную работу, только сгибать будем несколько иначе. Построим высоту.  Повторим действия для двух других углов.  Все три сгиба прошли через одну точку - высоты также пересеклись в одной точке.

Возьмите зеленый треугольник. Для построения следующей линии нам нужно разделить сторону треугольника пополам, для этого совмещаем две вершины треугольника и делаем небольшой сгиб, отмечая тем самым середину стороны. Теперь сгибаем треугольник, так чтобы линия сгиба проходила через вершину треугольника и отмеченную точку. Такой отрезок называется медианой треугольника. Построим еще две медианы треугольника. Вновь рассмотрим рисунок линий и убедимся, что медианы так же пересекаются в одной точке.

Итак, в течении одной минуты мы научились строить основные линии в треугольнике, а так же сформулировали теоремы о трех замечательных точках треугольника. Самое главное, выполняя эти практические задания, мы освоили основы оригами.

Освоив простейшие приемы искусства оригами можно перейти к более сложным построениям и доказательствам.

2.3. Доказательство теорем с помощью оригами.

Теорема 1.Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Возьмем лист бумаги, имеющий форму произвольного треугольника.

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).

2)  Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.

3) Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.

Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство.

1) Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.

2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.

3) Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Теорема 3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы (свойство прямоугольного треугольника)

Доказательство:

1) Можно найти середину гипотенузы, простым сгибом пополам.

2) Сравним длину катета, лежащего напротив угла в 30 градусов с длиной гипотенузы, простым наложением. И у нас получится, что мы попали в середину.

Теорема 4. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900

Доказательство:

1) Согните треугольник.

Острые углы при наложении составляют прямой угол, который равен 900.

2.4. Решение задач

Существует много типов задач, к которым можно применить метод сгибов. Среди них задачи на построение, на доказательство, на нахождение линейных размеров искомых фигур, их площадей, периметров и т. д. Чтобы проиллюстрировать красоту и возможности указанного метода, рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Возьмите квадратный лист бумаги, одна сторона которого — белого цвета, а вторая — серого. Какие серые многоугольники можно получить, сгибая один конец этого квадрата, если квадрат расположен белым цветом к нам?

Решение. Можно получить треугольники, четырёхугольники, пятиугольники. А вот уже шестиугольник получить нельзя.

Можно продолжить исследование аналогичной задачи, но с исходной фигурой — треугольником (пятиугольником, шестиугольником). Тогда мы сможем получить фигуры от треугольника до (n +1)-угольника, где n — количество углов исходного многоугольника.

Задача 2. Из данного квадрата получите квадрат, площадь которого в 4 раза меньше площади данного.

Решение. Можно использовать следующие три простых оригами-решения (рис. 1), которые даже не нуждаются в математическом обосновании вследствие своей наглядности: из одного квадрата получили четыре равных квадрата (они совпадают при наложении), а значит, и площадь каждого равна четвертой части исходного квадрата.

Задача 3. Из данного квадрата получите квадрат, площадь которого в 2 раза меньше площади данного.

Решение. Оригами-решение можно предложить следующее (рис. 2):

Это решение также очевидно

Задача 4. Заданный угол разделите на три равные части.

Задача о трисекции угла — древняя геометрическая проблема. Её нельзя решить с использованием циркуля и линейки, но очень легко решить, воспользовавшись методом сгиба листа бумаги.

Решение. Пусть угол задан двумя складками a и b. Обозначим вершину угла точкой A (рис. 3).

Рис. 3

Сначала выполним дополнительные построения. Нам нужно:

• восстановить перпендикуляр n к b, который проходит через вершину A;
• выбрать на n произвольную точку B и построить срединный перпендикуляр k к отрезку AB.

 Теперь всё готово для главного сгиба. Сложим лист так, чтобы точка B перешла в точку C на стороне a заданного угла, а вершина угла A перешла в точку E на срединном перпендикуляре k. При этом точка E определит первую трисектрису угла, а точка D — точка пересечения сгиба m с срединным перпендикуляром k, определит вторую трисектрису угла. Итак, лучи AD и AE делят заданный угол на три равные части.

Математическое обоснование

Рис.4

Δ AOD =Δ EOD ( ∠ O=  90° , DO — общая сторона, AO =OE  по построению), значит, ∠EDO=∠ADO.

Задача 5.  В ΔАВС проведена биссектриса ВК. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВM = МК. Докажите, что КМ||АВ.

Решение.

 1) Совместим лучи ВА и ВС, построим биссектрису ВК

2) Совместим точки В и К, построим точку М  

3) Согнем по линии МК.

Математическое обоснование:  

BK биссектриса ΔАВС => ے1 = ے2, BM = MK (по условию) => ΔBMK равнобедренный => ے 2 = ے 3.

Следовательно, ے 1 = ے 3, но ے 1 и ے 3 накрест лежащие при прямых AB и KM и секущей BK => AB||KM

С помощью сгибов из квадрата можно получить другие правильные многоугольники.

С помощью оригами решаются геометрические задачи на плоскости. Складывание многоугольников – увлекательнейшее занятие, но вместе с тем и не простое. Оно требует аккуратности, точности и высокого сосредоточения внимания.

Существует пять правильных многогранников, которые называют Платоновыми телами. (Приложение №4). Они составлены из правильных многоугольников (тетраэтд – 4 треугольника, октаэдр – 8 треугольников, икосаэдр – 20 треугольников, куб – 6 квадратов, додекаэдр – 12 пятиугольников). Неоценимую помощь в изготовлении многогранников может принести оригами. Вы можете изготовить многогранник любого размера без всякой выкройки. Нужно только выбрать размер листа бумаги. Кроме того оригамный многогранник всегда можно разобрать, а его модули при этом не займут много места.

Оригами можно использовать на занятиях по математике в таких заданиях, как:

а) найти горизонтальные, вертикальные, наклонные линии;

б) найти все квадраты;

        в) найти все треугольники;

г) дать название изображениям;

д) складывание квадрата, смежные стороны, диагональ.

2.5. Области применения.

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области применения.

Оригами получило широкое признание во всем мире. Области применения оригами разнообразны и порой неожиданны: медицина и школьное образование, архитектура и дизайн, авиация и машиностроение. Конструкции, созданные по этому принципу, работают на земле и в космосе. И в последние годы, по мере совершенствования техники оригами, появились весьма сложные и мастерски отточенные работы, выполненные только из одного листа бумаги. Новые приемы этого искусства разрабатывают как профессиональные художники, так и любители.

Развитие геометрических методов оригами привело к созданию чрезвычайно сложных и невообразимых ранее форм этого искусства. Некоторые художники оригами используют компьютерные программы и создают работы, основанные на математическом анализе.

Техника оригами находит широкое применение и в промышленном дизайне. Например, на основе этой техники сейчас производятся канистры и бумажные чашки. Ассоциация специалистов по прикладной математике создала целевую группу по исследованию оригами, в которую входят ученые, инженеры и другие любители этого искусства. Группа занимается поиском применения техники оригами в промышленном дизайне и технологии. Например, в настоящий момент проводятся исследования, как уменьшить степень поломки корпуса автомобиля в случае дорожной аварии. Используя технику оригами, дизайнеры пытаются создать такой корпус, который при ударе будет раскрываться, подобно цветку, не подвергаясь деформации. Оригами-это уникальная возможность развития интеллекта человека. Для психологов - одно из направлений арттерапии, возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства. А для большинства поклонников оригами - это способ реализации собственных творческих возможностей.

Заключение

Таинственный мир превращенья бумаги…
Здесь все чародеи, волшебники, маги.
Творят они сказки своими руками.
И мир тот чудесный зовут ОРИГАМИ

Марданова Е.У.  

Так для чего же нужно оригами?

Оригами, прежде всего, – искусство, призванное дарить людям радость.

Некоторые люди сделали изготовление бумажных фигурок своей профессией. Бумажные птицы и рыбы, звери и многогранники украшают витрины магазинов. Красивые и выразительные маски широко продаются как настенные украшения. Многие предприниматели заказывают мастерам бумажные фигурки для использования в качестве символа фирмы. Муниципалитеты платят за оформление городских праздников, шоу и карнавалов. Бумажные фигурки используются при создании рекламных роликов и плакатов.

Все фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур, значит это одна из точек прикосновения оригами с математикой. Но в оригами фигуры можно построить без чертежных инструментов, используя несколько сгибов.

При работе с квадратом знакомимся с понятиями: угол, сторона, диагональ, центр, средняя линия, вершина, деление отрезка на части, угла на части, со способами складывания квадрата и складывания из квадрата других геометрических фигур. Таким образом, с помощью оригами решаются геометрические задачи на плоскости.

По результатам моего исследования можно сделать вывод, что гипотеза подтвердилась.

В заключение выделим наиболее существенные моменты.

Оригами как основа различных направлений искусства является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии. Логика здесь выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости.

Выполняя геометрические фигуры в технике оригами, знакомятся с новыми геометрическими понятиями, основными определениями и наглядно изучают закономерности поведения двухмерной плоскости в трехмерном пространстве. Правильно гласит великая китайская мудрость: я слышу и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и понимаю. В голове удерживаются только те знания, которые применяются на практике.

«Мышление начинается с удивления», - заметил 2500 лет назад Аристотель. Сухомлинский считал, что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг. А математика – замечательный предмет для удивления.

Именно это я попытался показать в своей работе, исследуя связь оригами и геометрии и применение возможностей оригами для решения задач.

Оригами-

• развивает способность контролировать с помощью мозга тонкие движения рук и пальцев;
• улучшает пространственное воображение и умение мысленно оперировать с объемными предметами;
• учит читать чертежи, по которым складываются фигуры;
• знакомит на практике с основными геометрическими понятиями;
• развивает творческие способности.

На мой взгляд, применение на практике геометрических построений в оригами очень удобно, и это обязательно нужно применять на практике и учить школьников.

Вывод: искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для ее изучения.

    Оригами и математика, словно две сестры, которые не терпят неточности и поспешности. Само оригами дает полет фантазии, а математика эту фантазию облачает в платье науки.

Список используемых источников и литературы 

1. Афонькин, С. Ю., Капитонова, И. В. Оригами и геометрия – Чебоксары: ЧГУ, 1993. – 28 с.
2. Афонькин, С. Ю., Афонькина, Е. Ю. Все об оригами. – СПб: ООО «СЗКЭО «Кристалл»», 2004. – 272 с., ил.
3. Афонькин, С. Ю., Афонькина, Е. Ю. Оригами в вашем доме. – М.: Легкая промышленность, 1995. – 32 с.
4. . Афонькин, С. Ю., Афонькина, Е. Ю. Кусудамы – волшебные шары. – М.: Аким, 1997. – 64 с.
5. Белим, С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами складывания (оригами). – М.: Аким, 1997. – 64 с.Уроки оригами в школе и дома: учебное пособие.
6. Восканян К.В. Построение геометрических фигур как средство развития мышления школьников. / Вопросы психологии. 1989.–№6.– с.56–61.
7. Выгонов, В. В. Мир оригами 1–2. – М.: Новая школа, 1996. – 56 с
8. Кочетков, Е., Шумакова, Ю. Мир бумаги. Цветы. – Ростов-на-Дону: Издательско-полиграфическое объединение «Южный регион», 1996.
9. Кошелев, В. М., Афонькин, С. Ю. Вырезаем и складываем. – СПб.: Кристалл, 1999. – 160 с.
10. Оригами помогает геометрии. под ред. Н. И. Чиканцевой. – М.: МГПУ, 1995. – 30 с.
11. Соколова Г.А. Ориентиры для конструирования, содержания подготовительного курса геометрии средствами оригами: Научно–методическое пособие. / Новосибирск: Издательство НИПКиПРО, 2004, – 60с.
12. Шеремет Г. Оригами помогает изучать математику. / Математика. – 2007. № 19. с.16–18.

Ресурсы интернета

1. http://origamis.ru 
2. http://www.vlasta-idea.ru 
3. http://bebi.lv 
4. http://www.origami.kulichki.ru/modules.php?name=Pages&go=page&pid=2
5. http://www.origami.ru

Приложение № 1

Кусудама (яп. «лекарственный шар») – бумажная модель, которая обычно (но не всегда) формируется сшиванием вместе концов множества одинаковых пирамидальных модулей (обычно это стилизованные цветы, сложенные из квадратного листа бумаги), так что получается тело шарообразной формы. Как вариант, отдельные компоненты могут быть склеены вместе. Иногда, как украшение, снизу прикрепляется кисточка.

Искусство кусудамы происходит от древней японской традиции, когда кусудамы использовались для фимиама и смеси сухих лепестков; возможно, это были первые настоящие букеты цветов или трав. Само слово представляет комбинацию двух японских слов кусури (лекарство) и тама (шар). В настоящее время кусудамы обычно используют для украшения или в качестве подарков.

Приложение № 2

Базовые формы:

1.Треугольник и прямоугольник:

2. Блин или блинчик:
                      Схема:            

3. Водяная бомбочка:
            Схема:              

4, 5. Бумажный змей (воздушный змей), плавно переходящий в ромб
                    Змей:                                                                Ромб:

                    
       А вот схема для них. На четвёртом этапе получаем змея, на пятом змей трансформируется в ромб:

6,7. Рыбное ассорти: рыба-1 и рыба-2:
Рыба-1:                                                                    Рыба-2:

И рыбная схема. На четвёртом этапе рыба в первой инкарнации, на пятом - во второй:

8. Квадрат, он же двойной квадрат:
      Схема:          

9, 10. Птица-1 и птица-2:
Птица-1:                                                       Птица-2:
                                 

Обе птицы берут начало из базовой формы квадрат (двойной квадрат). Такая вот рекурсия получается, базовая форма, базирующаяся на более базовой форме. На третьем этапе схемы получается первая птица, на четвертом - вторая. Схема:

11, 12. Лягушка-1 и лягушка-2:
Лягушка-1:                                                        Лягушка-2:  
                           

Отцом обеих лягушек снова-таки служит базовая форма “квадрат”. Такая вот популярная фигура: хочешь - лягушки, хочешь - птицы. То ли еще будет! На пятом этапе схемы первый вариант лягушки, на шестом - второй:

13. Дверь:
 Схема:  

14, 15. Катамаран, вертушка:

Катамаран:                                                       Вертушка:

В основе обеих фигур лежит базовая складка “дверь”. Схема начинается именно с неё. На четвёртой итерации получается катамаран, на шестой же он превращается в вертушку:

16, 17. Узор и стол:
Узор:                                                              Стол:

    И узор, и стол мы получаем из катамарана, такое вот это универсальное средство. Схема начинается именно с этой базовой схемы, на втором этапе катамаран чудесным образом становится узором, а на последнем трансформируется в стол:

Вот такие вот базовые фигуры в искусстве оригами. Разумеется, от трактовки к трактовке могут варьироваться названия, этапы получения, но суть остаётся нерушимой: это основные складки, на которых базируются все сложные фигуры.

Приложение № 3

Азбука оригами

Приложение № 4

Правильные многоугольники и способы их изготовления из квадрата с помощью оригаметрии

Треугольник

Пятиугольник

Шестиугольник

Восьмиугольник