Конспект урока "Определение первообразной"
план-конспект урока по математике (11 класс)

Уроки №255(91)                                                                              

Тема урока: Определение первообразной

Цели урока:

• Образовательные: дать определение первообразной; применять полученные знания при решении заданий на нахождение первообразных функций;
•  Развивающая: развивать мыслительную деятельность, основанную на операциях анализа, сравнения, обобщения, систематизации;
• Воспитательные: воспитывать культуру мышления; формировать мировоззренческие взгляды.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы обучения: словесный, словесно – наглядный, проблемный, эвристический.

Формы обучения: индивидуальная, парная, групповая, обще-групповая.

Оборудование: таблица первообразных, микрокалькуляторы

Продолжительность: 45 мин.

Ход урока

На доске записи: Производная – «производит» на свет новую функцию. Первообразная – «восстанавливает» первичный образ.

1. Организационный момент     (2 мин)
2. Актуализация знаний     (8 мин)

Вычислите производную функции.

Вопрос: Как называется операция нахождения производной? (Это операция дифференцирования)

Вспомним задачу из механики.

Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = t3 + 2t2 – 5t. Найти функцию, выражающую закон изменения скорости движения υ(t) и ускорения а(t)

Решение. Функция скорости υ(t) является производной от заданной функции перемещения s(t). Т.е. выполняем операцию дифференцирования.     υ(t) = s'(t), υ(t)= 3t2 + 4t-5.

Вычислив производную скорости по времени υꞌ (t) (или вторую производную функции  s(t)), найдём закон изменения ускорения по  времени : а(t)= υꞌ (t)= s'ꞌ(t)= 6t+4.

Операция дифференцирования (нахождения производной) по закону перемещения позволяет находить скорость и ускорение тела.

Таким образом       ответ: υ(t)=3t2+4t-5 и а(t)= 6t+4.

Задача 2. Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону υ(t)= 3t2+4t-5.

Найти  функцию s(t), выражающую зависимость перемещения точки от времени.

Решение. Так как  υ(t) = s'(t), то из условия следует, что  s'(t) =3t2+4t-5. Значит, по заданной производной s'(t) требуется восстановить функцию s(t).

3. Изучение нового материала      (10 мин)

Ставится вопрос: зная производную некоторой функции, мы должны найти саму функцию. Как это сделать?

Студенты выполняют задания: заполнить пропущенные места в скобках

(…)/ = 2х;                (…)/ = 0;                   (…)/ = 4х3 ;                      (…)/ = 25

Как можно иначе сформулировать это задание (найти саму функцию, зная её производную; восстановить функцию по производной)?

Восстанавливаемая функция называется первообразной. Дайте определение первообразной функции. Помощь преподавателя: если мы обозначим саму функцию через f(x), а её первообразную через F(x) , то куда поставить штрих в равенстве F=f? Или: как проверить, что некоторая функция F(x) является первообразной для f(x)?

Студенты  обсуждают и дают определение первообразной. Переносят в тетрадь записи с доски:

Производная –«производит» на свет новую функцию. Первообразная – «восстанавливает» первичный образ.

        В механике очень часто возникает обратная задача: по известному закону изменения ускорения от времени а(t) найти поведение скорости υ(t) и перемещения s(t). Иными словами, по заданной производной υꞌ (t) = а(t) надо восстановить саму функцию υ(t). Затем по известной производной s'(t)= υ(t) надо найти функцию s(t).

        Рассмотрев эти две задачи можно увидеть, что в математике существуют 2 взаимно-обратные операции. Рассмотрим их в сравнении, заполнив небольшую таблицу

1. вычитание
2. деление
3. извлечение из квадратного корня
4. арксинус угла
5. интегрирование

При заполнении таблицы преподаватель называет прямую операцию, а студенты – обратную.

        Для решения задач, подобных 1 и 2-ой( т.е. восстановление функции по её известной производной) и служит операция интегрирования - обратная операции дифференцирования.

Работа с учебником. Найдите на стр.174 определение первообразной, запишите в тетрадь.

Определение:  Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , если F/(x) = f(x) на заданном промежутке.

Рассмотреть и прокомментировать решенные три примера в учебнике.

4. Закрепление изученного       (20 мин)

Устная работа.

 Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):

1) F(x) = x3-2x+1     f(x)=3x2-2

2) F(x)= x4-7           f(x)=4x3

3) F(x)=10              f(x)=0

4) F(x)=             f(x)=1/2   x€(0;+∞)

5) F(x) =10x20        f(x)=200x19

Письменная работа

1. Найти первообразную для функции f(x):
2.  f(x)= x3     
3. f(x) = 1
4. f(x) = 0,25
5. f(x) = 5x
6. f(x) = 6/x
7. f(x) = 7x8
8. f(x) = 14x10
9. f(x) = 20x3
10. f(x) = x2
11. f(x) = x

2. Найти общий вид первообразных для функции

1) f (х) = 2 – x4

2) f (х)= х+cosx

3) f (х)= x6

4) f (х)= -3

5) f (х) =

      3. Показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(х):

№ 326, (работа в тетрадях с проверкой на доске)

№330 (работа в парах с взаимопроверкой). Резервные задания (работа по карточкам для наиболее подготовленных студентов. Приложение)

5. Постановка домашнего задания     (2 мин)

П.26, №327

6. Подведение итогов урока    (3 мин)

ПРИЛОЖЕНИЕ

Карточка №1

Найдите все первообразные  F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 3-2х3 +   на (0; +∞).

2. f (х) = sin 2x -1 на (-∞; +∞).

3. f (х) = (2-5х)6 на (-∞; +∞).

4. Для функции f (х) =  найдите ту первообразную,

график которой проходит через точку М (; 3)

Карточка №2

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. F(x) = 1+2х4 -  на (0; +).

2. f (х) = cos 3x +1 на (-; +).

3. f (х) = (1-4х)5 на (-; +).

4. Для функции f (х) =   найдите ту первообразную,

график которой проходит через точку М (;2)

Карточка №3

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 2+ -3х4 на (0; +.

2. f (х) = 3sin (x+) на (-; +).

3. f (х) =  на (-; +).

4. Для функции f (х) =  найдите ту первообразную,

график которой проходит через точку М (;3)

Карточка №4

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 4-5х2+ на (0; +.

2. f (х) = 2cos () на (-; +).

3. f (х) =  на (; +

4. Для функции f (х) =  найдите ту первообразную,

график которой проходит через точку М (;1).

Карточка №5

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 2 +  – 2х3 + х на (0; +).

2. f (х) =  5 sin x + 2 на (-; +).

3. f (х) =   (5-9х)8 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 2 cos (x-) найдите ту первообразную,

 график которой проходит через точку М (;2).

Карточка №6

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 1 -  + 2х2 + х на (0; +).

2. f (х) = 2 sin x – 1 на (-; +).

3. f (х) = (4+8х)9 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 2 sin (x + ) найдите ту первообразную,

 график которой проходит через точку М (;4)

Карточка №7

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 3 +  + 4x2 – 5 на (0; +).

2. f (х) = 2 sin () на (-; +).

3. f (х) = (3-4х)7 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 4 cos (2x + ) найдите ту первообразную,

 график которой проходит через точку М (;4)

Карточка №8

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 2 -  + 4 на (0; +).

2. f (х) = 3 cos (2х + ) на (-; +).

3. f (х) = (2-5х)7 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 3sin (2x - ) найдите ту первообразную,

график которой проходит через точку М (;3).

Карточка №9

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) =  + 3x2 -5x + 1  на (0; +).

2. f (х) = 2 sin 4х + 3 на (-; +).

3. f (х) = (2-6х)7 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 3 *   найдите ту первообразную,

график которой проходит через точку М (;1).

Карточка №10

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) =  – 3x3 + 5x – 1  на (0; +).

2. f (х) = 3 cos 4х -2 на (-; +).

3. f (х) = (1-5x)6 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 2 *   найдите ту первообразную,

 график которой проходит через точку М (;5).

Самоанализ урока математики по теме:

 «Определение первообразной»

Данный урок проходил  в группе 2 курса Э-12  04.02.2020г. Списочный состав группы: 23 человека. На уроке присутствовало 19 человек. По аттестации первого курса по данному предмету успевают на «4» тринадцать человек.

Более 60% студентов этой группы имеют хорошие способности для усвоения программного материала, на уроках активны, с достаточной учебной мотивацией.

Тема данного урока занимает 3-ое место десятого раздела «Интеграл и его применение». Тесно связана с полученными знаниями и умениями на предыдущих занятиях по теме «Производные и её применение» и является основой для изучения последующих тем раздела.

При отборе учебного материала для составления плана урока были учтены реальные учебные возможности студентов группы. Содержание урока  соответствовало требованиям учебной программы и  представлено общедидактическими принципами наглядности, доступности и последовательности.

Образовательная цель урока – ввести понятие первообразной, её основного свойства;  составить таблицу первообразных; сформировать умения применять полученные знания при решении заданий на нахождение первообразных функций; развивать логическое мышление, используя приёмы обобщения, анализа и сравнения.

        Тип урока – изучения нового материала. Структура занятия включает: актуализацию опорных знаний; изучение нового материала, где студенты проговаривают примеры взаимно обратных операций. Через понятие обратной функции вводится определение первообразной.

            На этапе  закрепления, работая по учебнику, студенты читают и комментируют готовые решения трёх примеров. Работают устно доказывая, что данная функция  F(x) является первообразной для функции  f(x) способом нахождения производной F/(x). После чего выполняется    письменное закрепление  изученного. Студенты на доске и в тетрадях находят первообразные функций, пользуясь плакатом «Таблица первообразных». Под контролем преподавателя студенты справились с полученным заданием. После чего выполняют №330 работая в парах с взаимопроверкой. Резервные задания (работа по карточкам для наиболее подготовленных студентов. Приложение). На уроке используется индивидуальная и групповая формы обучения.

В ходе урока развивались навыки работы с учебником, умение пользоваться справочным материалом, работать в парах, адекватность оценивания выполненных заданий.

На заключительном этапе внимание студентов было направлено на понимание того, что знания и умения по данной теме нужны для дальнейшей учебы и применения в профессиональной деятельности.

Все этапы урока соблюдены. На каждом из них, работа строилась таким образом, чтобы студенты чувствовали себя полноценными участниками образовательного процесса. Деятельность студентов была направлена на решение поставленных задач и развитие самого себя.

Как преподаватель, свою задачу видела в том, чтобы вовлечь каждого студента в активную работу, создать условия для самореализации и уверенности в себе. В силу того, что в группе есть студенты и со средними способностями, мало активны, поэтому не всех студентов получилось вовлечь в качественную работу, у некоторых студентов имеются пробелы в знаниях предыдущей темы. Стараюсь таким студентам выдавать варианты домашних тестовых заданий, контрольные вопросы, назначаю  консультации.

Результативность урока: «4» - 7 человек,  «3» - 4 человек.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ АМУРСКОЙ ОБЛОСТИ

«АМУРСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГПОАУ АТК)

КОНСПЕКТ

урока по математике

«Определение первообразной»

                                                                                 Выполнила:

                                                                                 Куйдина Марина Николаевна

Тында, 2020