ЕН.01 МАТЕМАТИКА Методические указания по выполнению самостоятельных работ для обучающихся по специальностям СПО 26.02.03 Судовождение
учебно-методическое пособие по математике (11 класс)

Департамент образования Тюменской области
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
Тюменской области «Тюменский колледж водного транспорта»

ЕН.01 МАТЕМАТИКА

Методические указания
по организации внеаудиторной самостоятельной работы
для обучающихся по специальности СПО
26.02.03 Судовождение,

26.02.05 Эксплуатация судовых энергетических установок

 (базовая подготовка)  очной формы обучения

Тюмень

2018 г.

Методические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ЕН.01 Математика, предназначены для обучающихся по специальностям  СПО 26.02.03 Судовождение,

26.02.05 Эксплуатация судовых энергетических установок

Составители:

Валишина Р.Г., преподаватель ГАПОУ ТО «Тюменский колледж водного транспорта»,

Рецензенты:

Филипенко О.В., преподаватель ГАПОУ ТО «Тюменский колледж водного транспорта»

Содержание

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочими учебными планами специальности 26.02.03 Судовождение и 26.02.05 Эксплуатация судовых энергетических установок по дисциплине ЕН.01 Математика предусмотрено 16 часов самостоятельной работы обучающихся.

Методические указания по выполнению самостоятельных работ способствуют реализации следующих задач:

- закрепление обучающимися умений и навыков использования математических методов в решении конкретных практических задач;

- развитие профессионального мышления, профессиональной и познавательной мотивации;

- использование профессиональных знаний в учебных условиях – овладение терминологией дисциплины, навыками оперирования формулировками, понятиями, определениями, умениями и навыками постановки и решения интеллектуальных проблем и задач;

- развитие логического мышления и внимания.

Содержание и объём самостоятельных работ соответствует требованиям Федерального государственного образовательного.

В методические указания включено содержание 7 самостоятельных работ: краткий теоретический материал по темам самостоятельных работ, практические задания и указания по их выполнению.

Самостоятельные работы по дисциплине ЕН.01 Математика позволят обучающимся:

- закрепить теоретические знания по темам основные понятия и методы математического анализа, основы теории вероятностей и математической статистики, основы теории дифференциальных уравнений;

- овладеть умениями решать простые дифференциальные уравнения, применять основные численные методы для решения прикладных задач.

Отметка «зачтено» выставляется, если выполнено 70% от общего объема заданий внеаудиторной самостоятельной работы.

Самостоятельная работа № 1

Тема: Исследование функций на непрерывность (2 часа)

Цель работы: учиться исследовать функцию на непрерывность.

В результате выполнения самостоятельной работы обучающийся

должен знать: понятия непрерывность, точки разрыва 1 и 2 рода, условия непрерывности;

должен уметь: применять методы вычисления предела функции в точке, на бесконечности.

Краткие теоретические сведения

Исследование функции на непрерывность связано с нахождением односторонних пределов функции.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .

Определение. В точке  функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть .

Определение. В точке  функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку  в этом случае называют точкой скачка функции.

Пример. 

Исследовать кусочно-непрерывную функцию  на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Решение.

Разрывы могут быть лишь в точках  или .

Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках.

Слева от точки  наша функция есть  и в силу непрерывности линейной функции .

В самой точке  наша функция есть , поэтому .

На промежутке  наша функция есть  и в силу непрерывности квадратичной функции

В точке  наша функция есть , поэтому .

Справа от  наша функция есть  и в силу непрерывности линейной функции

В итоге имеем:

 следовательно, в точке  исходная кусочная функция непрерывна,

2. , то есть , следовательно, в точке  неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Графическая иллюстрация.

Определение. В точке  функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

Пример. Исследовать функцию  на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Решение. Областью определения функции является интервал .

Найдем пределы функции слева и справа от точки .

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к  слева. Например,  и соответствующую ей последовательность значений функции

Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому, .

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к  справа. Например,  и соответствующую ей последовательность значений функции

Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому, .

Следовательно, в точке  функция имеет разрыв второго рода.

Графическая иллюстрация.

Задания на практическую работу:

1) Задана функция y=f(x) и два значения аргумента х1 и х2. Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, и сделать схематический чертёж.

2) Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж. 

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему работы.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на самостоятельную работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Самостоятельная работа № 2

Тема: Исследование функции с помощью производной. (4 часа)

Цель работы: повторить вычисление производных функций и ее применение.

В результате выполнения самостоятельной работы обучающийся

должен знать: определение производной, формулы и правила вычисления производной функции; признаки монотонности и условия экстремума функции;

должен уметь: использовать производную для исследования функции и построении ее графика.

Краткие теоретические сведения по теме

Производной от функции  по аргументу  называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

 или .

Формулы дифференцирования

Правила дифференцирования

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: , где  - постоянный множитель,  – функция.
2. Производная суммы равна сумме производных: .
3. Производная произведения: .
4. Производная частного: .
5. Производная сложной функции: .

Пример 1: Вычислите производные функций:

а) ;        б) ;        в) .

Решение. а) .

б)

.

в)

.

Признаки монотонности функции

1. Если для любого  выполняется неравенство , то функция возрастает на этом интервале.
2. Если для любого  выполняется неравенство , то функция убывает на этом интервале.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Обозначается  ().

Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Необходимое условие экстремума: Если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

Точки, в которых  называются стационарными точками.

Функция может иметь экстремум не только в стационарных точках, но и в тех точках, где ее производная не существует.

Точки, в которых  или  называются критическими точками.

Достаточное условие экстремума: Если непрерывная функция  дифференцируема в некоторой окрестности критической точки  и при переходе через нее (слева направо) производная  меняет знак с плюса на минус, то  есть точка максимума; с минуса на плюс, то  - точка минимума.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1. найти критические точки функции :

а) вычислить ;

б) определить при каких  она не существует;

в) найти , при которых ;

2. выбрать из них лишь те, которые входят в область определения функции; отметить на числовой прямой область определения функции и ее критические точки;
3. исследовать знак производной  слева и справа от каждой из выбранных критических точек (подставляя в  вместо  значения из каждого получившегося промежутка), расставить эти знаки над числовой прямой; на основании признаков монотонности и

достаточного условия экстремума обозначить промежутки монотонности и точки экстремума под числовой прямой;

4. выписать промежутки возрастания и убывания функции, точки max и min, вычислить значения функции в этих точках.

Пример: Исследовать на монотонность и экстремумы функцию .

Решение. .

1. а)

б)  не имеет смысла при 

в) Найдем критические точки функции:          ,

                                                ,

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

,

.

2. Отметим на числовой прямой  и критические точки функции:
3. Исследуем знак производной  слева и справа от каждой из выбранных критических точек:

,

        ,

        ,

        ,

Обозначим промежутки монотонности и точки экстремума под числовой прямой

4. : ,

        :

        ,

,

Задания на практическую работу:

1. Вычислить производные функций:

а) ;                        в) ;

б) ;                г) .

2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: .

3. Из пункта А, находящегося в лесу в 5 км от прямолинейной дороги, пешеходу нужно попасть в пункт В, расположенный на этой дороге в 13 км от пункта А. По дороге пешеход может двигаться с максимальной скоростью 5 км/ч, а по лесу - с максимальной скоростью 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход сможет добраться из пункта А в пункт В?

4. Бак цилиндрической формы должен вмещать 3200 литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы поверхность его (без крышки) была наименьшей?

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему работы.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на самостоятельную работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема работы, выполненные практические задания.

Самостоятельная работа № 3

Тема: Вычисление неопределенных  и определенных интегралов. (2 часа)

Цель работы: повторить вычисление неопределенных и определенных интегралов.

В результате выполнения самостоятельной работы обучающийся

должен знать: понятие неопределенного и определенного интеграла, формулы и правила интегрирования, способ вычисления интегралов;

должен уметь: вычислять  неопределенные и определенные интегралы.

Краткие теоретические сведения по теме

Функцию  называют первообразной для функции  на заданном промежутке X, если для всех  из X выполняется равенство .

Все множество первообразных функции  называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается  .

Выражение  называют подынтегральным выражением, а  – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

, где k – произвольная константа.

2. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов).

Методы интегрирования

1. Метод непосредственного интегрирования.
2. Внесение под знак дифференциала.
3. Метод замены переменной.
4. Интегрирование по частям.

Для вычисления определенного интеграла пользуются формулой Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то .

Примеры. Найти интегралы:

1) ;

Введем подстановку:

Дифференцируя это равенство, имеем: .

Выразив отсюда , получим: .

Подставив в данный интеграл вместо  и  их выражения, получим:

.

2)

3)

4).

5).

6)

Задания на самостоятельную работу:

1. Вычислите неопределенные интегралы:

а) ;                б) ;                в) ;                г) .

2. Вычислите определенные интегралы:

а) ;                б) .

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему работы.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на самостоятельную работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема работы, выполненные практические задания.

Самостоятельная работа № 4

Тема: Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел с помощью определенного интеграла (2 часа)

Цель работы: повторить вычисление площадей фигур ограниченных линиями.

В результате выполнения самостоятельной работы обучающийся

должен знать: формулы и правила интегрирования, формулу Ньютона-Лейбница;

должен уметь: применять формулу Ньютона-Лейбница при вычислении площадей криволинейных фигур.

Краткие теоретические сведения по теме

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то .

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и

Решение

1. Построим в одной системе координат графики функций  и .

 - площадь криволинейной трапеции ограниченной сверху кривой , слева - прямой  и справа - прямой

2. .

.

.

Задания на самостоятельную работу:

1. Вычислить площади криволинейных трапеций ограниченных линиями:

а)  и ;                б)  и .

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему работы.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на самостоятельную работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема работы, выполненные практические задания.

Самостоятельная работа № 5

Тема: Решение дифференциальных уравнений. (2 часа)

Цель работы: учиться решать дифференциальные уравнения первого порядка разделяющимися переменными.

В результате выполнения самостоятельной работы обучающийся

должен знать: алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными;

должен уметь: решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными первого порядка.

Краткие теоретические сведения по теме

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

,     (1)
которое называется уравнением с разделяющимися переменными.

Пусть найдено некоторое его решение y(x). При подстановке y=y(x) в дифференциальное уравнение (1) оно обратится в тождество и, интегрируя его, имеем

,    (2) 
где C - произвольная постоянная.

Получили уравнение (2), которому удовлетворяют решения дифференциального уравнения (1). Оно содержит все решения дифференциального уравнения (1) и называется общим интегралом уравнения (1). Из него при определенных условиях можно выразить y от x, и такая функция будет называться общим решением уравнения.

Задача поиска решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши, а найденное таким образом решение называется частным решением. Для его поиска достаточно в найденное общее решение подставить заданные  и  и вычислить соответствующее значение , т.е. решение примет вид:.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

xdx+ydy=0.

Решение. Переменные здесь разделены, то есть коэффициенты при дифференциалах dx и dy являются соответственно функциями только от x и y, следовательно, интегралом уравнения будет
 или  или .
Выразим  через : , ,
Ответ:,  -произвольная постоянная.

Пример 2. Найти частные решения дифференциального уравнения

 при , .

Решение. Сначала необходимо найти общее решение данного уравнения. Оно уже было найдено в примере 1. Воспользуемся этим решением: .

Подставим в него заданные  и  и вычислим соответствующее значение :

 или .

Тогда частным решением уравнения  при заданных начальных условиях   будет .

Ответ: .

Задания на самостоятельную работу:

1. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) ;        б) .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
3. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) ;                б) .

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на самостоятельную работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, выполненные практические задания.

Самостоятельная работа № 6

Тема: Вычисление вероятностей  комбинаторными методами. (2 часа)

Цель работы: закрепить знания в области вычисления вероятностей случайных событий комбинаторными методами.

В результате выполнения самостоятельной работы обучающийся

должен знать: приемы и формулы для вероятностей случайных событий комбинаторными методами;

должен уметь: применять приемы и формулы вероятностей случайных событий комбинаторными методами.

Задания на самостоятельную работу:

1. Менеджер рассматривает кандидатуры 8 человек, подавших заявления о приеме на работу. Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование в случайном порядке?
2. Покупая карточку лотереи «Спортлото», игрок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. Сколько возможных комбинаций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен?
3. На 9 вакантных мест по определенной специальности претендуют 15 безработных, состоящих на учете в службе занятости. Сколько возможно комбинаций выбора 9 из 15 безработных?
4. Структура занятых в региональном ЗАО «Обь-Иртышское речное пароходство»  имеет следующий вид:

Если один из служащих выбран случайным образом, то какова вероятность, что он: а) мужчина-администратор; б) женщина- операционист; в) мужчина; г) мужчина-операционист?

5. Известно, что телефонный звонок должен последовать от 11 ч. до 11ч.30 мин. Какова вероятность того, что звонок произойдет в последние 10 минут указанного промежутка, если момент звонка случаен?
6. В партии из 20 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными? 

Самостоятельная работа № 7

Тема: Вычисление числовых характеристик. (2 часа)

Цель работы: закрепить знания в области вычисления числовых характеристик дискретных величин.

В результате выполнения самостоятельной работы обучающийся

должен знать: основы математической статистики.

должен уметь: применять основные численные методы для  решения прикладных задач.

Краткие теоретические сведения по теме

Числовые характеристики дискретной случайной величины. Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 

2. Постоянный  можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

4. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Рассмотрим следующие задачи.

1. Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

2. Случайные величины X и Y независимы, причем  и . Найти , если .

Решение: На основании свойств дисперсии получаем:

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

Найти: 

1) Так как , т.е. , следовательно 

Т.о. закон распределения примет вид

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х2 для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

3) Найдем среднее квадратическое отклонение:

4) 

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

Найти: 

Решение: Составляем закон распределения ДСВ Х (т.е. выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье)

Составляем закон распределения ДСВ Х2

5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей

Найти  двумя способами:

1. Составив предварительно таблицу распределения СВ ;

2. Используя правило сложения дисперсий.

Решение:

Составим таблицу распределения ДСВ .

Найдем 

Т.о. значения ДСВ Z таковы: 

Найдем соответствующие им вероятности:

Получаем ряд распределения СВ Z 

2. Используя правило сложения дисперсий: 

Задания на самостоятельную работу:

1. Найти математическое ожидание  и дисперсию дискретной случайной величины, ряд распределения которой:

Список рекомендованной литературы:

1. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / И.Д. Пехлецкий. – 7-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. –

304 с.

2. Никольский С.М. Элементы математического анализа: Учеб. пособие для студ. ссузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2002. – 272 с.: ил.
3. Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Универсальный справочник по математике. М.: Лист Нью, Вече, 2002. – 544 с.