Решение задач на дроби.
методическая разработка по математике (5 класс)

Задачи на дроби

Задача 1. В классе  школьников составляют отличники. Какую часть составляют остальные? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.

Решение

Если  составляют отличники, то  составляют остальные

Задача 2. В классе  школьников составляют отличники,  составляют хорошисты,  составляют троечники. Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.

Задача 3. В классе 24 школьника.  школьников составляют отличники,  составляют хорошисты,  составляют троечники. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Решение

24 : 6 × 1 = 4 × 1 = 4 (отличника)

24 : 6 × 3 = 4 × 3 = 12 (хорошистов)

24 : 6 × 2 = 4 × 2 = 8 (троечников)

Проверка

4 + 12 + 8 = 24 (школьника)

24 = 24

Задача 4. В классе  школьников составляют отличники,  составляют хорошисты. Какую часть составляют троечники?

Решение

Школьники разделены на 6 частей. На одну из частей приходятся отличники, на три части — хорошисты. Нетрудно догадаться, что на остальные две части приходятся троечники. Значит  школьников составляют троечники

Не приводя рисунков можно сложить дроби  и , и полученный результат вычесть из дроби , которая выражает всю часть школьников. Другими словами, сложить отличников и хорошистов, затем вычесть этих отличников и хорошистов из общего количества школьников

Задача 5. В классе 16 школьников. Из них  составляют отличники,  составляют хорошисты. Сколько отличников и хорошистов в классе? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.

Решение

16 : 4 × 1 = 4 × 1 = 4 (отличника)

16 : 16 × 12 = 1 × 12 = 12 (хорошистов)

Задача 6. В классе 16 школьников. Из них  составляют отличники,  составляют хорошисты,  составляют троечники. Сколько отличников, хорошистов и троечников в классе? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.

Решение

16 : 8 × 1 = 2 × 1 = 2 (отличника)

16 : 16 × 10 = 1 × 10 = 10 (хорошистов)

16 : 4 = 4 (троечника)

Задача 7. Из зерен пшеницы производят полтавскую крупу, масса которой составляет  массы зерна пшеницы, а остальное составляют кормовые отходы. Сколько можно получить полтавской крупы и кормовых отходов из 500 центнеров пшеницы

Решение

Найдем  от 500 центнеров:

Теперь найдем массу кормовых отходов. Для этого вычтем из 500 ц массу полтавской крупы:

Значит из 500 центнеров зерен пшеницы можно получить 320 центнеров полтавской крупы и 180 центнеров кормовых отходов.

Задача 8. Килограмм сахара стоит 88 рублей. Сколько стоит  кг сахара?  кг?  кг?  кг?

Решение

1)  кг это половина одного килограмма. Если один килограмм стоит 88 рублей, то половина килограмма будет стоит половину от 88, то есть 44 рубля. Если найти половину от 88 рублей, мы получим 44 рубля

88 : 2 = 44

44 × 1 = 44 рубля

2)  кг это четверть килограмма. Если один килограмм стоит 88 рублей, то четверть килограмма будет стоит четверти от 88 рублей, то есть 22 рубля. Если найти  от 88 рублей, мы получим 22 рубля

88 : 4 = 22

22 × 1 = 22 рубля

3) Дробь  означает, что килограмм разделен на восемь частей, и оттуда взято три части. Если один килограмм стоит 88 рублей, то стоимость трех восьми килограмм будут стоить  от 88 рублей. Если найти  от 88 рублей, мы получим 33 рубля.

4) Дробь  означает, что килограмм разделен на восемь частей, и оттуда взято одиннадцать частей. Но невозможно взять одиннадцать частей, если их только восемь. Мы имеем дело с неправильной дробью. Сначала выделим в ней целую часть:

Одиннадцать восьмых это один целый килограмм и  килограмма. Теперь мы можем по отдельности найти стоимость одного целого килограмма и стоимость трёх восьмых килограммов. Один килограмм, как было указано выше стоит 88 рублей.  Стоимость  кг мы также находили и получили 33 рубля. Значит  кг сахара будет стоит 88+33 рубля, то есть 121 рубль.

Стоимость  можно найти не выделяя целой части. Для этого достаточно найти  от 88.

88 : 8 = 11

11 × 11 = 121

Но выделив целую часть можно хорошо понять, как сформировалась цена на  кг сахара.

Задача 9. Финики содержат  сахара и  минеральных солей. Сколько граммов каждого из веществ содержится в 4 кг фиников?

Решение

Узнаем сколько граммов сахара содержится в одном килограмме фиников. Один килограмм это тысяча грамм. Найдем  от 1000 грамм:

1000 : 25 = 40

40 × 18 = 720 г

В одном килограмме фиников содержится 720 грамм сахара. Чтобы узнать сколько грамм сахара содержится в четырех килограммах, нужно 720 умножить на 4

720 × 4 = 2880 г

Теперь узнаем сколько минеральных солей содержится в 4 килограммах фиников. Но сначала узнаем сколько минеральных солей содержится в одном килограмме. Один килограмм это тысяча грамм. Найдем  от 1000 грамм:

1000 : 200 = 5

5 × 3 = 15 г

В одном килограмме фиников содержится 15 грамм минеральных солей. Чтобы узнать сколько грамм минеральных солей содержится в четырех килограммах, нужно 15 умножить на 4

15 × 4 = 60 г

Значит в 4 кг фиников содержится 2880 грамм сахара и 60 грамм минеральных солей.

Решение для данной задачи можно записать значительно короче, двумя выражениями:

Суть в том, что от 4 килограмм нашли  и полученные 2,88 перевели в граммы, умножив на 1000. Тоже самое сделали и для минеральных солей — от 4 кг нашли  и получившиеся килограммы перевели в граммы, умножив на 1000. Обратите также внимание на то, что дробь от числа найдена упрощенным способом — прямым умножением числа на дробь.

Задача 10. Поезд прошел 840 км, что составляет  его пути. Какое расстояние ему осталось пройти? Каково расстояние всего пути?

Решение

В задаче говорится, что 840 км это  от его пути. Знаменатель дроби  указывает на то, что весь путь разделен на семь равных частей, а числитель указывает на то, что четыре части этого пути уже пройдено и составляют 840 км. Поэтому, разделив 840 км на 4, мы узнаем сколько километров приходится на одну часть:

840 : 4 = 210 км.

А поскольку весь путь состоит из семи частей, то расстояние всего пути можно найти, умножив 210 на 7:

210 × 7 = 1470 км.

Теперь ответим на второй вопрос задачи — какое расстояние осталось пройти поезду? Если длина пути 1470 км, а пройдено 840, то оставшийся путь равен 1470−840, то есть 630

1470 − 840 = 630

Задача 11. Одна из групп, покорившая горную вершину Эверест, состояла из спортсменов, проводников и носильщиков. Спортсменов в группе было 25, число проводников составляло  числа спортсменов, а число спортсменов и проводников вместе лишь 9/140 числа носильщиков. Сколько было носильщиков в этой экспедиции?

Решение

Спортсменов группе 25. Проводников составляет  числа спортсменов. Найдем  от 25 и узнаем сколько в группе проводников:

25 : 5 × 4 = 20

Спортсменов и проводников вместе — 45 человек. Это число составляет от числа носильщиков. Зная что  от числа носильщиков это 45 человек, мы можем найти общее число носильщиков. Для этого найдем число по дроби:

45 : 9 × 140 = 5 × 140 = 700

Задача 12. В школу привезли 900 новых учебников, из них учебники по математике составляли  всех книг, учебники по русскому языку  всех книг, а остальные книги были по литературе. Сколько привезли книг по литературе

Узнаем сколько составляют учебники по математике:

900 : 25 × 8 = 288 (книг по математике)

Узнаем сколько учебников по русскому языку:

900 : 100 × 33 = 297 (книг по русскому языку)

Узнаем сколько учебников по литературе. Для этого из общего числа книг вычтем учебники по математике и по русскому:

900 – (288+297) = 900 – 585 = 315

Проверка

288 + 297 + 315 = 900

900 = 900

Задача 13. В первый день продали , а во второй день  поступившего в магазин винограда. Какую часть винограда продали за два дня?

Решение

За два дня продали  винограда. Эта часть получается путем сложения дробей  и 

Можно представить поступивший в магазин виноград в виде шести гроздей. Тогда  винограда это две грозди,  винограда — три грозди, а  винограда это пять гроздей из шести, проданные за два дня. Ну и нетрудно увидеть, что осталась одна гроздь, выраженная дробь  (одна гроздь из шести)

Задача 14. Вера в первый день прочитала  книги, а во второй день на  меньше. Какую часть книги прочитала Вера во второй день? Успела ли она прочитать книгу за два дня?

Решение

Определим часть книги, прочитанной во второй день. Сказано, что во второй день прочитано на  меньше, чем в первый день. Поэтому из  нужно вычесть 

Во второй день Вера прочитала  книги. Теперь ответим на второй вопрос задачи — успела ли Вера прочитать книгу за два дня? Сложим то, что Вера прочитала в первый и во второй день:

За два дня Вера прочитала  книги, но осталось ещё  книги. Значит Вера не успела прочитать всю книгу за два дня.

Сделаем проверку. Предположим что книга, которую читала Вера, имела 180 страниц. В первый день она прочла  книги. Найдем  от 180 страниц

180 : 9 × 5 = 100 (страниц)

Во второй день Вера прочитала на  меньше, чем в первый. Найдем  от 180 страниц, и вычтем полученный результат из 100 листов, прочитанных в первый день

180 : 6 × 1 = 30 × 1 = 30 (страниц)

100 − 30 = 70 (страниц во второй день)

Проверим, являются ли 70 страниц  частью книги:

180 : 18 × 7 = 10 × 7 = 70 (страниц)

Теперь ответим на второй вопрос задачи — успела ли Вера прочитать все 180 страниц за два дня. Ответ — не успела, поскольку за два дня она прочла только 170 страниц

100 + 70 = 170 (страниц)

Осталось прочесть еще 10 страниц. В задаче в роли остатка у нас была дробь  . Проверим являются ли 10 страниц  частью книги?

180 : 18 × 1 = 10 × 1 = 10 (страниц)

Задача 15. В одном пакете  кг, а в другом на  кг меньше. Сколько килограммов конфет в двух пакетах вместе?

Решение

Определим массу второго пакета. Она на  кг меньше, чем масса первого пакета. Поэтому из массы первого пакета вычтем массу второго:

Масса второго пакета  кг. Определим массу обоих пакетов. Сложим массу первого и массу второго:

Масса обоих пакетов  кг. А  килограмма это 800 граммов. Можно решать такую задачу, работая с дробями, складывая и вычитая их. Также можно сначала найти число по данным в задаче дробям и приступить к решению. Так  килограмма это 500 граммов, а  кг это 200 граммов

1000 : 2 × 1 = 500 × 1 = 500 г

1000 : 5 × 1 = 200 × 1 = 200 г

Во втором пакете на 200 граммов меньше, поэтому чтобы определить массу второго пакета, нужно из 500 г вычесть 200 г

500 − 200 = 300 г

Ну и напоследок сложить массы обоих пакетов:

500 + 300 = 800 г

Задача 16. Туристы прошли путь от турбазы до озера за 4 дня. В первый день они прошли  всего пути, во второй  оставшегося пути, а в третий и четвертый дни проходили по 12 км. Чему равна длина всего пути от турбазы до озера?

Решение

В задаче сказано, что во второй день туристы прошли  оставшегося пути. Дробь  означает, что оставшийся путь разделен на 7 равных частей, из них туристы прошли три части, но осталось пройти остальные . На эти  приходится то расстояние, которое туристы прошли в третий и четвертый день, то есть 24 км (по 12 км в каждом дне). Нарисуем наглядную схему, иллюстрирующую второй, третий и четвертый дни:

В третий и четвертый день туристы прошли 24 км и это составляет  от пути, пройденного во второй, третий и четвертый дни. Зная, что  составляют 24 км, мы можем найти весь путь, пройденный во второй, третий и четвертый день:

24 : 4 × 7 = 6 × 7 = 42 км

Во второй, третий и четвертый день туристы прошли 42 км. Теперь найдем  от этого пути. Так мы узнаем сколько километров туристы прошли во второй день:

42 : 7 × 3 = 6 × 3 = 18 км

Теперь возвращаемся к началу задачи. Сказано, что в первый день туристы прошли  всего пути. Весь путь разделен на четыре части, и на первую часть приходится путь, пройденный в первый день. А путь, который приходится на остальные три части, мы уже нашли — это 42 километра, пройденные во второй, третий и четвертый дни. Нарисуем наглядную схему, иллюстрирующую первый и остальные три дня:

Зная, что  пути составляют 42 километра, мы можем найти длину всего пути:

42 : 3 × 4 = 56 км

Значит длина пути от турбазы до озера составляет 56 километров. Сделаем проверку. Для этого сложим все пути, пройденные туристами в каждый из четырех дней.

Сначала найдем путь пройденный в первый день:

56 : 4 × 1 = 14 (в первый день)

14 + 18 + 12 + 12 = 56

56 = 56

Задача из арифметики известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н. э.)

«Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10»

Изобразим число, которое мы хотим найти, в виде отрезка, разделенного на три части. В первой части отрезка отметим треть, во второй — четверть, оставшаяся третья часть будет изображать число 10.

Сложим треть и четверть:

Теперь изобразим отрезок, разделенный на 12 частей. Отметим на нем дробь  , остальные пять частей пойдут на число 10:

Зная, что пять двенадцатых числа составляют число 10, мы можем найти всё число:

10 : 5 × 12 = 2 × 12 = 24

Мы нашли всё число — оно равно 24.

Эту задачу можно решить не приводя рисунков. Для этого, сначала нужно сложить треть и четверть. Затем из единицы, которая играет роль неизвестного числа, вычесть результат сложения трети и четверти. Затем по полученной дроби определить всё число:

Задача 17. Семья, состоящая из четырех человек, в месяц зарабатывает 80 тысяч рублей. Бюджет распланирован следующим образом:  на еду,  на коммунальные услуги,  на Интернет и ТВ,  на лечение и походы по врачам, на пожертвование в детский дом,  на проживание в съемной квартире,  в копилку. Сколько денег выделено на еду, коммунальные услуги, на Интернет и ТВ, на лечение и походы по врачам, пожертвование на детский дом, на проживание в съемной квартире, и на копилку?

Решение

80 : 40 × 7 = 14 (тыс. на еду)

80 : 20 × 1 = 4 × 1 = 4 тыс. (на коммунальные услуги)

80 : 20 × 1 = 4 × 1 = 4 тыс. (на Интернет и ТВ)

80 : 20 × 3 = 4 × 3 = 12 тыс. (на лечение и походы по врачам)

80 : 10 × 1 = 8 × 1 = 8 тыс. (на пожертвование в детский дом)

80 : 20 × 3 = 4 × 3 = 12 тыс. (на проживание в съемной квартире)

80 : 40 × 13 = 2 × 13 = 26 тыс. (в копилку)

Проверка

14 + 4 + 4 + 12 + 8 + 12 + 26 = 80

80 = 80

Задача 18. Туристы во время похода за первый час прошли  км, а за второй на  км больше. Сколько километров прошли туристы за два часа?

Решение

Найдем числа по дробям.  это три целых километра и семь десятых километра, а семь десятых километра это 700 метров:

 это один целый километр и одна пятая километра, а одна пятая километра это 200 метров

Определим длину пути, пройденного туристами за второй час. Для этого к 3 км 700 м нужно прибавить 1 км 200 м

3 км 700 м + 1 км 200 м = 3700м + 1200м =  4900м = 4 км 900 м

Определим длину пути, пройденного туристами за два часа:

3 км 700 м + 4 км 900 = 3700м + 4900м = 8600м = 8 км 600 м

Значит за два часа туристы прошли 8 километров и еще 600 метров. Решим эту задачу с помощью дробей. Так её можно значительно укоротить

Получили ответ  километра. Это восемь целых километров и шесть десятых километра, а шесть десятых километра это шестьсот метров

Задача 19. Геологи прошли долину, расположенную между горами, за три дня. В первый день они прошли , во второй  всего пути и в третий оставшиеся 28 км. Вычислить длину пути, проходящего по долине.

Решение

Изобразим путь в виде отрезка, разделенного на три части. В первой части отметим  пути, во второй части  пути, в третьей части оставшиеся 28 километров:

Сложим части пути, пройденные в первый и во второй день:

За первый и второй дни геологи прошли  всего пути. На остальные  пути приходятся 28 километров, пройденные геологами в третий день. Зная, что 28 километров это  всего пути, мы можем найти длину пути, проходящего по долине:

28 : 4 × 9 = 7 × 9 = 63 км

Проверка

63 : 9 × 5 = 7 × 5 = 35

63 : 9 × 4 = 7 × 4 = 28

35 + 28 = 63

63 = 63

Задача 20. Для приготовления крема использовали сливки, сметану и сахарную пудру. Сметану и сливки составляют 844,76 кг, а сахарная пудра и сливки 739,1 кг. Сколько в отдельности сливок, сметаны и сахарной пудры содержится в 1020,85 кг крема?

Решение

сметана и сливки — 844,76 кг
сахарная пудра и сливки — 739,1 кг

Вытащим из 1020,85 кг крема сметану и сливки (844,76 кг). Так мы найдем массу сахарной пудры:

1020,85 кг — 844,76 кг = 176,09 (кг сахарной пудры)

Вытащим из сахарной пудры и сливок сахарную пудру (176,09 кг). Так мы найдем массу сливок:

739,1 кг — 176,09 кг = 563,01 (кг сливок)

Вытащим сливки из сметаны и сливок. Так мы найдем массу сметаны:

844,76 кг — 563,01 кг = 281,75 (кг сметаны)

176,09 (кг сахарная пудра)

563,01 (кг сливки)

281,75 (кг сметана)

Проверка

176,09 кг + 563,01 кг + 281,75 кг = 1020,85 кг

1020,85 кг = 1020,85 кг

Задача 21. Масса бидона, заполненного молоком равна 34 кг. Масса бидона, заполненного наполовину, равна 17,75 кг. Какова масса пустого бидона?

Решение

Вычтем из массы бидона, заполненного молоком, массу бидона заполненного наполовину. Так мы получим массу содержимого бидона, заполненного наполовину, но уже без учета массы бидона:

34 кг − 17,75 кг = 16,25 кг

16,25 это масса содержимого бидона заполненного наполовину. Умножим эту массу на 2, получим массу бидона заполненного полностью:

16,25 кг × 2 = 32,5 кг

32,5 кг это масса содержимого бидона. Чтобы вычислить массу пустого бидона, нужно из 34 кг вычесть массу его содержимого, то есть 32,5 кг

34 кг − 32,5 кг = 1,5 кг

Ответ: масса пустого бидона составляет 1,5 кг.

Задача 22. Сливки составляют 0,1 массы молока, а сливочное масло составляет 0,3 массы сливок. Сколько сливочного масла можно получить из суточного надоя коровы, равного 15 кг молока?

Решение

Определим сколько килограмм сливок можно получить с 15 кг молока. Для этого найдем 0,1 часть от 15 кг.

15 × 0,1 = 1,5 (кг сливок)

Теперь определим сколько сливочного масла можно получить с 1,5 кг сливок. Для этого найдем 0,3 часть от 1,5 кг

1,5 кг × 0,3 = 0,45 (кг сливочного масла)

Ответ: из 15 кг молока можно получить 0,45 кг сливочного масла.

Задача 23. 100 кг клея для линолеума содержат  55 кг асфальта, 15 кг канифоли, 5 кг олифы и 25 кг бензина. Какую часть этого клея образует каждая из его составляющих?

Решение

Представим, что 100 кг клея как 100 частей. Тогда на 55 частей приходится асфальт, на 15 частей — канифоль, на 5 частей — олифа, на 25 частей — бензин. Запишем эти части в виде дробей, и по возможности сократим получающиеся дроби:

Ответ:  клея составляет асфальт,  составляет канифоль,  составляет олифа,  составляет бензин.