Геометрическое доказательство формул сокращенного умножения
творческая работа учащихся по математике (7 класс)

Содержание

Введение

В курсе математики 7 класса изучаются  формулы сокращенного умножения, но мне показалось, что это еще не все формулы, которые рассматриваются  в школьном курсе, и мы задались целью узнать о них больше и доказать их используя геометрию. Как выводили формулы в древности, т. к. ни у древних Египтян, ни у древних вавилонян в алгебре не было букв. Видимо, не было у них и тождественных преобразований – ведь преобразовывать было нечего! Буквами для обозначения чисел не пользовали и греческие учёные. Неужели и у них не было тождественных преобразований? Как они поступали, если сумму двух чисел следовало умножить на разность? Заменяли они это произведение на разность квадратов или нет? В ходе работы нами были рассмотрены вопросы школьной и внешкольной программы, а также исторические сведения по теме. Часть работы посвящена геометрическому доказательству известных нам формул сокращенного умножения, а также рассматриваются формулы, которых нет в учебнике алгебры 7 класса. Эта тема  значимая в курсе математики и  применяется на протяжении всего периода обучения: при умножении многочленов, упрощении алгебраических выражений, сокращении дробей, разложении на множители, решении уравнений и других.  Мы хотим углубить свои знания по этой очень интересной теме. Алгебра абстрактная наука и найдя связь с геометрией можно наглядно убедиться в правильности формул. Тему «Геометрическое доказательство формул сокращенного умножения» мы нашли в нашем учебнике «Алгебра 7», автор Ю.М.Колягин

Тема исследования:  Геометрическое доказательство формул сокращенного умножения

Предмет исследования:  Формулы сокращенного умножения.

Цель: доказать формулы сокращенного умножения, используя геометрические приемы; рассмотреть вопрос о существовании  других формул сокращенного умножения, которые не рассматриваются в школьной программе

Задачи:

1. Собрать сведения из истории математики о формулах сокращенного умножения.
2. Доказать формулы сокращенного умножения, используя геометрические приемы
3. Рассмотреть различные способы возведения в квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых.
4. Выполнить модель, позволяющую находить квадрат и куб суммы двух чисел.

Глава 1. Исторические сведения

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад. Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. Особенно широко алгебраическими тождествами пользовался в 3 в до н.э. древнегреческий геометр Евклид. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками  прямых. Они говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Например, тождество  ( а + в )=а + 2ав + в во второй книге «Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая линия (имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Основные законы действий над числами были известны ещё в глубокой древности и принимались как очевидные на основе многовековой человеческой практики. Но с развитием алгебры появилась и постепенно развивалась потребность в доказательстве тех или иных свойств.

Найденные древневавилонские клинописные тексты свидетельствуют, что формулы сокращённого умножения были известны около 4000лет назад. Их знали, кроме вавилонян, и другие народы древности, конечно, не в нашем символическом виде, а словесно или в геометрической форме, как у древних греков.

В дальнейшем мы приведем пример такого доказательства.

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту(16 век).

На современном уровне развития математики данные формулы были обоснованы Исааком Ньютоном. При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля. Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов, который впоследствии назвали  «треугольник Паскаля».

Глава 2.Формулы школьного курса математики

1.1 Алгебраическое представление формул сокращенного умножения

На уроках математики мы познакомились с формулами сокращенного умножения.

Все они доказываются раскрытием скобок через умножение многочленов и приведением подобных слагаемых.

Разность квадратов:

(a +b) (a – b) = a² - b²                 (1)

Квадрат суммы и квадрат разности:

(a + b)² = a² + 2ab +b²                 (2)

(a – b)² = a² - 2ab + b²                 (3)

Сумма и разность кубов:                                                                            

(a + b) (a² - ab + b²) = a³ +b³        (4)

(a – b) (a² + ab + b²) = a³ - b³        (5)

Куб суммы и куб разности:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³     (6)

(a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³        (7)

1.2 Геометрическое доказательство формул сокращенного умножения школьного курса

Первым с доказательством этой формулы столкнулся древнегреческий учёный Евклид, живущий в Александрии в III веке до н.э., так как в те времена не было букв, он пользовался геометрическим способом доказательства формулы.

1. Квадрат суммы. 

Вывод формулы (a+b)2= a2 + 2ab + b2

Построим квадрат со стороной a+b, проведя внутри него прямые, соединяющие границы отрезков a и b на каждой из сторон.

Полученный чертеж настолько прозрачен, что хочется просто написать, как писали древнегреческие геометры: «Смотри!» – и более ничего. Площадь квадрата со стороной a+b состоит из площади квадрата со стороной a, площади квадрата со стороной b и двух прямоугольников с площадями ab. То есть она равна a2 + b2 + 2ab, или a2 + 2ab + b2  .  Алгебраическое доказательство сложнее и не столь наглядно.

2. Разность квадратов.

Вывод формулы (a2 – b2) = (a – b)(a + b). Строим квадрат со стороной a, внутри него квадрат со стороной b (если b), проводим внутри прямую, как показано на рис.2.

Мы видим, что разность площадей квадратов равна площади двух прямоугольников – большого и малого. Переместив малый прямоугольник так, чтобы равные стороны прямоугольников совместились (см. рис.3),

получим прямоугольник со сторонами (a – b) и (a + b). Следовательно, разность площадей квадратов равна (a – b)(a + b), что и требовалось доказать.

3. Квадрат разности

  Вывод формулы (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Из рис.4 видно, что искомую площадь можно найти, удалив из квадрата со стороной a Г-образную фигуру из двух частично наложенных друг на друга равных прямоугольников с площадью abкаждая. Но в этом случае площадь квадрата со стороной b удаляется дважды (зеленая область наложения на чертеже), поэтому нужно площадь одного из этих квадратов вновь прибавить к исходной площади. (На словах, возможно, сложновато, но вы просто посмотрите на чертеж!).

4. Куб суммы

5. Сумма  кубов

6. Разность кубов

7. Куб разности

Глава 3. Возведение в квадрат суммы нескольких слагаемых

Мы рассмотрели три способа возведения в квадрат суммы трех слагаемых (a+b+c)2 .

Первый способ: геометрический.

Сначала разбили квадрат на фигуры, как показано на рисунке. После чего нашли площадь каждого полученного квадрата или прямоугольника.

Так как площадь целой фигуры равна сумме площадей его частей, то получили равенство для площади прямоугольника: S=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2.  После упрощения: S=a2+ b2+c2+2ab+2ac+2bc.

Второй способ: выполнили алгебраическое умножение многочленов.

(a+b+c)*(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+ b2+c2+2ab+2ac+2bc.

Третий способ: представила данную сумму как сумму двух слагаемых и возвела ее в квадрат. ((a+b)+c)2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+ c2+b2+2ab +2ac+2bc.

Во всех трех случаях результат получила одинаковый:

(a+b+c)2=a2+ c2+b2+2ab +2ac+2bc=a2+ c2+b2+2(ab+ac+bc)

Аналогичными способами мы формулу для возведения в квадрат суммы четырех слагаемых.

Геометрический способ

(через вычисление площади квадрата) . Таким образом площадь квадрата равна сумме площадей его частей:

S=a2+ b2+ c2+d2+

+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

Умножение многочленов: (a+b+c+d)*(a+b+c+d)=a2+ab+ac+ad+ab+b2+bc+bd+ac+bc+c2+cd+ad+bd+cd+d2==a2+ b2+ c2+ d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

Преобразование в квадрат суммы двух слагаемых:

((a+b)+(c+d))2=(a+b)2+2(a+b)(c+d)+(c+d)2=a2+2ab+b2+2ac+2ad+2bc+2bd+c2+

+2cd+d2=a2+ b2+ c2+ d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

И опять я в каждом случае получила одинаковый результат, то есть 

(a+b+c+d)2=a2+b2+ c2+ d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd=a2+b2+c2+ d2+

+2(ab+ac+ad+bc+bd)

Вывод: После проведенной работы мы предположили,  что в квадрат можно возвести  сумму нескольких слагаемых. Подтверждение этому я нашла в справочной литературе:

(a1 + a2 + …+ aп )² = a1² + a2² +…+ 2(a1 a2 + a1 a3 +…+ ai aj +…+ an-1 a.)

Итак, квадрат суммы n слагаемых равен сумме их квадратов плюс удвоенная сумма всевозможных попарных произведений этих слагаемых вида ai aj ,

где i < j.

Глава 4. Треугольник Паскаля

Но кроме законмерности среди коэффициентов прослеживается так же замечательная закономерность и среди степеней получившегося многочлена. Оказывается степени входящих одночленов образуются следующим образом: степень первого слагаемого, начиная с большей,  с каждым разом уменьшается на единицу, а степень второго слагаемого наоборот увеличивается от нулевой до наибольшей.

Строится «Треугольник Паскаля»  следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b), поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b)=a+ b. Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:  a+2ab+b.

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения «куба суммы». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

             Номер             Строки

1.                         1
2.                        1 1
3.                      1 2 1
4.                     1 3 3 1
5.                   1 4 6 4 1
6.                1 5 10 10 5 1
7.             1 6 15 20 15 6 1
8.            1 7 21 35 35 21 7 1

…                                       ……

Сравнивая  два способа решения, заключаю, что применяя для нахождения коэффициентов в разложении  треугольник Паскаля,  возведение в любую степень решается рациональнее. Поэтому, если мне придется возводить двучлен в п-ую степень, я буду применять второй способ.

Дальше я предлагаю рассмотреть примеры, которые прорешала самостоятельно и в которых применяются формулы сокращенного умножения (ФСУ). В некоторых из них я применяла способ группировки, который изучается в курсе математики 7 класса.

Заключение

При изучении материала по этой теме мы узнали много нового и интересного. Оказалось, что  формулы сокращенного умножения можно доказывать геометрически, что более наглядно, чем вывод формулы алгебраически.

В процессе работы мы самостоятельно вывела различные формулы сокращенного умножения, причем некоторые из них доказала несколькими способами, познакомилась с треугольником Паскаля.

Мы  множество интересных задач, которые не встречались на уроке математики. Мне очень нравится предмет математика, я считаю, что те знания, которые я приобрела, готовя эту  работу, пригодятся мне в дальнейшей учебе и подготовке к выпускным экзаменам. Данная тема актуальна, так как математику нельзя представить без формул сокращенного умножения, потому что они  применяются не только в школьном курсе, но и в курсе высшей математики. Созданная нами работа может использоваться другими учащимися и преподавателями математики на своих уроках Нам понравилось заниматься исследовательской работой.

Список литературы:

1. Алгебра. 7 класс. Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др.
2. В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дидактические материалы: алгебра 8 класс; М.: «Просвещение», 2003.
3.  М. К. Потапов, Я. В. Шевкин. Дидактические материалы: алгебра и начала анализа 10 класс; М.: «Просвещение», 2010.
4.  С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 10; М.: «Просвещение», 2008.
5.  С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 7; М.: «Просвещение», 2008.
6. http://festival.1september.ru/articles/551285/
7. http://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10163&chapterid=1175