Проценты для старшеклассников
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9, 10, 11 класс)

Проценты для старшеклассников

Проценты были введены для оценки содержания одного вещества в другом, роста (убыли) производства, производительности труда, дохода, прибыли, банковских ставок и др.

Различные обозначения процентов (на примерах):

18%               0.18         ,

135%,            1,35,        ,

p%.                0.01p.        .

Основные действия с процентами:

1. нахождение процентов от числа;
2. числа по его процентам;
3. процентного отношения числа.

Примеры.

1. Найдите 48% от 250.

0,48×250 = 120.

2. Найдите число, 8% которого равны 12.

12 : 0,08 = 150.

3. Сколько процентов составляет 180 от 450?

Кроме трёх основных действий, нужно хорошо оперировать такими понятиями, как увеличение (уменьшение) величины на проценты.

1. Увеличение (уменьшение) числа на проценты.

Примеры.

1. Увеличим число 60 на 20%, полученный результат уменьшим на 72%.

60 + 60×0,2 = 72,

72 - 72×0,2 = 57,6.

2. Уменьшим число 60 на 20%, затем полученный результат увеличим на 20%.

60 - 60×0,2 = 48,

48 + 48×0,2 = 57,6.

Задача в общем виде. Увеличим число а на р%, а затем полученное число уменьшим на р%.

а + а× = а(1 + ) – после увеличения на р%.

а(1 + )( 1 - ) = а(1 -  – после уменьшения на р%.                                       (1)

Такое же выражение получим, если число а сначала уменьшили на р%, потом увеличили на р%.

Графическое изображение функции у = а(1 -  (рис. 1) показывает, что после двойного изменения числа на р% число а будет уменьшаться.

Задача 1. Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

Решение. 1 способ. Пусть первоначальная цена равна а, после снижения стала          а – 0,3а = 0,7а, после повышения она стала 0,7а + 0,7а×0,3 = 0,91а.

2 способ. Использование формулы (1)

а(1 -  = 0,91а.

100% – 91% = 9%

Ответ. Цена снизилась на 9%.

Задача 2. Цену товара повысили на 20%, потом понизили на 20%. Как изменилась цена товара?

Решение. а(1 -  = 0,96а.

Ответ. Цена снизилась на 4%.

2. Задачи «на движение» и «на работу»

Многие задачи «на работу» и «на движение» - это задачи на обратную пропорциональную зависимость. При S = const  vt = const, при А = const  Nt  = const  (v – скорость, t – время, N - производительность, мощность, А – работа).

Задача 1. Гонщик-мотоциклист подсчитал, что при увеличении скорости на 10% он пройдёт круг по кольцевой дороге за 15 мин. На сколько процентов он долженувеличить скорость, чтобы пройти круг за 12 мин?

Решение. В этой задаче S = const. Пусть первоначальная скорость равна  v. Тогда

(v + 0.1v)×15 = (v + v)×12,

1.1v×15 = 12v + ×.

16.5 = 12 +  ,

р = 37,5.

Ответ. На 37,5%.

Задача 2. Рабочий день уменьшился 8 ч. до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы заработная плата осталась прежней?

Решение. В этой задаче А = const. Тогда

8N = 7(N + N),

8 = 7 + ,

p =  = 14.

Ответ. На 14%.

Задача 3. На сколько процентов снизилась производительность труда, если для выполнения плана пришлось увеличить рабочий день с 7 ч. до 8 ч.?

Решение. 7N = 8(N - N),

 7 = 8 - ,

р = 12,5.

Ответ. На 12,5%.

Задача 4. Рабочий день уменьшился 8 ч. до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 12%?

Решение. 8(N + N) = 7(N + N),

8 +  = 7 + ,

 = ,

р = 28.

Ответ. На 28%.

Задача 5. Рабочий день уменьшился 8 ч. до 7 ч. На сколько процентов изменится заработная плата, если производительность увеличится на 12%?

Решение. 8(N + N) = 7(N + N),

8 +  = 7 + ,

 = - 1 + ,

p = -2.  Значит, произошло уменьшение на 2%.

Ответ. Уменьшение на 2%.