Решение заданий №14 ЕГЭ профильного уровня (нахождение углов, расстояний, построение сечений)
презентация к уроку по математике (11 класс)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Повторение. C A В a 2 + b 2 = c 2 c b a b c a c h α
a 2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними . b 2 + c 2 – 2bc cosA Теорема косинусов
Угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми α 180 0 - α 0 0 < α 90 0 1. 2. Угол между скрещивающимися прямыми АВ и С D определяется как угол между пересекающимися прямыми А 1 В 1 и С 1 D 1 , при этом А 1 В 1 || АВ и С 1 D 1 || CD. А В D С А 1 В 1 С 1 D 1 α М 1
A D C H ∠ ( (АСН); (СН D )) – это двугранный ∠ АСН D , где СН-общее ребро. Точки А и D лежат на гранях этого угла. AF⊥CH, FD⊥CH. F ∠ AFD – линейный угол двугранного ∠ А CHD Угол между плоскостями
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Задача № 1 1 А С В D А 1 С 1 В 1 1 3) из ∆ABD по теореме косинусов Продлим плоскость ВСС 1 , тогда ∠(AB 1 , ВС 1 ) = ∠(AB 1 , DВ 1 ) = ∠ AВ 1 D, т. к. C 1 В || B 1 D. Решение:
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Задача № 1 (продолжение) 1 А С В D А 1 С 1 В 1 1 Решение: 4) cos ∠ AB 1 D = AB 1 2 + B 1 D 2 – AD 2 2·AB 1 · B 1 D cos ∠ AB 1 D = = 2 + 2 – 3 1 2· 2 4 Ответ: 0,25 .
В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью ВС C 1 . Задача № 2 С В D А 1 С 1 В 1 D 1 А Решение: ВС 1 - проекция прямой АС 1 на плоскость(В C С 1 ), так как AB ⊥ (В C С 1 ) AB ⊥ ВС 1 ; ∠( AC 1 , ( В C С 1 ) ) = ∠( A С 1 ,С 1 В) = ∠ AC 1 B , т.е. ∆ АВC 1 – прямоугольный 3) tg ∠ AC 1 B = = = AB a 1 BC 1
Основанием прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , является равнобедренный треугольник АВС , в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ 1 , причем ВР : РВ 1 = 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А 1 В 1 С 1 и АСР . 20 А С В А 1 С 1 В 1 24 Ответ: 0,5 . Задача № 3 Р Н 16 16 Решение: 1) Так как (АВС) ∥ (А 1 В 1 С 1 ), то ∠(( А 1 В 1 С 1 ) , (АСР)) = ∠( (АВС),(АСР)). 2) Т.к. ВН АС (высота р / б ∆ ), то по теореме о трех перпендикулярах РН АС. 3) Тогда ∠ РНВ – линейный угол двугранного ∠ РАСВ. Найдем его из прямоугольного ∆ РНВ. 4) РВ = ¼ ВВ 1 = ¼ · 24 = 6, 5) ВН 2 = АВ 2 – АН 2 (из ∆ A НВ) ВН 2 = 20 2 – 16 2 = 144, ВН = 12; 6) tg ∠ РНВ = PB / HB = 6 / 12 = 0,5. 32
Решение: Так как ABCD – квадрат, то АВ ⊥ AD . Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет ⊥ AD. Значит, искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD. В правильной четырехугольной пирамиде S ABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD . Задача № 4 С В D А S O M N 3) ∠ SMO – искомый угол, косинус которого найдем из прямоугольного ∆ SMO cos ∠ SMO = = = MO 0,5 1 SM
Расстояние от точки до прямой Определение. Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой. перпендикуляр Повторение.
Расстояние от точки до плоскости Определение. Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости. перпендикуляр a ɣ M H N наклонная NH – проекция наклонной на плоскость ɣ MH < MN М H – расстояние от М до плоскости ɣ
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. a b A B Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой. 1 способ.
Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. 2 способ.
Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. 3 способ.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A 1 F 1 . Задача № 5 Решение: 1)Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, то C A ⊥ AF . C A ⊥ A 1 А по определению правильной призмы. C A ⊥(А A 1 F 1 ) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. СА –перпендикуляр к плоскости, C A 1 - наклонная , A 1 А – проекция наклонной, A 1 А ⊥ A 1 F 1 ; A 1 F 1 – прямая в плоскости. 5 А С В D F E А 1 С 1 В 1 D 1 F 1 E 1 11 Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA 1 ⊥ A 1 F 1 , значит длина отрезка C A 1 равна искомому расстоянию .
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A 1 F 1 . Задача № 5 (продолжение) Решение: 2) Из ∆ АВС (АВ=ВС=5, ) по теореме косинусов найдём СА: , , C A = . 3) Из ∆ CAA 1, по теореме Пифагора найдём CA 1 : CA 1 2 = 75 + 121 = 196 . CA 1 = 14 Ответ: 14 . 5 А С В D F E А 1 С 1 В 1 D 1 F 1 E 1 11 Доказано, что C A 1 - искомое расстояние .
Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС . Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ , АС и А D , если А D = , АВ = АС = 10, ВС = . D C B A N F М К Р Искомое расстояние AH равно половине расстояния от вершины А до плоскости BCD , т.к. (KMN) ∥ (BCD) и KF – средняя линия ∆ ADP . L Н Задача № 6 Решение: Построим плоскость КМ N. Т. к. КМ – средняя линия ∆А D В, КМ∥ D В, MN - средняя линия ∆АВ C , М N ∥ C В, то (KMN) ∥ (BCD) по признаку ∥ плоскостей. АР–медиана и высота р/б , KF –медиана и высота р/б DP ⊥ BC по теореме о трёх перпендикулярах. ∆АВ C ∆ KMN . KF ∥ DP .
Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС . Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ , АС и А D , если А D = , АВ = АС = 10, ВС = . D C B A N F М К Р Решение: Доказано, что AH - искомое расстояние. Найдём АР из ∆АВР по теореме Пифагора ( АВ= 10, ВР = ): AP 2 = AB 2 – BP 2 = 100 – 20 = = 80 ; АР= Найдём D Р из ∆А D Р по теореме Пифагора: DP 2 = AD 2 + AP 2 = = 20 + 80 = 100 ; DP = 10 . Тогда AL =( · ) : 10=4 Итак, АН = ½ AL = 2 . L Н Ответ: 2. Задача № 6 (продолжение). 2) ∆ LDA и ∆ ADP подобны по двум углам, LA:AP=AD:DP , тогда AL=(AP*AD):DP.
Задача № 7 В правильной шестиугольной призме АВCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все рёбра равны 1. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С 1 и F. б) Найдите расстояние от точки В до прямой C 1 F. Решение: а) 1) ВС 1 , BF, F Е 1 // С 1 B , Е 1 C 1 => Сечение – четырёхугольник BC 1 E 1 F с диагональю C 1 F. 4) Так как ∠ CBF=90°, то по теореме о трёх перпендикулярах, BF ⟘ BC 1 . Значит, сечение BC 1 E 1 F – прямоугольник. Диагональ прямоугольника C 1 F 2 =BF 2 +BC 1 2 ; C 1 F 2 =3+2=5.
Задача № 7 (продолжение) Решение. б) Сечение – прямоугольник BC 1 E 1 F. ВК ⊥C 1 F, ВК – искомое расстояние от точки В до прямой C 1 F. Найдем ВК как высоту из ∆FBС 1 , Используя 2 формулы площади треугольника. В правильной шестиугольной призме АВCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все рёбра равны 1. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С 1 и F. б) Найдите расстояние от точки В до прямой C 1 F.
Задача №8 Основанием прямой четырехугольной призмы является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K − середина ребра ВВ1. Через точки K и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α. Решение. а) Для построения сечения призмы плоскостью α, проведём КЕ|| BD 1 , E € B 1 D 1 . Плоскость α проходит через точки К, С 1 и Е. Так как К – середина ВВ 1 и КЕ|| BD 1 , то Е – середина диагонали А 1 С 1 квадрата А 1 В 1 С 1 D 1 . Значит, плоскость α пересекает грань А 1 В 1 С 1 D 1 по диагонали А 1 С 1 . Соединив точки К, С 1 и А 1 , получаем ∆А 1 КС 1 - сечение призмы плоскостью α. ∆А 1 КВ 1 = ∆С 1 КВ 1 по двум сторонам и углу между ними (А 1 В 1 =С 1 В 1 ), В 1 К – общая сторона, . Из равенства треугольников следует, что А 1 К=С 1 К, значит ∆А 1 КС 1 - равнобедренный.
Задача №8 (продолжение) Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K − середина ребра ВВ 1 . Через точки K и С 1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD 1 . а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α. Решение. б)
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Зачет по теме: Построение сечений. 10 классКонтрольная работа по теме: Тетраэдр и параллелепипед. Построение сечений. 10 класс
Предлагаю для учащихся 10 класса зачет и контрольную работу к учебнику под ред Атанасяна...
Использование различных методов при решении геометрических задач на нахождение углов и расстояний между плоскостями и прямыми в пространстве.
Приведу необходимые теоретические знания, позволяющие успешно решать геометрические задачи группы С(С2) ЕГЭ – 2011, 2012гг. Теоретические положения упорядочены и акцентированы именно на решение ...
Презентация "Построение сечения куба, нахождение его координат и площади"
Решение задач на построение сечения куба, нахождение его координат и площади....
Построение сечений и определение площади в задачах повышенного уровня
Урок оформлен в виде презентаций для учащихся старших классов при подготовке к ЕГЭ или как дополнительные задания....
Задачи по темам "построение простых разрезов и аксонометрической проекции","пересечение тел вращения", "построение сечений фигур фронтально-проецирующей плоскостью" и примеры решения
Эти задания содержат темы "построение простых разрезов и аксонометрической проекции","пересечение тел вращения", "построение сечений фигур фронтально-проецирующей плоскостью" а так же примеры их...
"Построение сечений куба и пирамиды. Вычисление площадей полученных сечений»
Интегрированный урок математики и информатики в 10-м классе по теме: "Построение сечений куба и пирамиды. Вычисление площадей полученных сечений»Тип урока: Урок совершенствования знаний, умений и навы...
Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 14. Стереометрические задачи. Построение сечений
Пособие для построений сечений многогранников...