Использование СПО GeoGebra
статья по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс)

 «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СПО GEOGEBRA»

1. Вступление.

GeoGebra – свободно распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки.

Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями). Надо сказать, что она не просто известна в Интернете, а набирает популярность с каждым днем, в том числе, среди учителей математики средней школы.

GeoGebra поможет учителям для объяснения, а школьникам в ознакомлении с учебными материалами не только курса геометрии, но и алгебры, и математического анализа, будет незаменима в практиковании навыков и наглядном представлении. Очень просто с помощью этой программы построить точки, векторы, сегменты, линии и т.п., так же как функции, которые могут быть изменены динамически мышью впоследствии. С другой стороны возможен также прямой ввод в шкале-обозначений: g: 3x + 4y = 7 или c: (x – 2), 2 + (y – 3) 2 = 25 и целый ряд команд, включая дифференцирование и интеграцию. Самая замечательная особенность из GeoGebra – двойное представление объектов: каждое выражение в окне алгебры соответствует объекту в окне геометрии и наоборот.

ВОЗМОЖНОСТИ:

• Построение кривых:
• Построение графиков функций y = f (x).
• Построение кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат: x = f(t); y = g(t).
• Построение конических сечений.
• Построение геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент Локус).

ВЫЧИСЛЕНИЯ:

• Действия с матрицами.
• Вычисления с комплексными числами.
• Нахождение точек пересечения кривых.

НЕМНОГО ФАКТОВ:

Графика, алгебра и таблицы связаны между собой и полностью динамичны.

Легкий в использовании интерфейс, вдобавок обладает очень мощными возможностями. Можно сами создать интерактивный обучающий материал, такие как веб-страницы.

Доступна на многих языках есть русский вариант.

Одним из эффективных приёмов поиска решения уравнений, неравенств и их систем является приём геометрических интерпретаций. Однако в практике обучения алгебре и началам математического анализа он имеет ограниченное применение, связанное с большими затратами учебного времени и технической сложностью построения геометрических интерпретаций алгебраических объектов.  Решение этой проблемы в использовании возможностей интерактивной геометрической среды GeoGebra, так как идейную основу ее создания составляет визуализация связей алгебры и геометрии (geometry +algebra).

К возможностям этой программы относится создание различных типов геометрических интерпретаций, которые позволяют использовать в процессе решения алгебраических задач такие методы, как функционально-графический, геометрический и метод геометрического места точек.

2. Применение GeoGebra на уроках математики

Для реализации функционально-графического метода необходимо, как известно, перевести условие алгебраической задачи в термины взаимного расположения графиков элементарных функций. При построении «вручную» желательно выбирать функции так, чтобы общий вид их графиков и свойств были хорошо известными. Использование GeoGebra позволяет не тратить время на подбор функций и исследование их свойств, так как для построения графика функции достаточно вести формулу, её задающую, в строку ввода.

Проиллюстрирую эти возможности GeoGebra конкретными примерами.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение .

Решение. Введем в рассмотрение функции

  и .

Используя строку ввода, построим графики функций в GeoGebra. Отмечаем с помощью инструмента «Пересечение двух объектов» точку пересечения графиков. Выведем на экран имя и значение точки, используя вкладку «Свойства». Абсцисса является приближенным значением корня уравнения с выбранной точностью (рис. 1).

Рис. 1. Геометрическая интерпретация для решения задачи примера 1 функционально-графическим методом, выполненная в GeoGebra.

К помощи метода геометрических мест точек прибегают при решении алгебраических задач, сводящихся к системам (совокупностям) уравнений и неравенств с параметрами или  двумя переменными. Применение этого метода вручную требует наличия у учащихся обширных знаний об уравнениях и неравенствах, задающих опорные геометрические места точек, хорошей логической и теоретико-множественной подготовки учащихся, включающей умения находить пересечение или объединения множеств, построенных на координатной плоскости, в соответствии со смыслом логических операций. Использование GeoGebra не требует владения этими знаниями и умениями. Данная среда позволяет получать геометрическую интерпретацию после записи в строке ввода совокупностей (систем) уравнений и неравенств с помощью логических связок.

Решение задачи примера 1 геометрическим методом. Подкоренные выражения слагаемых в левой части уравнения сходны по структуре с теоремой косинусов для треугольников: 1) со сторонами 5, x и углом между ними 45°; 2) со сторонами 12, x и углом 45°. Тогда, интерпретируя уравнение на языке этих геометрических фигур, получаем, что сумма  сторон, лежащих против углов в 45°, равна 13.

С помощью инструмента «Ползунок» в GeoGebra введем параметр x, это позволит получить динамический чертеж, состоящий из описанных выше треугольников (рис. 3а, б). Для получения ответа достаточно, меняя положение ползунка, подобрать такое значение x, при котором сумма длин интересующих нас сторон равна 13. Заметим, что при несвязном построении треугольников (рис. 3б) компьютерное решение не помогает обнаружить аналитическое.

а)б)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация для решения задачи примера 1 геометрическим методом, выполненная в GeoGebra.

Геометрическая интерпретация рисунка 3а позволяет сделать вывод о том, что точка C лежит на гипотенузе BD прямоугольного треугольника ABD. Рассмотрим треугольник ADC. По теореме синусов . Из треугольника ABD находим . Тогда .

ПРИМЕР 2. При каких значениях параметра  все решения неравенства 
отрицательны?

Решение. Для использования метода геометрического места точек при решении данного неравенства необходимо переименовать переменные а, x в переменные x, y соответственно. Получим задачу «найти все значения x, при которых решениями неравенства являются только отрицательные значения y».

Используя метод преобразования логической структуры неравенства, получим совокупность    

Введя в строку ввода ((x^2+y^2≤4)∧(y>abs(x)))∨((x^2+y^2≥4)∧(y

Рис. 2. Геометрическая интерпретация для решения задачи примера 2 методом геометрических мест точек, выполненная в GeoGebra.

Абсциссы точек A и B являются лишь приближенными значениями искомых значений параметра. Однако полученная геометрическая интерпретация позволяет найти точные значения с опорой на геометрические свойства построенной конфигурации. Рассмотрим треугольник OBC. Он является прямоугольным и равнобедренным с гипотенузой, равной радиусу окружности. Следовательно, . Тогда . Окончательно получаем .

Для применения геометрического метода к решению алгебраических задач необходимо придать переменным и выражениям, зависящим от них, смысл геометрических величин. Затем построить фигуру, обладающую соответствующими метрическими свойствами. Полученная геометрическая интерпретация позволяет найти значение переменной  с использованием знаний о позиционных и метрических свойствах фигуры и её элементов. Очевидным ограничением данного метода является нахождение лишь неотрицательных значений переменной. Построение геометрических фигур в GeoGebra позволяет «считывать» искомое значение с чертежа или находить его экспериментально, используя динамичность изображения.

Решения примеров 1 и 2 показывают, что возможности интерактивной геометрической среды хоть и велики, но не безграничны. Так, если результат решения задачи не может быть выражен целым числом или конечной десятичной дробью, то компьютерное решение не позволит нам получить точное значение результата. Кроме того, компьютерное решение задачи далеко не всегда согласуется и помогает обнаружить аналитическое решение. Заметим также, что большинство интерактивных геометрических сред имеют ограничения в использовании, связанные с непродуманностью во всех деталях алгоритмов их разработки. Так, GeoGebra 4.2 позволяет задавать через строку ввода не любые зависимости, распознает не все точки пересечения графических объектов, разделяет смысловые значения графических объектов при использовании инструмента «Исследователь функций», например не работает с графиками линейных и квадратичных функций, считая их геометрическими объектами (коническими сечениями).

ПРИМЕР 3 Фрагмент урока о доказательстве суммы углов треугольника.

Ребята, в каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов будет больше? (В тупоугольном)

Почему? (Градусная мера тупого угла больше острого или прямого, значит, и сумма будет больше.)

Практика показывает, что почти в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника больше.

Кто-то может возразить. В результате чего мнения разделятся.

Мнения разделились. Давайте проверим кто же прав. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, выдвигали предположения (гипотезы) о свойствах различных фигур, а затем эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: «В споре рождается истина».

Давайте и мы проведем небольшое исследование с помощью интерактивной модели треугольника.

У вас на партах лежит таблица для исследования, в которую мы будем заносить результаты наших наблюдений. Точно такая же таблица на доске.

Вызвать к доске ученика и попросить его, двигая вершины треугольника, превратить треугольник в прямоугольный и заполнить соответствующую строку таблицы. Затем второго ученика, чтобы заполнил строку для остроугольного треугольника. И третьего ученика, чтобы заполнил строку для тупоугольного треугольника. Попросить детей самостоятельно сделать вывод. (Если урок проводится в компьютерном классе, то каждый ученик проводит исследование самостоятельно за своим компьютером и делает вывод.)

Ребята, мы с вами выдвинули предположение, что сумма углов треугольника равна 180°. Клик по слову «гипотеза» анимирует вывод.

Как вы думаете, будет ли данное предположение выполняться для любых треугольников или это просто совпадение? (Ученики высказывают свое мнение)

ПРИМЕР 4 Заинтересовать программой GeoGebra учащихся 5-6 класса можно используя различные рисунки, которые ребята создадут сами.

Практические работы для учащихся с пошаговым алгоритмом

После старта GeoGebra появляется ниже изображенное окно. Посредством панели инструментов toolbar Вы можете строить в окне для рисования drawing pad мышью. В то же самое время соответствующие координаты и уравнения  будут показаны вокне алгебры algebra window. Входная текстовая область input text field используется для ввода координат, уравнений,команд и функций соответственно, Input Field -  поле ввода, Input Options - параметры ввода; они немедленно отображаются на чертеже, т.е. в блокноте-окне для рисования после нажатия клавиши ENTER. Геометрия и алгебра бок о бок:

ПРИМЕР 5: Построение окружности вокруг треугольника

Построить окружность вокруг треугольника A, B, C с использованием GeoGebra

Построить с помощью мыши.

Выберите режим "Многоугольник” на панели инструментов (нажмите на маленькую стрелку - третий значок слева). Теперь нажмите на окно для рисования три раза, чтобы создать вершины A, B и C. Завершите построение треугольника, нажав на вершину А еще раз.

Затем выберите режим "Серединный перпендикуляр" и постройте два серединных перпендикуляра, нажав на две стороны треугольника.

В режиме "Пересечение двух объектов" вы можете нажать на пересечение двух серединных перпендикуляров, чтобы получить центр окружности. Назовем эту точку "М", для этого щелкните по ней правой кнопкой мыши (Mac OS: Ctrl-клик) и выберите (переименовать) в появившемся меню.

Чтобы закончить построение, вы должны выбрать режим "окружность по центру и точке" и нажать сначала в центр, затем на любую вершину треугольника.

Теперь выберите режим "Перемещение" и используя мышь, можете изменить положение любой из вершин - вы поймете смысл "динамической геометрии".

Некоторые советы:

Попробуйте использовать значок "Отмена" на правой стороне панели инструментов. Чтобы скрыть объект, щелкните правой кнопкой мыши на нем (Mac OS: Ctrl-клик) и снимите флажок "Показать объект". Свойства объектов (цвет, тип линии, ...) могут быть легко изменены: правой кнопкой мыши (Mac OS: Ctrl-клик) снова нажмите на объект и выберите "Properties”"Свойства" в появившемся контекстном меню. В меню "Вид" окна алгебры оси и сетки могут быть скрыты или показаны. Для того чтобы изменить положение окна для рисования, выберите режим "Переместить чертеж" (последний значок панели инструментов) и просто используйте мышь для перемещения. Меню "Вид - Протокол" предоставляет таблицу с указанием всех шагов, которые вы предприняли при построении чертежа. Это позволяет повторить все  построение шаг за шагом с помощью клавиш со стрелками, а также можно изменить порядок различных шагов. Кроме того, вы можете использовать меню "Вид", чтобы скрыть или показать нежелательные колонки. Дополнительная информация о построении с помощью мыши можно найти в меню "Справка", раздел "Geometric input”. 

Использование для построения текстового поля ввода.

Сейчас мы собираемся сделать то же самое построение, используя текстовое поле ввода.
Вам потребуется новая площадка для рисования (меню "Файл - Создать"). Затем введите следующие команды в поле ввода текста в нижней части экрана, нажимая клавишу ввода Enter после каждой строки: 

A = (2, 1)
B = (12, 5)
C = (8, 11)
Polygon[A, B, C]
l_a = LineBisector[a]
l_b = LineBisector[b]
M = Intersect[l_a, l_b]
Circle[M, A]

Дополнительные советы:

Автоматическое завершение команды: после ввода первых двух букв команды, она будет отображаться автоматически. Если вы хотите принять предложенную команду, нажмите enter, иначе просто продолжайте печатать. Это не является необходимым для ввода каждой команды, вы можете также выбрать ее из списка команд, что находится в непосредственной близости от поля ввода текста. Нажатие на икону "Ввод" (внизу слева) активирует режим "Поле ввода". В этом режиме вы можете нажать правой кнопкой мыши на объект из окна алгебры или окна для рисования, чтобы скопировать его в поле ввода текста.
Дополнительные советы, касающиеся текстового поля ввода: нажмите на знак вопроса в левом углу. Вы получите особенно хорошие результаты от работы с GeoGebra путем объединения преимуществ обеих форм ввода, мышью и текстового поля ввода.

ПРИМЕР 6: Касательные к окружности

Задача: Использовуя GeoGebra, построить окружность с: (х - 3) ² + (у - 2) ² = 25 и ее касательные через точку = (11, 4)

Использование для построения поля ввода текста и мыши.

Вставьте уравнение окружности c: (x - 3)² + (y - 2)² = 25 в поле ввода текста и нажмите клавишу ввода (показатель может быть найден в списке справа в поле ввода). Введите команду  C = Center[c] в поле ввода текста.Постройте точку А с координатами = (11, 4).

Теперь выберите режим "касательные" и нажмите на точку А и окружность С.


После выбора режима "Переместить", перетащите точку А с помощью мыши и наблюдайте движение касательных. Также попробуйте переместить окружность С и посмотреть на ее уравнение в окне алгебры.

Некоторые советы:

Можно использовать инструменты в правом меню панели инструментов, чтобы увеличить или уменьшить масштаб (кликните правой кнопкой мышки). Если у вас мышь с колесиком, попробуйте использовать Ctrl + колесо мыши для увеличения.
Можно изменить уравнение окружности непосредственно в окне алгебры дважды щелкнув по нему мышью. Более подробную информацию о возможностях поля ввода текста можно найти меню "Справка", раздел "Algebraic input".
ПРИМЕР 7: Производная и касательная функции.

Задача: Используйте GeoGebra, чтобы построить функцию f(x) = sin(x), её производную и касательную в точке функции f, плюс наклон треугольника (касательной).

Вставьте функцию f(x) = sin(x) в поле ввода текста и нажмите клавишу ввода enter.

Выберите режим "точка" и нажмите на функцию f. Это создаст точку A на f.

Затем выберите режим "касательные" и нажмите на точку А и функцию f.
Изменените имя касательной на t (правой кнопкой мыши (Mac OS: Ctrl-клик), "переименовать").
Следующая команда s = наклон[t] показывает наклон касательной.
После выбора режима "Перемещение", перетащите точку А с помощью мыши и наблюдайте движение касательной.

Введите команду B = (x(A), s) и перейти на след этой точки (нажмите на B правой кнопкой мыши (Mac OS: Ctrl-клик) и выберите "оставлять след".) x(A) дает вам координаты х точки А.

Выберите режим "Перемещение" и перетащите А с помощью мыши - B оставит след.
Последняя команда Производная[f]

Получаем производную [f] - [f]'

Советы:

Вставьте различные функции, например, f(x) = x³ - 2x² в поле ввода текста; сразу ее производная и касательная будут отображаться. Выберите режим "Перемещение" и перетащите функции графика с помощью мыши. Наблюдайте изменение уравнения функции и ее производной.

2 случай точка x = a

Сейчас мы собираемся сделать еще один вариант последнего построения. Поэтому, выбирайте "Файл - Создать", чтобы получить новую площадку для рисования. Далее, введите следующие команды в текстовое поле ввода и нажимайте клавишу ввода Enter после каждой строки.

f(x) = sin(x)

a = 2

T = (a, f(a))

t = Касательная[a, f]

s = наклон[t]

B = (x(T), s)

Производная[f]
Выберите режим "Переместить" и нажмите на число a в левом окошке. Вы можете изменять его, нажимая на клавиши со стрелками. В то же время, точка Т и касательная будут двигаться по функции f.

Вы также можете изменять значение числа а с помощью ползунка: для этого в окне алгебры надо выбрать мышкой число а и в окне для рисования, щелкнув правой кнопкой мыши (Mac OS: ctrl-click), выбрать "Показать объект".

Совет: ползунки, а также клавиши со стрелками, очень полезны для изучения параметров p и q в квадратных уравнениях y = x² + px + q

Касательные без данной команды

GeoGebra в состоянии иметь дело с векторами, а также параметрическим представлением линий.
Поэтому можно построить касательную t без команды "Касательная []". Чтобы убедиться в этом, удалите касательную с вашего чертежа, щелкнув по нему правой кнопкой мыши (Mac OS: Ctrl-клик) и выбрав пункт "Удалить". Затем введите следующие команды:

v = (1, f'(a))

t: X = T + r v

v это направление вектора касательной t. Вместо r вы можете также использовать любое другое буквенное обозначение в качестве параметра.

Существует дополнительная возможность для построения касательной с помощью направляющего вектора: t = Line[T, v]

3. Заключение.

Организация исследовательского обучения с использованием GeoGebra способствует становлению исследовательских умений учащихся, формирует интерес к исследовательской деятельности учащихся по математике. Ключевые слова: интерактивная геометрическая среда, компьютерные моделирование и эксперимент, кривые второго порядка, треугольник, вписанный в гиперболу, ортоцентр треугольника, касательная к гиперболе. Процесс модернизации образовательной системы сегодня связан не только и не столько с изменением содержания обучения, сколько с поиском новых технологий и методик обучения. Большое внимание при этом уделяется поиску методик, обеспечивающих становление на базе врожденного исследовательского поведения ребенка полноценной исследовательской деятельности, сходной по своей форме с исследовательской деятельностью ученых. Это регламентируется и требованиями Федерального образовательного стандарта основного общего образования.

Сегодня стало возможным широкое использование компьютерных технологий на всех этапах исследовательской деятельности школьников в учебном процессе благодаря появлению интерактивных геометрических сред, к числу которых относится GeoGebra. Интерактивные геометрические среды позволяют создавать компьютерные модели не только реальных, но и абстрактных объектов. Особенностью этих моделей является их динамичность – возможность варьирования элементов чертежа при сохранении алгоритма его построения. Эта особенность обеспечивает возможность проведения компьютерных экспериментов в рамках решения исследовательских задач.

Еще одной немало важной особенностью интерактивных геометрических сред является возможность варьирования способа задания и описания математического объекта. Это создает условия для раскрытия перед учащимися тех глубинных связей, которые существуют между различными разделами математической науки. 

Учебно-исследовательская деятельность учащихся, поддерживаемая средствами GeoGebra, обеспечивает им осознания связи экспериментальных и теоретических методов исследования. Разнообразие исследовательских задач, в решение которых вовлекаются учащиеся, обеспечивает им и разнообразие видов исследовательской деятельности. Здесь и наблюдения за объектами в динамике, и компьютерное моделирование, и аналитическое доказательство гипотез. Данный подход существенно меняет отношение школьников к учебе. Программа GeoGebra дает новые возможности для изучения функций и свойств их графиков, не требуя больших временных ресурсов.