Тема 1Площадь поверхностей параллелепипеда, призмы, пирамиды, усеченной пирамиды.
план-конспект урока по математике

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ

«Площадь поверхностей параллелепипеда, призмы, пирамиды, усеченной пирамиды»

Изучение темы данной дисциплины ЕН.01 Прикладная математика базируется на знаниях, полученных при изучении таких дисциплин как ОУД.04 Математика

Основная задача данной темы – Сформировать умение находить площадь поверхностей параллелепипеда, призмы, пирамиды, усеченной пирамиды.

Призма

Призма — многогранник, две грани которого являются многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.                

Виды призм.

• Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания (Рис.1). Другие призмы называются наклонными (Рис.2).

                                  Рис.1                               Рис.2

• Правильная призма - это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.

• Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником.

Свойства призмы:

1. Основания призмы являются равными многоугольниками.
2. Боковые грани призмы являются параллелограммами.
3. Боковые ребра призмы параллельны и равны.

     Формулы.

1.  Площадь боковой поверхности прямой призмы: Sб.п.=P*H,  где  P — периметр основания призмы (сумма всех сторон основания), H — высота призмы.
2. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания: Sп.п. = P*H+2• Sосн
3. Диагональ прямой призмы: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его линейных размеров:  

d2 =  a2 +b2 +c2

Сечения призмы:                       

1. Диагональные сечения(рис.3)

                                  Рис.3

   2.Сечения призмы под углом к плоскости основания(рис.4)

                                              Рис.4

1. Сечение плоскостью перпендикулярной ребрам наклонной призмы (рис.5)

            Рис.5

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение призмы.
2. Виды призм.
3. Свойства призмы.
4. Площадь боковой поверхности прямой призмы, площадь полной поверхности.
5. Диагональ призмы.
6. Виды сечений.

Пирамида

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник A1A2...An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.6). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2...An и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1A2...An называется основанием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1 – боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAn – боковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A1A2...An и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA1A2...An.

                                                  Рис.6

Высота пирамиды

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 6 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 7) или быть одним из боковых ребер (рис. 8).

                Рис. 7                                                                           Рис. 8

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.9).

                                                 Рис. 9

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2...An (рис. 9).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А1О, А2О,...АnО.

Образованные высотой и радиусами треугольники являются прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и равные катеты А1О, А2О,...АnО (равны как радиусы). Значит, треугольники РОА1, РОА2,...РОАn равны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA1 , РA2... РAn, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

• Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
• Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 9 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду PA1A2...An и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В1,В2,...Вn (рис. 10). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2...An и В1В2...Вn (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, … A1AnBnB1 (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

                                                    Рис. 10

Отрезки A1B1, A2B2, … AnBn называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями A1A2...An и В1В2...Вn обозначают следующим образом: A1A2...AnВ1В2...Вn.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 11 отрезки HH1 и В1O –высоты усеченной пирамиды.

Рис.11

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Решение

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

Ответ: 177

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Решение

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

Ответ: 80

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение пирамида, высота пирамиды, апофема.
2. Назвать виды пирамид.
3. Свойства правильной пирамиды.
4.  Площадь полной поверхности пирамиды.