Теоретическая часть по математике. 5 класс. Виленкин Н.Я.
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (5 класс)

Натуральные числа и шкалы.

- Для счета применяют натуральные числа.

- Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

- Число можно записать с помощью десяти цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Такую запись чисел называют десятичной.

- Самое маленькое натуральное число -1.

- Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным.

- Если запись числа состоит из двух знаков – двух цифр , то его называют двузначным.

- Двузначные, трехзначные и т.д. числа называют многозначными.

- Для чтения многозначных чисел их разбивают , начиная справа , на группы по три цифры в каждой .Эти группы называют классами.( класс единиц, класс тысяч, класс миллионов ит.д.).

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

- Прямая не имеет ни начала ни конца.

- Через две точки можно провести только одну прямую.

- Часть прямой ограниченная двумя точками называетя отрезком.

- Луч- часть прямой ограниченная с одной стороны.

- Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. Все деления линейки образуют шкалу. Отрезок принятый на шкале за единицу , называют единичным отрезком.

- Числа соответствующие точкам на координатном луче называют координатами этих точек.

- Точка с меньшей координатой лежит левее точки с больше координатой.

Сложение и вычитание натуральных чисел.

- Сумма чисел не изменится при перестановке слагаемых.Это свойство сложения называют переместительным.

- Сочетательное свойство сложения. Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое , а потом к полученной сумме –второе слагаемое.

- От прибавления нуля число не изменяется.

- Если точка С лежит на отрезке АВ , то длина отрезка АВ равна сумме длин его частей АС и СВ. Пишут АВ=АС+СВ.

- Сумму длин сторон многоугольника называют периметром этого многоугольника.

- Действие с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое , называют вычитанием.

- Число из которого вычитают , называют уменьшаемым , а число , которое вычитают ,- вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

- Разность двух чисел показывает , на сколько первое число больше второго, иными словами на сколько второе число меньше первого.

- Для того чтобы вычесть сумму из числа , можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое , а потом из разности – второе слагаемое.

- Если из числа вычесть нуль , оно не изменится.

- Если из числа вычесть это число , получится нуль.

- Числовые и буквенные выражения.

- При решении задач иногда только записывают действия , а выполняют их потом. Полученные записи называют числовыми выражениями.

- Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении ,называют значением этого выражения.

- Выражение , содержащее буквы , называют буквенным выражением.

- Числа , которыми заменяют букву , называют значениями этой буквы.

- Буквенная запись свойств сложения и вычитания.

- Переместительное свойство сложения записывают так: а+б=б+а. В этом равенстве буквы а и б могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

- Сочетательное свойство сложения записывают с помощью букв так: а+(б+с)=(а+б)+с=а+б+с .Здесь а,б и с любые натуральные числа или 0.

- Свойство нуля при сложении можно записать так: а+0=0+а=а. Здесь буква а может иметь любое значение.

- Свойство вычитания суммы из числа записывают с помощью букв следующим образом: а- ( б+с)=а-б-с. Здесь б+с ≤ а.

- Свойство вычитания числа из суммы записывают с помощью букв так: (а+б) – с = а+ ( б – с ), если с≤ б

(а+б) – с = (а - с ) +б , если с≤ а.

- Свойства нуля при вычитании можно записать так: а – 0 = а ; а – а = 0.

Уравнение.

- Уравнением называют равенство , содержащее букву , значение которой надо найти.

- Значение буквы , при котором из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения.

- Решить уравнение – значит найти все его корни ( или убедиться , что уравнение не имеет ни одного корня).

- Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из суммы вычесть известное слагаемое.

- Чтобы найти неизвестное уменьшаемое , надо сложить вычитаемое и разность .

- Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть разность.

- Умножение натуральных чисел и его свойства.

- Умножить число а на натуральное число б – значит найти сумму б слагаемых , каждае из которых равно а.

- Выражение а*б и значение этого выражения называют произведением чисел а и б . Числа а и б называют множителями.

- Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей. Это свойство называют переместительным.С помощью букв его записывают так: а*б=б*а.

- Чтобы умножить число на произведение двух чисел , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное произведение умножить на второй множитель.Это свойство умножения называют сочетательным. С помощью букв его записывают так: а*(б*с)=(а*б)*с. а*0=0. а*1=а.

Деление.

- Действие , помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель , называют делением.

- Число которое делят , называют делимым; число на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным.Частное показывает , во сколько раз делимое больше , чем делитель.

- Ни одно число нельзя делить на нуль.

- При делении любого числа на 1 получается это же число.

- При делении числа на это же число получается 1.

- При делении нуля на число получается нуль.

- Чтобы найти неизвестный множитель , надо произведение разделить на другой множитель.

- Чтобы найти неизвестное делимое , надо частное умножить на делитель.

- Чтобы найти неизвестный делитель , надо делимое разделить на частное.

- Чтобы найти делимое при делении с остатком ,надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

- Если остаток равен нулю, то говорят , что делимое делится на делитель без остатка , или , иначе нацело.

Упрощение выражений.

- Для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. Это правило выражает распределительное свойство умножения относительно сложения. С помощью букв его записывают так: (а+б)*с = ас+бс.

- Чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. Это правило называют распределительным свойством умножения относительно вычитания. С помощью букв его записывают так: (а-б)*с = ас- бс.

Порядок выполнения действий.

- Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

- Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени , то их выполняют по прядку слева направо.

- Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок , то сначала выполняют действия второй ступени, потом действия первой ступени.

- Если в выражении есть скобки , то сначала выполняют действия в скобках( учитывая при этом правила 1 и 2).

Степень числа .Квадрат и куб.

- Произведение , в котором все множители равны друг другу можно записать короче а*а*а*а*а = , читают такую запись а в 5 степени. а – основание степени, 5 – показатель степени.

а*а – квадрат числа; а*а*а- куб числа.

- Если в числовое выражение входят степени чисел , то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

Площади и объёмы

- Чтобы найти площадь прямоугольника ,надо умножить его длину на ширину. S=ab.

- Две фигуры называют равными ,если одну из них можно так наложить на вторую , что эти фигуры сопадут.

- Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

- Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

- Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами.

- Для измерения площадей пользуются следующими единицами: кВ.мм., кВ.см., кВ.м., кВ. км.,

- 1 гектар –это площадь квадрата со стороной 100м.

- 1 ар ( сотка)-это квадрат со стороной 10м.

Прямоугольный параллелепипед

- Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников.

- Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.

- Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней – вершинами параллелепипеда.

- Прямоугольный параллелепипед имеет 3 измерения – длину, ширину и высоту.

- Куб – это прямоугольный параллелепипед , у которого все измерения одинаковы.

- Для измерения объёмов применяют следующие измерения: куб.мм. ,куб.см. ,куб.м., куб.км.

- 1 куб. дм. называют литром.

- Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда , надо его длины умножить на ширину и на высоту. V=abc.

Окружность и круг

- Замкнутая линия все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от одной точки «О»,называется окружностью.

- Ту часть плоскости , которая лежит внутри окружности ( вместе с самой окружностью), называют кругом.

- Точку «О» называют центром окружности и круга.

- Отрезок соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Все радиусы одной окружности равны.

- Отрезок соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , поэтому диаметр окружности в 2 раза длиннее ее радиуса.

- Диаметр делит круг на 2 полукруга , а окружность – на 2 полуокружности.

- Часть окружности между двумя точками называют дугой окружности.

Доли. Обыкновенные дроби.

- Долю ½ называют половиной , 1/3 – третью ,а ¼ -четвертью.

- Записи вида а/в называют обыкновенными дробями. В дроби а/в число а -называют числителем дроби, число в- знаменателем дроби.

- Две равные дроби обозначают одно и то же дробное число.

- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та , у которой меньше числитель , и больше та , у которой больше числитель.

- Дробь , в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной .

- Дробь , в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

- Правильная дробь меньше единицы, а неправильная больше или равна единице.

- При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают , а знаменатель оставляют тот же.

- При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого , а знаменатель оставляют тот же.

- Чтобы разделить сумму на число , можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные.

- Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть ,надо: а)разделить с остатком числитель на знаменатель ; б) неполное частное будет целой частью ; в) остаток ( если он есть) дает числитель , а делитель –знаменатель дробной части.

- Запись числа , содержащую целую и дробную части , называют смешанной .Говорят – смешанное число.

- Смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.

- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно: а) умножить его целую часть на знаменатель дроби; б) к полученному произведению прибавить числитель дробной части; в) записать полученную сумму числителем дроби , а знаменатель дробной части оставить без изменения.

- При сложении ( и вычитании ) чисел в смешанной записи целые части складывают ( вычитают ) отдельно , а дробные отдельно.

Десятичные дроби.

- Числа со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. условились записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть , а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой.

- Если дробь правильная ,то перед запятой пишут цифру 0.

- Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.

- Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче левее большей , и большая – правее меньшей.

- Чтобы сложить ( вычесть ) десятичные дроби , нужно: а) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; б) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; в) выполнить сложение ( вычитание ) не обращая внимания на запятую; (г) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

- Десятичные дроби сравнивают по разрядам.

- Приближенные значения чисел. Округление чисел

- Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

- Если число округляют до какого- нибудь разряда , то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой , то их отбрасывают.

- Если первая отброшенная или замененная нулем цифра 5,6,7,8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на единицу.

- Если первая отброшенная или замененная нулем цифра 0,1,2,3 или 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.

Умножение и деление десятичных дробей.

-Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых , каждое из которых равно этой дроби , а количество равно этому натуральному числу.

- Чтобы умножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей в множители после единицы.

- Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо: а) разделить дробь на это число , не обращая внимания на запятую; б) поставить в частном запятую , когда кончится деление целой части.Если целая часть меньше делителя , то частное начинается с нуля.

- Чтобы разделить десятичную дробь на 10,100,1000,…, надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе.

- С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби.

- Умножить число на 0,1;0,01;0,001,…- то же самое , что разделить его на 10,100,1000,… Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

- Чтобы перемножить две десятичные дроби , надо: а) выполнить умножение , не обращая внимания на запятые; б) отделить запятой столько цифр справа , сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

- Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо: а) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе; б) после этого выполнить деление на натуральное число.

- Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1;0,01;0,001, … , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей( то есть умножить на 10,100,1000,…).

Среднее арифметическое.

- Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

- Чтобы найти среднюю скорость на отрезке пути, надо длину этого пути разделить на время ,затраченное на его прохождение.

Проценты.

- Процентом называют одну сотую часть.

Угол.

- Углом называют фигуру , образованную двумя лучами , выходящими из одной точки.

- Лучи , образующие угол , называют сторонами угла , а точку , из которой они выходят ,- вершиной угла.

- Если один угол можно наложить на другой так , что они совпадут , то эти углы равны.

- Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол ( 180 гр.)

- Прямым углом называют половину развернутого угла ( 90 гр.)

- Градусом называют 1/180 часть развернутого угла.